М_В_та_ПМ_К_030601. Методичні вказівки з виконання контрольної роботи з дисципліни вища та прикладна математика

• Название: Методичні вказівки з виконання контрольної роботи з дисципліни вища та прикладна математика
• Дата: 01.06.2018
• Размер: 1.21 Mb.
• Имя файла: М_В_та_ПМ_К_030601.doc
• Тип: Методичні вказівки; #45671
• страница: 2 из 4

1.4. Повна ймовірність. Формули Байєса
Якщо подія А відбувається разом з однією з подій Н₁, Н₂,…, Н_n, які складають повну групу попарно несумісних подій, то події Н_к (к= 1, 2, …, n) називають гіпотезами. Якщо відомі ймовірності гіпотез і умовні ймовірності події А при виконанні кожної з гіпотез, то ймовірність події А в досліді S (так звана повнаймовірність) обчислюється за формулою

.

Якщо ж відомо, що відбулася подія А, і треба знайти ймовірність того, що вона відбулася саме з гіпотезою Н_к , тобто умовну ймовірність гіпотези Н_к за умови А, то слід користуватися формулою Байєса:

(к= 1, 2, …, n).

Задача 6. Імовірність поразки команди ДК у матчі з командою ЮМ при дощовій погоді становить 0,5, а при відсутності дощу – 0,6. Імовірність дощу у день матчу становить 0,2. а) Знайти ймовірність уникнення поразки командою ДК. б) Команда ДК зазнала поразки. Яка ймовірність того, що матч відбувався при дощовій погоді?

Розв’язання. а) Нехай подія А – поразка команди ДК. Утворимо дві гіпотези:

Н₁ – під час матчу буде дощова погода; Н₂ – під час матчу не буде дощу.

За умовою задачі . За формулою повної ймовірності знайдемо ймовірність поразки команди ДК:

.

Тоді ймовірність уникнення поразки становить

.

б) За формулою Байєса знаходимо ймовірність того, що йшов дощ під час матчу, у якому команда ДК зазнала поразки:

.

Відповідь: а) 0,58; б) 0,17.

1.5. Формула Бернуллі для послідовних незалежних випробувань.

Формули Муавра-Лапласа. Формула Пуассона
Нехай дослід S повторюється n разів і кожного разу може з’явитися подія А (назвемо її успіхом) з імовірністю р, яка не залежить від результатів інших дослідів. Таку серію n дослідів називають схемоюпослідовнихнезалежнихвипробувань або схемоюБернуллі. Подія Ау n дослідах може з’явитися загалом кразів, де к= 0, 1, 2, …, n. Тоді ймовірність появи к успіхів у n незалежних випробуваннях обчислюється за формулоюБернуллі:

= , ( ). (1.4)

При заданих значеннях n і рнайбільше значення ймовірності відповідає числу успіхівк, яке задовольняє умову , якщо не ціле, або приймає два значення , якщо ціле.

Задача 7. Імовірність влучити в мішень при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти найімовірніше число влучень із шести пострілів і відповідну ймовірність.

Розв’язання. Знайдемо величину виразу (не ціле). Тоді найбільше ціле число, яке не перевищує 5,6, дорівнює 5. Таким чином, найбільш імовірне число влучень к =5. Імовірність п’яти влучень із шести пострілів обчислюємо за формулою Бернуллі .

Відповідь: к= 5 і .
Локальна формула Муавра-Лапласа
Якщо ,то ймовірність того, що подія А відбудеться точно к разів у пдослідах, наближено обчислюється за локальноюформулоюМуавра-Лапласа, яка має вигляд:

, (1.5)

де , . Зауважимо, що функція парна і швидко спадає, так = 0,0001. Значення функції наведені в дод. 1.
ІнтегральнаформулаМуавра-Лапласа
Якщо , то ймовірність того, що подія А відбувається не менше к₁ і не більше к₂разів в п дослідах, обчислюється наближено за інтегральноюформулоюМуавра-Лапласа:

, (1.6)

де , (див. дод. 2).

Зауважимо, що функція Ф(х) є непарною і для х 5 береться Ф(х)  0,5.

