М_В_та_ПМ_К_030601. Методичні вказівки з виконання контрольної роботи з дисципліни вища та прикладна математика
 Скачать 1.21 Mb.
|
Завдання 1.2. Статистичні та геометричні ймовірності. Імовірності суми й добутку подій.1.2.1. До авіакаси у випадковий час у межах 10 хвилин звернулись 2 пасажири. Обслуговування одного пасажира триває дві хвилини. Знайти ймовірність того, що пасажир, який звернувся другим, буде вимушений зачекати. 1.2.2. Торгова фірма протягом 50 тижнів досліджувала кількість продажів за кожний тиждень. Результати досліджень наведені в таблиці. Кількість продажів за тиждень до 9 10 19 20 29 30 39 40 і вищеКількість тижнів1132286 Знайти статистичну ймовірність того, що на наступному тижні кількість продажів буде в межах від 20 до 29. 1.2.3. Відстань між пунктами А і В літак долає за 30 хв., а автобус – за 5 год. Інтервал руху літаків становить 6 год. Автобус у випадковий час вирушає з А до В. Знайти ймовірність того, що черговий літак прибуде до пункту В раніше від автобуса. 1.2.4. Число виробів, які надходять протягом години на перевірку кожному з двох контролерів, рівноможливе і не перевищує 10. Знайдіть імовірність того, що двом контролерам надійде разом протягом години від 12 до 18 виробів. 1.2.5. Два літаки прибувають у зону аеропорту у випадковий час між 12.00 і 12.30. Знайти ймовірність того, що літак, який прибув другим, не буде вимушений чекати дозволу на посадку, якщо чергову посадку можна здійснювати не раніше ніж через 10 хв. після попередньої. 1.2.6. У рівнобедреному трикутнику з бічною стороною 5 см. довільно розташовано квадрат зі стороною 2. Знайти ймовірність того, що навмання вибрана точка трикутника буде лежати в квадраті. 1.2.7. На відрізку довжиною 15 см випадково ставимо дві точки. Знайти ймовірність того, що відстань між цими точками не перевищує 7 см. 1.2.8. Протягом шести годин до одного й того ж причалу повинні підійти два пароплави у випадкові й незалежні моменти часу. Знайти ймовірність того, що жодному з пароплавів не прийдеться чекати звільнення причалу, якщо час стоянки кожного пароплава становить одну годину. 1.2.9. У ромбі з бічною стороною 5 см лежить прямокутник зі сторонами 2 та 3 см. Знайти ймовірність того, що навмання вибрана у ромбі точка лежатиме і в прямокутнику. 1.2.10. З проміжку [0, 1] випадковим способом вибирають два дійсних числа. Знайти ймовірність, того, що їхня сума не більша 1, а добуток не перевищує 2/9. 1.2.11. Кожне з двох дійсних додатних чисел не більше 4. Знайти ймовірність того, що їх добуток також буде не більше 4. 1.2.12. Екіпаж кожного з двох літаків, що виконують політ, повинен надіслати в аеропорт повідомлення по радіо протягом проміжку часу від 8.00 до 8.10. Знайти ймовірність того, що повідомлення з обох літаків не накладуться в часі, якщо повідомлення триває 2 хв. і кожен з екіпажів може рівноможливо почати передачу в будь-який час у зазначених межах. 1.2.13. В середині кола радіусом 50 мм розташований ромб із діагоналями 40 та 60 мм. Знайти ймовірність того, що навмання вибрана в колі точка лежатиме в ромбі. 1.2.14. У прямокутному трикутнику з катетами довжиною 4 та 9 м навмання вибрали точку. Знайти ймовірність того, що вона потрапить у коло радіусом 1 м, розташоване у трикутнику. 1.2.15. Кількість виробів, які виготовляються на кожній із двох конвеєрних ліній протягом зміни, рівноможливе і не перевищує 15. Знайти ймовірність того, що загальна кількість виробів, виготовлених на обох лініях, буде в межах від 24 до 28. 