М_В_та_ПМ_К_030601. Методичні вказівки з виконання контрольної роботи з дисципліни вища та прикладна математика
 Скачать 1.21 Mb.
|
|
Завдання 1.4. Дискретні випадкові величини 1.4.1. Продавець морозива прийшов до висновку, що рівень продажу залежить від погоди: сонячної, похмурої, холодної. Сонячні дні складають 50 %, холодні 10 %. Рівень продажу морозива складає 290, 260 і 225 грн. за день відповідно до стану погоди. Неповернені витрати на морозиво складають 100 грн. за день. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини – прибутку від продажу морозива; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.2. Продавець квітів має наступну залежність імовірності продажу квітів за день Продаж (од.)125150200350Імовірність0,10,40,30,2Собівартість кожної квітки складає 0,8 у.о. Продавець продає квіти за 2 у.о. Всі квіти, що залишилися на кінець дня він продає по 0,4 у.о. перекупнику. Продавець закупив вранці 200 квітів. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини – величини прибутку за один день; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.3. Цінні папери на біржі можуть з імовірністю 0,5 подорожчати на 10 %. Спостереження ведеться три дні. Початкова вартість цінних паперів 5000 грн. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини вартість цінних паперів, вважаючи, що вона має біномний розподіл; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.4. Цінні папери на біржі можуть з імовірністю 0,5 подешевшати на 10 %. Спостереження ведеться три дні. Початкова вартість цінних паперів 3000 грн. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини вартість цінних паперів, вважаючи, що вона має біномний розподіл; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.5. Цінні папери на біржі можуть з імовірністю 0,5 подорожчати на 10 %. Спостереження ведеться два дні. Початкова вартість цінних паперів 5000 грн. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини вартість цінних паперів, вважаючи, що вона має біномний розподіл; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.6. Огляд рахунків 500 інвесторів на фондовій біржі дав наступну інформацію про кількість угод протягом 10 робочих днів. Кількість угод012345678910Кількість власників фінансових інструментів136988476382814101033Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини кількості угод; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.7. Корпорація вкладає гроші у купівлю земельної ділянки вартістю 100 000 у.о., сподіваючись, що через два роки ціна на земельну ділянку зросте на . Є чотири прогнози зміни через два роки 50%45%40%30%Імовірність0,20,30,30,2Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини вартості земельної ділянки через два роки; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.8. У певний день продавець кольорової капусти сподівається на такий рівень продаж (кг) Продаж (кг)0100200350Імовірність0,10,40,30,2Продавець закупає капусту по 1,5 грн, а продає по 3 грн. У кінці дня товар продається по 0,7 у.о. перекупнику. Продавець закупив вранці 120 кг капусти. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини величини прибутку за один день; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.9. Продавець кафе встановив такий закон розподілу рівня продаж освіжаючих напоїв у залежності від погоди: сонячнапохмурахолоднаСума продаж15010040Імовірність0,30,50,2 Собівартість напоїв складає 80 грн. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини величини прибутку за один день; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.10. Імовірність того, що в бібліотеці необхідна студенту книга є на полиці, дорівнює 0,4. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини кількості бібліотек, які відвідує студент доки отримає книгу, якщо в місті є 5 бібліотек; 2) знайти числові характеристики випадкової величини. 1.4.11. У рекламних цілях торгова фірма вкладає в кожну десяту одиницю товару приз вартістю 100 грн. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини розмір виграшу при 5 покупках; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.12. Клієнти банку, які не зв’язані між собою, не повертають кредити в зазначений термін з імовірністю 0,1. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини кількості повернених кредитів з 5 виданих; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.13. Контрольна робота складається з трьох питань. На кожне питання наведено 4 відповіді, серед яких одна правильна. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини кількості правильних відповідей при простому вгадуванні; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.14. В середньому по 10 % угод страхова компанія виплачує страхові суми. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини кількість договорів, по яким виплачені страхові суми, серед 4 навмання вибраних; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.15. В білеті є три задачі. Імовірність правильного розв’язання студентом першої задачі дорівнює 0,9, другої – 0,8, третьої – 0,7. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини кількості розв’язаних задач в білеті; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.16. Скласти закон розподілу випадкової величини кількості пакетів трьох акцій, за якими власником буде отримано прибуток, якщо ймовірність отримання прибутку по кожному пакету відповідно дорівнює 0,5; 0,6; 0,7. Обчислити числові характеристики величини . 1.4.17. Торговий агент має 5 телефонних номерів потенційних покупців і дзвонить доти, доки не отримає замовлення на покупку товару. Імовірність того, що потенційний покупець зробить замовлення дорівнює 0,4. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини кількості телефонних розмов, які проведе агент; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.18. Цінні папери на біржі можуть з імовірністю 0,7 подешевшати на 10 %. Спостереження ведеться два дні. Початкова вартість цінних паперів 5000 грн. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини вартість цінних паперів, вважаючи, що вона має біномний розподіл; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.19. Корпорація вкладає гроші у купівлю деякої будівлі вартістю 200 000 у.о., сподіваючись, що через два роки ціна на будівлю зросте на . Є чотири прогнози зміни через два роки 60%50%40%30%Імовірність0,10,40,30,2 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини вартості будівлі через два роки; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.20. Клієнти банку, які не зв’язані між собою, не повертають кредити в зазначений термін з імовірністю 0,3. 1) Побудувати ряд розподілу випадкової величини кількості повернених кредитів з 4 виданих; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.21. В середньому по 5 % угод страхова компанія виплачує страхові суми. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини кількість договорів, по яким виплачені страхові суми, серед трьох навмання вибраних; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.22. В білеті є 4 задачі. Імовірність правильного розв’язання задач дорівнює 0,8. 1) Побудувати ряд розподілу випадкової величини кількість розв’язаних задач в білеті; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.23. Контрольна робота складається з 4 питань. На кожне питання приведено три відповіді, серед яких одна правильна. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини кількості правильних відповідей при простому угадуванні; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.24. У рекламних цілях торгова фірма вкладає в кожну десяту одиницю товару приз вартістю 200 грн. 1) Побудувати ряд розподілу випадкової величини розмір виграшу при 3 покупках; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.25. Продавець квітів має наступну залежність продажу квітів на певний день Продаж (од.)100150200250Імовірність0,20,30,30,2 Собівартість кожної квітки складає 0,5 у.о.. Продавець продає квіти за 1 у.о. Всі залишені квіти в кінці дня він продає по 0,4 у.о. перекупнику. Продавець закупив вранці 200 квітів. 1) Побудувати ряд розподілу випадкової величини величини прибутку за один день; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.26. Абітурієнт університету повинен скласти три іспити. Імовірність успішного складання першого іспиту дорівнює 0,9, другого – 0,8, третього – 0,7. Кожний наступний іспит складається тільки за умови успішного складання попереднього. 1) Побудувати ряд розподілу випадкової величини кількості іспитів, який складає абітурієнт; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.27. В середньому по 10 % угод страхова компанія виплачує страхові суми. 1) Побудувати ряд розподілу випадкової величини кількості договорів, по яким виплачені страхові суми, серед 6 навмання вибраних; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.28. Торговий агент має 7 телефонних номерів потенційних покупців і дзвонить їм доки не отримає замовлення на покупку товару. Імовірність того, що потенційний покупець зробить замовлення дорівнює 0,5. Треба: 1) побудувати ряд розподілу випадкової величини кількості телефонних розмов, які проведе агент; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.29. Продавець кафе встановив такий закон розподілу рівня продаж напоїв в залежності від погоди сонячнапохмурахолоднаСума продаж20015050Імовірність0,30,50,2 Собівартість напоїв складає 1000 грн. 1) Побудувати ряд розподілу випадкової величини величини прибутку за один день; 2) знайти числові характеристики випадкової величини . 1.4.30. Імовірність того, що необхідна студенту книга є на полиці в бібліотеці, дорівнює 0,3. 1) Побудувати ряд розподілу випадкової величини кількості бібліотек, які відвідує студент для отримання книги, якщо в місті є 4 бібліотеки; 2) знайти числові характеристики випадкової величини .