ФормулаПуассона
Імовірність того, що рідкісна подія А (значення ) відбувається точно к разів при великому числі дослідів , обчислюється наближено за формулоюПуассона(якщо добуток ):

. (1.7)
Задача 8. Імовірність влучити в мішень при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що із 100 пострілів число влучень буде: а) точно 85; б) лежить у межах від 75 до 85.

Розв’язання. Тут , тому можна скористатися формулами Муавра-Лапласа.

а) За локальною формулою Муавра-Лапласа (7.3) знаходимо:

.

Далі для х= 2,5 знаходимо 0,0175 (дод. 1). Тоді

.

б) За інтегральною формулою Муавра-Лапласа (7.4) знаходимо

, .

Для х= 1,25 знаходимо 0,39435 (дод. 2). Тоді – 0,39435. Шукану ймовірність знаходимо як різницю

=0,39435 – (– 0,39435 )=0,79.

Відповідь: а) 0,004; б) 0,79.
Задача 9. Словник має 1500 сторінок. Імовірність друкарської помилки на одній сторінці дорівнює 0,001. Знайти ймовірність того, що в словнику: а) буде точно три помилки; б) не буде жодної помилки; в) буде хоча б одна помилка.

Розв’язання. а) Тут імовірність події в одному досліді р= 0,001<0,01, а добуток пр= 15000,001=1,5<20. Тоді за формулою Пуассона знаходимо

.

б) Імовірність того, що в словнику не буде жодної помилки, тобто к= 0, знаходимо за тією ж формулою

.

в) Подія А– у словнику буде хоча б одна помилка, є протилежною до події – у словнику немає жодної помилки. Тому .

Відповідь: а) 0,125; б) 0,223; в) 0,777.

1.6. Дискретні випадкові величини

Випадковоювеличиною називається така величина, яка в результаті випробування може набувати те чи інше значення, яке саме наперед невідомо.

Випадкова величина називається дискретною, якщо вона набуває скінчену або зчисленну множину значень.

Можливі значення дискретної випадкової величини записують у вигляді числової послідовності . Дискретна випадкова величина вважається заданою, якщо відомі всі її можливі значення та ймовірності, з якими ці значення набуваються.

1. 
   Законом розподілу будь-якої дискретної випадкової величини називається співвідношення, яке визначає залежність між значеннями випадкової величини та ймовірностями, з якими ці значення набуваються.
   
2. 
   Закон розподілу дискретної випадкової величини найчастіше задається рядом розподілу (табл. 2).
   
3. 
   Таблиця 2
   
4. 
   
   

1. 
   ()_{. . .. . .. . .. . .}
   
2. 
   У цій таблиці , k = 1,2,..., n,... . .
   

Ряд розподілу дискретної випадкової величини є повною ймовірнісною характеристикою цієї величини. Але дискретними випадковими величинами не вичерпуються всі види випадкових величин. Наприклад, ряд розподілу не підходить для опису випадкових величин, які набувають незліченної множини значень. Необхідно ввести універсальну ймовірнісну характеристику, яка годиться для опису будь-якої випадкової величини. Такою характеристикою є функція розподілу випадкової величини.

1. 
   Функція дійсної змінної , значення якої при кожному значенні аргументу дорівнює ймовірності події , тобто
   
2. 
   ,
   

називається функцієюрозподілувипадкової величини .

1. 
   Основні властивості функції розподілу:
   
2. 
   1) функція розподілу є неспадна функція з областю значень ;
   
3. 
   2) вона неперервна зліва, тобто
   
4. 
   3)
   
5. 
   4)
   

Якщо випадкова величина – дискретна, а – її можливі значення, тоді в кожній точці (n=1, 2, …) її функція розподілу має стрибки, величини яких дорівнюють (n=1, 2, …). Таким чином, функція розподілу дискретної випадкової величини завжди розривна, має скінчену або злічену кількість стрибків у точках можливих значень випадкової величини. У загальному вигляді її можна записати так:

.

Якщо – дискретна випадкова величина з розподілом , k = 1,2,... , то її математичнимсподіваннямназивається величина, яка визначається за формулою

.

Зазначений ряд має збігатися абсолютно, в іншому разі кажуть, що випадкова величина не має математичного сподівання. Якщо величина набуває лише скінчену множину значень, то цей ряд буде скінченою сумою.