1.2.16. Фірма має можливість отримати два контракти. Імовірність отримання першого контракту дорівнює 0,9, а другого – 0,8. Вважаючи ці події незалежними, знайти ймовірності подій: а) фірма отримає обидва контракти; б) фірма отримає принаймні один контракт. 1.2.17. Надійність лінії зв'язку між об'єктами (імовірність безвідмовної роботи за певний час) дорівнює 0,75. Для підвищення якості зв'язку встановлена резервна лінія з надійністю 0,65. Визначити надійність зв'язку з резервною лінією. 1.2.18. Група з 15 студентів, серед яких 6 відмінників, випадковим способом розбивається на 3 підгрупи по 5 чоловік. Знайти ймовірність того, що в кожній підгрупі буде по 2 відмінники. 1.2.19. Три російські фірми та дві українські беруть участь у конкурсі на одержання контракту. Імовірність одержання контракту у всіх фірм однакова. За умовами фірма може одержати не більше одного контракту. Знайти ймовірність того, що контракт одержала одна з українських фірм. 1.2.20. Аеропорт протягом доби виконує 3 рейси до міста А. Імовірність затримки першого рейса через метеоумови дорівнює 0,05, другого – 0,1, третього – 0,15. Знайти ймовірність того, що: а) тільки 2 рейси будуть відправлені із затримкою; б) усі рейси будуть відправлені вчасно. 1.2.21. Імовірність виготовлення виробу вищого сорту на першому верстаті становить 0,7, на другому – 0,8. На першому верстаті виготовлені 2 вироби, на другому – 3. Знайти ймовірність того, що всі вироби належать до вищого сорту. 1.2.22. Відомо, що в деякому регіоні 40 % компаній мають у штаті юриста і 80 % компаній мають у штаті економіста. Вважаємо, що ці події незалежні. Знайти ймовірність того, що фірма має в штаті економіста і юриста. Заповнити порожні місця в таблиці. Знайти ймовірність того, що зросла ціна акцій на першому ринку, якщо відомо, що зросла ціна акцій на другому ринку. 1.2.23. На фірмі було опитано 100 службовців із метою вивчення стану транспортного обслуговування. Виявилося, що 70 чоловік користуються метро (подія А). Іншими видами транспорту користується 40 чоловік (подія В), а 20 чоловік одночасно користуються метро та іншими видами транспорту. Дані опитування занесені у таблицю. А РазомВ2040 Разом70100 Заповнити порожні місця в таблиці. Знайти ймовірність того, що людина користується метро або іншими видами транспорту. 1.2.24. Власник кафе звернув увагу на те, що 75 % відвідувачів беруть після обіду десерт, 60 % – соки, 40 % – і те, і інше. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний відвідувач, який замовив десерт, візьме ще і сік. 1.2.25. Менеджером з’ясовано, що 40 % співробітників чудово справляються зі своєю роботою, 30 % активно використовують в своїй роботі комп’ютер, 20 % задовольняють обом вимогам. Знайти ймовірність того, що навмання обраний співробітник, використовує комп’ютер при умові, що відмінно справляється зі своєю роботою. 1.2.26. Знайти ймовірність того, що навмання взятий виріб виявиться першосортним, якщо 4% усіх виробів є браком, а першосортні вироби складають 75% від усіх не бракованих. 1.2.27. Комплект, який містить 10 виробів, підлягає вибірковому контролю: із комплекту навмання один за одним виймають і перевіряють 4 вироби. Умовою приймання комплекту є доброякісність усіх відібраних виробів. Знайти ймовірність того, що комплект буде прийнято, якщо він містить 10% браку. 1.2.28. Менеджер встановив, що 50 % співробітників чудово справляються зі своєю роботою, 20 % активно використовують в своїй роботі комп’ютер, 10 % задовольняють обом вимогам. Знайти ймовірність того, що навмання обраний співробітник, не використовує комп’ютер при умові, що відмінно справляється зі своєю роботою. 