Завдання 1.6. Закони розподілу неперервних випадкових величин 1.6.1. Ціна ділення шкали вимірного приладу дорівнює 2. Припускаючи, що похибка при округленні розподілена рівномірно, знайти числові характеристики похибки округлення та ймовірність того, що похибка округлення не перевищує 0,4? 1.6.2. Ціна ділення шкали вимірного приладу дорівнює 10. Припускаючи, що похибка при округленні розподілена рівномірно, знайти числові характеристики похибки округлення та ймовірність того, що похибка округлення не перевищує 5? 1.6.3. Шкала секундоміра має ціну ділення 0,2 с. Припускаючи, що похибка при округленні розподілена рівномірно, знайти числові характеристики похибки округлення та ймовірність того, що похибка округлення не перевищує 0,05? 1.6.4. Випадкова величина задає час безвідмовної роботи системи. Вона має розподіл . Знайти А та надійність (імовірність безвідмовної роботи системи) протягом часу . Яка ймовірність того, що час безвідмовної роботи системи буде меншим від математичного сподівання? 1.6.5. Випадкова величина задає час безвідмовної роботи системи (в годинах). Вона має розподіл . Знайти і надійність (імовірність безвідмовної роботи системи) протягом 10 год. 1.6.6. Час відновлення каналу зв’язку має показниковий розподіл. Середній час відновлення дорівнює 10 хв. Яка ймовірність того, що час відновлення буде знаходитись в межах від 5 до 25 хв? 1.6.7. Час прийому та обробки одного повідомлення є випадкова величина , яка розподілена за показниковим законом. В середньому за хвилину приймається 6 повідомлень. Яка ймовірність того, що повідомлення буде прийнято та оброблено протягом 4 хв? 1.6.8. Припускаючи, що термін роботи батарейки “Sony” є нормально розподілена випадкова величина, то яка ймовірність того, що батарейка прослужить принаймні одне стандартне відхилення вище середнього сподіваного терміну служби? 1.6.9. Припускаючи, що річний прибуток родини розподілений нормально з середнім значенням 15 000 грн. і стандартним відхиленням 3000 грн, визначити, який відсоток родин отримає: 1) принаймні 15 000 грн; 2) більше 20 000 грн. 1.6.10. Випадкова величина – кількість продажів ділера розподілена нормально з середнім значенням 29 і середнім відхиленням 7. Знайти ймовірність того, що кількість продажів буде знаходитись в межах: 1) від 16 до 18 одиниць; 2) від 28 до 35 одиниць. 1.6.11. Численними вимірами встановлено, що напруга в електричній мережі в 220 В не відхиляється від свого номіналу більше, ніж на 27 В. Записати щільність розподілу нормального закону, який має напруга. Яка ймовірність нормальної роботи телевізора, якщо відомо, що вона розрахована на діапазон напруги від 205 до 235 В? 1.6.12. Компанія встановила, що випадкова величина – кількість співробітників протягом року, які пропустили роботу через хворобу, розподілена за нормальним законом з середнім значенням 78 днів і стандартним відхиленням – 14 днів. Знайти ймовірність того, що кількість пропущених днів за хворобою буде: 1) не більше 50; 2) від 50 до 70 днів. 1.6.13. Було знайдено, що тривалість обслуговування клієнта приблизно підпорядковується нормальному закону. Середній час обслуговування – 4 хв, стандартне відхилення – 1 хв. Знайти ймовірність того, що: 1) клієнт обслуговується від 2 до 3,5 хв; 2) клієнт обслуговується більше 5 хв. 1.6.14. Відомо, що прибутковість акцій фірми розподілена за законом Гаусса з середнім значенням 12 % і стандартним відхиленням 1,2 %. Знайти ймовірність того, що: 1) акції будуть мати прибутковість не більше 10 %; 2) акції будуть мати прибутковість від 10 % до 14 %. 