1. 
   Основні властивості математичного сподівання:
   
2. 
   1) MC=C, де C – будь-яка стала;
   
3. 
   2) ;
   
4. 
   3) ;
   
5. 
   4) Якщо та незалежні випадкові величини, то . Нагадаємо, що випадкові величини та називаються незалежними, якщо для будь-яких x та y події та незалежні.
   

Математичне сподівання, як числова характеристика випадкової величини, характеризує її середнє значення. Це видно з механічної інтерпретації математичного сподівання. Якщо припустити, що матеріальні точки з абсцисами мають маси ( 2, ..., n), а їх загальна маса дорівнює одиниці , то математичне сподівання задає абсцису центра мас системи матеріальних точок.

1. 
   На практиці зустрічаються випадкові величини, які мають однакові математичні сподівання, але відхилення значень від математичного сподівання є різним. Тому необхідно ввести числову характеристику, яка задає розсіювання випадкової величини навколо математичного сподівання. Такою характеристикою буде дисперсія.
   

Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання, тобто

1. 
   .
   
2. 
   Для дискретної випадкової величини ця формула розписується так:
   

.

1. 
   Основні властивості дисперсії:
   
2. 
   1) DC = 0, де C – будь-яка стала;
   
3. 
   2) ;
   
4. 
   3)
   
5. 
   Останню властивість часто використовують для обчислення дисперсії. У разі дискретної випадкової величини вона набуває вигляду:
   
6. 
   
   
7. 
   4) якщо та – незалежні випадкові величини, то
   
8. 
   .
   
9. 
   Розмірність математичного сподівання збігається з розмірністю випадкової величини, а розмірність дисперсії – ні. Для того, щоб розмірність характеристики розсіювання була така сама, як розмірність випадкової величини, вводять середньоквадратичневідхилення або стандартневідхилення
   
10. 
    .
    

Наведемо деякі закони розподілу дискретних випадкових величин.

Цілочислова невід’ємна випадкова величина розподілена за біномнимзаконом(закономБернуллі), якщо подія має ймовірність:

, m = 0, 1, 2, ..., n; q = 1 – p.

Числа n і p називаються параметрами розподілу. За біномним законом розподілено число появ події А в n незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює p (схема Бернуллі).

Функція розподілу випадкової величини має вигляд:

Числові характеристики біномно розподіленої випадкової величини дорівнюють

, , .

Цілочислова невід’ємна випадкова величина має розподіл Пуассона, якщо подія має ймовірність:

,

де а>0 – параметр закону Пуассона, m = 0, 1, 2,...

Функція розподілу величини має вигляд:

Числові характеристики закону Пуассона: = =а.

1. 
   Задача. За багаторічними статистичними даними знайдено, що ймовірність народження хлопчиків дорівнює 0,515. Скласти закон розподілу випадкової величини – кількості хлопчиків, які народилися в родині, де четверо дітей. Знайти числові характеристики цієї випадкової величини.
   
2. 
   Розв’язання. 1. При складанні ряду розподілу необхідно знати значення та ймовірності p, з якими ці значення набуваються. За умовою задачі може набувати 5 значень: = 0, = 1, = 2, = 3, = 4. Імовірності, з якими ці значення набуваються, знайдемо за формулою Бернуллі:
   
3. 
   , де k = 0, 1, 2, 3, 4; p = 0,515.
   
4. 
   Отже,   біномно розподілена випадкова величина, яка має ряд розподілу:
   
5. 
   
   

1. 
   01234p0,0550,2350,3750,2650,070
   
2. 
   Обчислимо числові характеристики біномно розподіленої випадкової величини
   
3. 
   ;
   

.

1. 
   
   
2. 
   1.7. Неперервні випадкові величини
   
3. 
   
   
4. 
   Крім дискретних випадкових величин існують неперервні випадкові величини. Випадкова величина називається неперервною, якщо її можливі значення повністю заповнюють деякий проміжок. Функція розподілу неперервної випадкової величини має теж саме означення, що і для дискретної випадкової величини, і є неперервною функцією. Решта властивостей функції для неперервних випадкових величин такі ж самі, як і для дискретних випадкових величин. Закон розподілу неперервної випадкової величини найчастіше задається щільністю розподілу ймовірностей. За означенням щільність розподілу дорівнює границі:
   
5. 
   