1.2.29. В одному з комплектів є 5 виробів першого сорту, 11 виробів другого сорту і 8 – третього сорту; а в другому – відповідно 10, 8 і 6 виробів. З обох комплектів навмання виймається по одному виробу. Знайдіть імовірність того, що будуть вийняті вироби одного сорту. 1.2.30. Відділ технічного контролю перевіряє вироби. Імовірність того, що виріб виявиться стандартним, дорівнює 0,9. Знайдіть імовірність того, що: а) із трьох перевірених виробів тільки один буде нестандартним; б) четвертий з перевірених виробів виявиться нестандартним. Завдання 1.3. Формула повної ймовірності. Формули Байєса. Повторення незалежних випробувань. Формула Бернуллі. Формули Муавра-Лапласа. Формула Пуассона 1.3.1. Для ремонту авіаційної техніки на склад технічного майна поставляються запасні частини одного найменування, вироблені трьома заводами. Перший завод поставляє 45% усіх запчастин; другий – 30%, третій – 25%. Імовірності виготовлення якісної продукції для кожного заводу становить відповідно 0,9, 0,95 і 0,85. а) Визначити середній відсоток бракованих запчастин, що зберігаються на складі; б) узята навмання запасна частина виявилася бракованою. Знайдіть імовірність того, що вона виготовлена на першому заводі. 1.3.2. Серед виробів, які випускаються заводом, 96% відповідають стандарту. Спрощена схема контролю визнає доброякісною стандартну продукцію з імовірністю 0,98 і нестандартну – з імовірністю 0,05. а) Знайдіть імовірність того, що узятий навмання виріб пройде спрощений контроль; б) виріб пройшов спрощений контроль. Знайти ймовірність того, що він відповідає стандарту. 1.3.3. Інвестор вкладає свої гроші в акції великого ризику, в акції сприйнятливого ризику та безризикові акції в пропорціях 10 %, 30 %, 60 %. Імовірність отримання прибутку від цих акцій складають 0,6, 0,75, 0,9 відповідно. Знайти: а) ймовірність того, що інвестор отримав прибуток; б) якщо інвестор отримав прибуток, то яка ймовірність того, що він отриманий від безризикових акцій? 1.3.4. Економічний факультет провів обстеження працевлаштування своїх випускників. Імовірність того, що людина, яка працює в сфері бізнесу та має прибуток вище N грн., складає 0,9, а поза сферою бізнесу – 0,3. З’ясовано, що 80% випускників працюють у сфері бізнесу. Знайти ймовірність того, що: а) навмання обраний випускник має прибуток вище N грн.; б) випускник має прибуток вище N грн. Яка ймовірність того, що він працює в сфері бізнесу? 1.3.5. Задачу розв’язують самостійно 2 відмінники, 3 посередні студенти і 5 студентів, що вчаться добре. Імовірність розв’язання задачі відмінником дорівнює 0,9, добрим студентом – 0,8, посереднім – 0,5. До дошки навмання викликається один із студентів. 1) Знайти ймовірність того, що він розв’язав задачу. 2) Викликаний студент розв’язав задачу. Знайдіть імовірність того, що він є: а) відмінником; б) посереднім студентом. 1.3.6. Банк має два філіали А та В. Імовірність прибутку, що приносить філіал А, дорівнює 0,9, імовірність прибутку, що приносить філіал В – 0,8. Частки прибутків першого банку складають 0,6, а другого – 0,4. Знайти: а) ймовірність того, що банк отримає прибуток від своїх філіалів; б) відомо, що банк отримав прибуток. Яка ймовірність того, що це прибуток від філіалу А? 1.3.7. Підприємець тримає свої гроші на валютному та гривневому рахунках у пропорції 3:2. Імовірність падіння курсу валют у наступному місяці складає 0,02, а гривні – 0,06. Знайти: а) ймовірність того, що гроші підприємця в наступному місяці девальвують; б) відомо, що гроші підприємця девальвувалися. Яка ймовірність того, що це трапилося через падіння курсу гривні? 