   
6. 
   Основні властивості щільності розподілу ймовірностей:
   
7. 
   1) ; 2)
   
8. 
   3) (умова нормування); 4)
   
9. 
   Ця властивість справджується також для відкритих і напіввідкритих проміжків, тому що для неперервної випадкової величини , де m – будь-яка стала величина.
   
10. 
    5) .
    
11. 
    Математичне сподівання та дисперсія неперервної випадкової величини обчислюються за формулами:
    
12. 
    
    
13. 
    за умови, що цей інтеграл збігається абсолютно.
    
14. 
    ,
    
15. 
    або
    
16. 
    .
    
17. 
    Зміст цих характеристик такий самий, як і для дискретних випадкових величин. Наведемо деякі основні закони розподілу неперервних випадкових величин.
    
18. 
    Рівномірний розподіл. Неперервна випадкова величина має рівномірнийрозподіл на проміжку [a, b], якщо її щільність розподілу стала і задана формулою:
    

Функція розподілу рівномірного закону має вигляд:

1. 
   Математичне сподівання і дисперсія обчислюються за формулами:
   
2. 
   , .
   

Експоненційний (показниковий) розподіл. Неперервна випадкова величина має експоненційний розподіл, якщо її щільність розподілу задана формулою:

>0 – параметр закону.

Відповідно функція розподілу має вигляд:

1. 
   Для показникового закону математичне сподівання і дисперсія обчислюються за формулами:
   

, .

Нормальнийзаконрозподілу(ЗаконГаусса). Неперервна випадкова величина розподілена за законом Гаусса, якщо її щільність розподілу задана формулою:

, де а та >0 - параметри закону.

Зміст цих параметрів такий: , тобто .

Функція розподілу закону Гаусса записується через функцію Лапласа:

, де .

Функція Ф(х) – непарна, , . Таблиця значень функції Лапласа наведена у додатку. Для вважають Ф(х)=0,5. При розв’язанні задач найчастіше користуються формулами:

;

;

.

Остання формула є змістом “правила 3 ”, відповідно до якого практично всі значення нормально розподіленої випадкової величини містяться в інтервалі (а-3 , а+3 ).

1. 
   Задача. Функція розподілу неперервної випадкової величини має вигляд:
   
2. 
   а) Знайти коефіцієнт A та зробити креслення ; б) записати та зробити креслення; в) обчислити числові характеристики та ; г) знайти ймовірність події .
   
3. 
   Розв’язання. а) Функція розподілу випадкової величини неперервна, тому . Звідси маємо А=1. Отже, графік функції розподілу має вигляд (рис.2):
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   
9. 
   
   
10. 
    
    
11. 
    
    
12. 
    
    
13. 
    Рис. 2
    
14. 
    б) функцію знайдемо за властивістю 2):
    
15. 
    Графік щільності розподілу наведений на рис. 3:
    
16. 
    
    
17. 
    
    
18. 
    
    
19. 
    
    
20. 
    
    
21. 
    
    
22. 
    
    
23. 
    
    
24. 
    Рис. 3
    
25. 
    
    
26. 
    в) Обчислимо числові характеристики:
    
27. 
    .
    
28. 
    =.
    
29. 
    г) Користуючись властивістю 4) щільності розподілу, одержимо :
    
30. 
    P=.
    
31. 
    Або
    
32. 
    P=.
    
33. 
    Відповідь: а) А=1; б) в)
    
34. 
    г)
    

Задача. Час безвідмовної роботи у годинах деякого приладу є неперервна випадкова величина , яка задана щільністю розподілу . Знайти наступні характеристики:

а) середній час безвідмовної роботи приладу;

б) ймовірність безвідмовної роботи приладу протягом 4 год;

в) ймовірність відмови приладу в інтервалі часу від 4 до 20 год;

г) надійність (імовірність безвідмовної роботи) системи протягом 4 год, якщо вона складається з п’яти послідовно підключених однакових приладів. Вважати відмови приладів незалежними.

Розв’язання. а) Середній час безвідмовної роботи приладу є математичним сподіванням випадкової величини – часу безвідмовної роботи. З вигляду щільності розподілу робимо висновок, що розподілена за експонеційним законом з параметром =0,08. Отже, =12,5 год.

б) Імовірність безвідмовної роботи приладу протягом часу t знайдемо за формулою:

.

За умовою задачі =0,08, t=4 год, а тому

в) Спочатку знайдемо ймовірність безвідмовної роботи приладу в інтервалі часу [4, 20]: . Тоді ймовірність відмови приладу в цьому інтервалі дорівнює: .

г) Надійність системи послідовно підключених приладів за теоремою множення ймовірностей дорівнює:

, де – параметри експоненційного закону розподілу безвідмовної роботи для кожного приладу. Якщо прилади однакові, то = =...= . За умовою задачі n=5, =0,08, тому =5 =0,4. Надійність роботи системи протягом чотирьох годин дорівнює: .
1.8. Система двох дискретних випадкових величин
У практичному застосуванні теорії ймовірностей виникають задачі, в яких результат випробування описується декількома випадковими величинами, які складають систему випадкових величин, або випадковий вектор.

Випадковийвектор називається дискретним, якщо його компоненти є дискретними випадковими величинами. Закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин найчастіше задається таблицею розподілу:
… … … … … ………………… … …………………

У таблиці – множина значень , – множина значень , . Для дискретного двовимірного випадкового вектора функція розподілу записується так: . Математичне сподівання системи двох випадкових величин є точка з координатами . Навколо цієї точки групуються можливі значення , тому вона називається центром розсіювання. Для знаходження координат центра розсіювання користуються формулами:

Дисперсію компоненти , яка характеризує розсіювання відносно осі OX, знаходимо за формулою:

.

Аналогічно дисперсію компоненти , яка характеризує розсіювання відносно осі OY, обчислюємо за формулою:

.

Важливою характеристикою системи випадкових величин є кореляційний момент (або коваріація) та безрозмірна числова характеристика – коефіцієнткореляції . За означенням:

;

.

Випадкові величини називаються некорельованими, якщо = 0 або . Якщо дві випадкові величини та корельовані , то вони завжди залежні. Якщо дві випадкові величини та незалежні, то вони завжди некорельовані. Обернене твердження виконується не завжди. Якщо , то це означає тільки відсутність лінійної залежності між випадковими величинами, але інший вид залежності може бути.

Незалежність двох дискретних випадкових величин перевіряємо за формулами:

або

.

Кореляційний момент для системи двох дискретних випадкових величин обчислюємо так:

Ряди замінюють скінченними сумами, якщо множина значень скінченна.

При вивченні системи випадкових величин часто розглядають умовні законирозподілу компонент. Умовним законом розподілу випадкової величини, що входить до системи , називається закон розподілу, який знайдено за умови, що інша випадкова величини набула відповідного значення. Умовну функцію розподілу компоненти знаходимо так:

Аналогічно

.

Для системи двох дискретних випадкових величин умовні закони розподілу задають формулами:

Важливою характеристикою умовного розподілу є умовнематематичнесподівання. Умовним математичним сподіванням дискретної випадкової величини при , де – одне з можливих значень , називають величину

М ,

де – значення, які може набувати випадкова величина . Аналогічно розглядають величини . Умовне математичне сподівання називають регресієювеличини відповідно до величини , регресією відповідно до .
Задача. Авіакомпанія виконує два рейси на добу. Імовірність затримки першого рейсу через технічні причини дорівнює 0,1, а другого – 0,05.

1. Скласти закон розподілу системи ( , ), де – кількість затримок першого рейсу, – сумарна кількість затримок двох рейсів.

2. Записати одномірні закони розподілів кожної компоненти.

3. Знайти основні числові характеристики системи випадкових вели –чин .

4. Записати умовні закони розподілу .

5. Обчислити відповідні умовні сподівання для компонент системи ( , ).

Розв’язання. 1.Випадкова величина набуває можливі значення 0 і 1, а – 0, 1, 2. Знайдемо ймовірність спільної появи всіх пар можливих значень і . Позначимо – ймовірність затримки першого рейсу, – другого. Тоді ймовірності протилежних подій (своєчасного відправлення першого й другого рейсів) будуть відповідно і . За умовою

Тоді знаходимо ймовірність подій:

неможлива подія;

неможлива подія;

Складемо таблицю розподілу системи:
0100,855010,0450,095200,005

Умова нормування системи виконана: 0,855+0,045+0,095+0,005=1.