1.3.8. Власник цінних паперів має три види облігацій: великого ризику, сприйнятого ризику та безризикові. Гроші вкладені в пропорції 2:5:3. Імовірність отримання прибутку по цих облігаціях відповідно дорівнює 0,7; 0,8; 0,9. Знайти: а) ймовірність того, що власник акцій отримає прибуток; б) власник акцій отримав прибуток. Яка ймовірність того, що прибуток отриманий від акцій великого ризику? 1.3.9. Фабрика виготовляє однотипну продукцію на трьох конвеєрних лініях, які мають однакову продуктивність. На першій лінії виробляється продукція тільки першого сорту. На другій лінії продукція першого сорту становить 90%, а на третій – 85%. а) Знайти ймовірність того, що випадковим способом узятий виріб буде першосортним. б) Випадково узятий виріб виявився першосортним. Знайти ймовірність того, що він виготовлений на третій лінії. 1.3.10. Менеджер по інвестиціях передбачає в наступному році три варіанти розвитку економічної ситуації: високий зріст, відсутність зростання, спад зростання. Імовірність цих подій складає 0,6; 0,3; 0,1 відповідно. Очікується отримання прибутку з наявного активу. Імовірність отримання прибутку складає: випадок високого зростання – 0,8; випадок відсутності зростання – 0,6; випадок спаду – 0,1. Знайти: а) ймовірність того, що отримано прибуток з наявного активу; б) виявилося, що отримано прибуток з наявного активу. Яка ймовірність того, що цей прибуток отримано в умовах високого зростання економіки? 1.3.11. Авіатехнічний склад одержує від першого заводу в 4 рази більше агрегатів, ніж від другого. Брак у продукції першого заводу складає 4%, а другого – 8%. а) Знайти ймовірність того, що випадковим способом узятий агрегат виявиться бракованим. б) Випадковим способом узятий агрегат виявився бракованим. Яким заводом він імовірніше за все виготовлений? 1.3.12. У контейнер, який містить 3 стандартні і 2 нестандартні вироби кладеться ще 2 вироби, для яких однаково можливі припущення про стандартність. Потім із контейнера навмання береться один виріб. а) Знайти ймовірність того, що він буде стандартним. б) Узятий виріб виявився стандартним. Які два вироби ймовірніше за все було покладено в контейнер? 1.3.13. Два робітники виготовили по однаковій кількості деталей. Імовірність бракованої продукції, виробленої першим робітником складає 5%, а другим – 1%. 1) Знайти ймовірність того, що узята навмання деталь буде бракованою. 2) Відділ технічного контролю виявив браковану деталь. Знайти ймовірність того, що вона виготовлена першим робітником. 1.3.14. Уздовж траси з бензоколонкою проїжджає вдвічі більше вантажних автомашин, ніж легкових. Імовірність того, що буде заправлятися вантажівка, дорівнює 0,1, а для легкової автомашини вона становить 0,2. 1) Знайти ймовірність того, що випадково вибрана машина, яка проїжджає вздовж траси, буде заправлятися. 2) На заправку під'їхала машина. Знайти ймовірність того, що вона а) вантажна; б) легкова. 1.3.15. Для участі в математичній олімпіаді з груп № 101, 102 і 103 запрошено відповідно 4 , 5 і 6 студентів. Імовірність того, що переможцем олімпіади стане студент із першої, другої чи третьої групи, відповідно дорівнює 0,9; 0,8 і 0,7. а) Знайти ймовірність перемоги на олімпіаді студента однієї зі згаданих груп. б) Один із студентів зазначених груп виявився переможцем. До якої групи він імовірніше за все належить? 1.3.16. Серед великого числа виробів, що знаходяться в комплекті, 30% – нестандартних. Знайти ймовірності того, що серед п’яти виробів, навмання узятих із комплекту, буде: а) тільки один нестандартний; б) принаймні один нестандартний. 