2. Ряди розподілу компонент та знайдемо як суму ймовірностей відповідно за рядками й стовпцями:
01 012p0,90,1p0,8550,1400,005

3. Обчислюємо основні числові характеристики випадкових величин та , користуючись рядами розподілу цих величин:

Обчислюємо кореляційний момент випадкових величин та .

Обчислюємо коефіцієнт кореляції за формулою

Одержаний результат свідчить про дуже щільну (яка наближається до лінійної) додатну кореляційну залежність між випадковими величинами та .

4. Знайдемо умовні закони розподілу . У пункті 2 були обчислені ймовірності значень =1 і =1:

Отже, відповідні умовні ймовірності знаходимо так:
Отримані ймовірності записуємо у вигляді таблиці:
01 0,3210,679

Аналогічно обчислюємо умовні ймовірності можливих значень компоненти :

Отримані ймовірності записуємо у вигляді таблиці:

012 00,950,05

5. Обчислимо умовні математичні сподівання, користуючись одержаними рядами розподілу:

;
ЗАВДАННЯ ДО КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ
Завдання 1.1. Визначення ймовірності подій за класичною моделлю

1.1.1. Серед 25 фірм, з яких 10 українських, а інші російські, розігрується 5 урядових контрактів. Вважається, що кожна фірма має рівні шанси на отримання контракту. Знайти ймовірність того, що принаймні дві українські фірми виграють контракт.

1.1.2. У фірмі десять співробітників (6 чоловіків і 4 жінки) претендують на заняття трьох вакансій. Вважаємо, що всі кандидатури мають рівні шанси на заняття цих вакансій. Знайти ймовірність того, що жінки не займуть жодної вакансії.

1.1.3. В авіакасу звернулися 3 транзитні пасажири, кожен з яких може з однаковою ймовірністю замовити квиток на один із 6 рейсів, що виконуються протягом доби до аеропорту N. Знайти ймовірність того, що всі пасажири замовлять квитки на один і той самий рейс.

1.1.4. Комплект містить 6 виробів з номерами від 1 до 6. Випадковим способом із комплекту виймають усі вироби по одному. Знайти ймовірність того, що номери виробів розташуються в зростаючому порядку.

1.1.5. Серед 15 фірм, з яких 5 українських, а інші російські, розігрується 2 урядових контракти. Вважається, що кожна фірма має рівні шанси на отримання контракту. Знайти ймовірність того, що принаймні одна українська фірма виграє контракт.

1.1.6. У групі з 12 бізнесменів тільки 8 мають досвід роботи у запропонованій новій галузі. Для проекту треба відібрати 4 чоловіки. В припущенні, що відбір претендентів ведеться навмання, знайти ймовірність того, що в команду з чотирьох чоловік потраплять всі, хто має досвід роботи.

1.1.7. Шість літаків, серед яких два В-747, після посадки в аеропорту розставлені випадковим способом в один ряд на шести стоянках. Знайти ймовірність того, що літаки В-747 будуть на сусідніх стоянках.

1.1.8. Комплект містить 7 виробів 1-го сорту, 6 – 2-го сорту і 2 вироби – 3-го сорту. Випадковим способом з комплекту відбирають 5 виробів. Знайти ймовірність того, що серед них не виявиться виробів 3-го сорту.

1.1.9. У касі куплено 5 авіаквитків для п'яти пасажирів і випадковим способом роздано їм. Знайти ймовірність того, що: а) усі пасажири одержали свої квитки; б) тільки 4 пасажири одержали свої квитки.

1.1.10. З 15 рейсів, що виконуються з аеропорту протягом доби, 60% рейсів виконуються на власному літаковому парку. Знайти ймовірність того, що з вибраних навмання п'яти рейсів рівно три виконуються на власному парку.

1.1.11. Технічне обслуговування кожного з літаків, що прибувають в аеропорт, виконується окремою бригадою. Усього в аеропорту працює 3 бригади, які випадковим способом призначаються на обслуговування 5 літаків, які прибули в аеропорт. Знайти ймовірність того, що будуть обслуговані 3 літаки, що прибули першими.

1.1.12. З десяти літаків, що прибувають в аеропорт протягом доби, 80% мають повне комерційне завантаження. Знайти ймовірність того, що серед п‘яти випадковим способом узятих літаків тільки чотири мають повне завантаження.

1.1.13. 12 виробів, серед яких чотири нестандартних, випадковим способом розбиваються на дві рівні партії. Знайти ймовірності того, що: а) у кожній партії буде рівне число нестандартних виробів; б) усі нестандартні вироби будуть в одній партії.

1.1.14. У групі з 10 бізнесменів тільки 6 мають досвід роботи у запропонованій новій галузі. Для проекту треба відібрати 4 чоловіки. В припущенні, що відбір претендентів ведеться навмання, знайти ймовірність того, що в команду з чотирьох чоловік потраплять два чоловіка, які мають досвід роботи.

1.1.15. Сім літаків, серед яких два В-737, прибули в аеропорт і були розміщені випадковим способом на 10 стоянках, розташованих в один ряд. Знайти ймовірність того, що літаки В-737 зайняли сусідні стоянки.

1.1.16. У конкурсі газети бере участь 12 чоловіків та 8 жінок. Є два призових місця. Яка ймовірність того, що обидва місця займуть жінки?

1.1.17. В авіакасі було 15 квитків, серед яких 6 квитків – до пункту А. До кінця зміни продано 8 квитків. Знайти ймовірність того, що в касі не залишилося квитків до пункту А, якщо ймовірність продажу кожного квитка однакова.

1.1.18. Комплект містить 10 виробів, 5 з яких коштують по 4 гривні кожний, 3 – по 2 гривні і 2 – по 3 гривні. Знайдіть імовірність того, що узяті навмання два вироби коштують 6 гривень.

1.1.19. Після посадки п'яти літаків, серед яких два В-747, вони були розставлені випадково в один ряд на 8 стоянках. Знайти ймовірність того, що літаки В-747 займуть крайні стоянки.

1.1.20. У конкурсі газети бере участь 5 чоловіків та 7 жінок. Є два призових місця. Яка ймовірність того, що обидва місця займуть чоловіки?

1.1.21. Комплект містить 5 виробів першого сорту, 4 – другого і 3 вироби – третього сорту. Знайти ймовірність того, що два випадково узяті вироби будуть одного сорту.

1.1.22. Шість пасажирів придбали квитки на літак в одному ряді крісел із шести місць і випадковим способом зайняли ці місця. Знайти ймовірність того, що кожний пасажир зайняв своє крісло.

1.1.23. Партія містить 6 виробів першого сорту, 4 вироби другого і 2 вироби третього сорту. Навмання відбирається 5 виробів. Знайти ймовірність того, що серед них буде 3 вироби першого сорту.

1.1.24. В авіакасу звернулися 3 транзитні пасажири, кожен з яких з однаковою ймовірністю може замовити квиток на один із 6 рейсів, що виконуються до аеропорту А протягом доби. Знайдіть імовірність того, що всі пасажири замовили квитки на різні рейси.

1.1.25. Партія з 30 виробів містить 10% браку. Знайти ймовірність того, що серед семи виробів, узятих випадково: а) тільки 2 бракованих; б) немає бракованих.

1.1.26. Комплект містить 12 виробів, 5 з яких коштують по 3 гривні кожний, інші – по 1 гривні. Знайдіть імовірність того, що взяті навмання 4 вироби коштують разом 10 гривень.

1.1.27. У касі придбано 5 квитків для п'яти пасажирів і випадковим способом роздано їм. Знайдіть імовірність того, що тільки 3 пасажири одержали свої квитки.

1.1.28. Комплект із 40 виробів містить 30% нестандартних виробів, серед яких 50% – браковані. Знайти ймовірність того, що серед узятих випадковим способом чотирьох виробів: а) один бракований; б) усі браковані.

1.1.29. До аеропорту прибув літак із шестизначним бортовим номером. Знайти ймовірність того, що цей номер складається: а) з різних цифр; б) з трьох різних пар цифр.

1.1.30. Шість пасажирів придбали квитки на літак в одному шестимісному ряді крісел і випадковим способом зайняли місця. Знайдіть імовірність того, що:
а) кожен із пасажирів зайняв своє місце; б) тільки два пасажири зайняли свої місця.