1.3.17. Імовірність того, що кожен клієнт, який звернувся в авіакасу, замовить квиток до аеропорту N, дорівнює 0,1. Знайдіть імовірності того, що із 100 клієнтів, що звернулися в касу, замовлять квиток до аеропорту N: а) менше 15 чоловік; б) від 5 до 12 чоловік; в) більше 20 чоловік. 1.3.18. На біржі вистановлено 10 цінних паперів. Імовірність того, що вони подорожчають протягом одного дня, дорівнює 0,6. Знайти ймовірності того, що подорожчає: а) рівно 5 паперів; б) не більше ніж 4 папери; в) від 3 до 5 цінних паперів. 1.3.19. Екзаменаційний білет ДАЇ по правилах дорожнього руху містить 10 питань типу “так” або “ні”. Студент, який складає іспит, заповнює відповіді випадково. Для того, щоб скласти іспит треба відповісти не менше ніж на 8 питань. Знайти ймовірність того, що студент складе іспит? 1.3.20. За статистичними даними у середньому 1% пасажирів відмовляється від рейса. Знайти ймовірності того, що з 300 пасажирів, що мають квитки на рейс, відмовляться від польоту: а) не більше п’яти пасажирів; б) не менше трьох пасажирів. 1.3.21. Інвестор укладає договір на фондовій біржі. Імовірність укладання однієї угоди за день дорівнює 0,7. Виходячи з припущення, що за 10 робочих днів укладається не більше однієї угоди в день, знайти ймовірності подій: а) буде укладено 7 угод; б) буде укладено не менше 8 угод; в) жодної угоди не буде укладено. 1.3.22. Кількість помилок у рахунках торгових підприємств складає 5 %. Аудитор перевіряє 10 навмання вибраних рахунків. Якщо не виявляється жодної помилки, то рахунки підприємства далі не перевіряються. Яка ймовірність того, що в 10 рахунках підприємства буде: а) жодної помилки; б) три помилки; в) від 3 до 5 помилок. 1.3.23. Телефонна станція обслуговує 2000 абонентів. Імовірність того, що будь-який абонент подзвонить на станцію протягом певної години, дорівнює 0,001. Знайти ймовірності того, що протягом години на телефонну станцію подзвонять: а) 5 абонентів; б) не більше трьох абонентів. 1.3.24. Фабрика випускає 75% продукції першим сортом. Знайти ймовірність того, що з 300 виробів, виготовлених фабрикою, число першосортних виробів буде: а) не менше 250; б) від 220 до 235; в) не більше 200. 1.3.25. Авіакомпанія має 12 літаків. Імовірність готовності кожного літака до польоту дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що будуть готовими до польоту: а) не менше 8 літаків; б) від 5 до 10 літаків; в) не більше 10 літаків. 1.3.26. При перевезені скляних виробів у середньому 0,05 % від їх числа пошкоджується. Знайдіть імовірності того, що при перевезені 1000 виробів будуть пошкоджені: а) рівно 3 вироби; б) не більше трьох виробів; в) хоча б один виріб. 1.3.27. Близько 40 % клієнтів банку використовують спеціальні кредитні картки. Знайти ймовірність того, що з 25 клієнтів банку, картки використовують: а) рівно 12 клієнтів; б) не менше 10 чоловік; в) від 15 до 20 чоловік. 1.3.28. За даними аеропорту в листопаді через метеоумови відкладається 10% рейсів. Знайдіть імовірності того, що з 400 рейсів, запланованих на листопад, будуть відкладені: а) 50 рейсів; б) від 30 до 50 рейсів; в) не більше 30 рейсів. 1.3.29. У мікрорайоні міста 35 % населення за зняття трамвайної колії. Яка ймовірність того, що серед опитуваних навмання 30 перехожих мікрорайону: а) 10 людей голосують за зняття колії; б) не менше 15 чоловік за зняття колії; в) від 15 до 25 чоловік за зняття колії. 1.3.30. Вибрали навмання 200 акцій. Імовірність того, що акція принесе збитки дорівнює 0,025. Знайти ймовірність того, що серед акцій виявляться збитковими: а) не більше трьох; б) жодної акції; в) більше 4 акцій. |