1.6.15. Фірма отримує основні прибутки від трьох цехів по виробництву різних товарів. Прибуток має нормальний розподіл з середнім значенням 12 000 грн. за місяць і стандартним відхиленням 1000 грн. Визначити інтервал прибутку з 95 % надійністю. 1.6.16. Розглядається можливість придбання акцій двох видів. Їх прибутковість розподіляється за законом Гаусса з однаковими середніми значеннями 20 %. Стандартне відхилення для першої акції дорівнює 1,5 %, для другої – 2 %. Визначити інтервал прибутковості кожної акції з надійністю 95 %. Яка акція краща і чому? 1.6.17. Час, який співробітники фірми витрачають на дорогу до місця роботи, розподілений за нормальним законом із середнім значенням 40 хв і стандартним відхиленням 6 хв. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний співробітник витратить на дорогу: 1) більше 50 хв; 2) від 30 до 45 хв. 1.6.18. Сума, яку витрачає відвідувач універсаму, є нормально розподілена випадкова величина із середнім значенням 56 грн і стандартним відхиленням 12 грн. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний відвідувач витратить суму: 1) менше 30 грн; 2) від 70 до 100 грн. 1.6.19. Поточна ціна акції розподілена за законом Гаусса із середнім значенням 15 у.о. і стандартним відхиленням 0,2 у.о. Знайти ймовірність того, що ціна акції буде: 1) не вище за 15,3 у.о.; 2) від 14,9 до 15,5 у.о. 1.6.20. Місячний прибуток родини розподілений нормально з середнім значенням 800 грн і стандартним відхиленням 30 грн. Визначити, який відсоток родин отримає: 1) принаймні 900 грн; 2) більше 1000 грн. 1.6.21. Зріст чоловіків є нормально розподілена випадкова величина з середнім значенням 173 см і стандартним відхиленням – 36 см. Скільки відсотків костюмів 4-го (176 182 см) та 3-го (170 – 176 см) росту треба передбачити в загальному обсязі виробництва фабрики? 1.6.22. Якість продукції, що випускається фірмою одягу, оцінюється у балах і розподіляється за нормальним законом із середнім значенням 80 і стандартним відхиленням 5. Якщо виріб набрав більше від 70 балів, то він вважається виробом вищої якості і коштує 200 грн. В іншому разі він коштує 150 грн. Визначити долю виробів вищої якості, які випускає фірма. Побудувати графік нормальної кривої, що відповідає умовам задачі. 1.6.23. Вага упаковок розфасованого цукру розподілена за нормальним законом із середнім значенням 10 кг і стандартним відхиленням 0,05 кг. Знайти ймовірність того, що навмання вибрана упаковка важить: 1) більше 10,1 кг; 2) менше 9,8 кг. 1.6.24. Керівник банку встановив, що випадкова величина – кількість продажів, які зробив ділер за певний відрізок часу, розподілена нормально з середнім значенням 30 і середнім відхиленням 9. Знайти ймовірність того, що кількість продажів буде знаходитись в межах: 1) від 16 до 18 одиниць; 2) від 28 до 35 одиниць. 1.6.25. Випадкова величина – кількість продажів розподілена нормально з середнім значенням 25 і середнім відхиленням 6. Знайти ймовірність того, що кількість продажів буде знаходитись в межах: 1) від 10 до 15 одиниць; 2) більше 30 одиниць. 1.6.26. Відомо, що прибутковість акцій фірми розподілена за законом Гаусса з середнім значенням 10 % і стандартним відхиленням 1,5 %. Знайти ймовірність того, що: 1) акції будуть мати прибутковість не більше 5 %; 2) акції будуть мати прибутковість від 12 % до 15 %. 1.6.27. Розглядається можливість придбання акцій двох видів. Їх прибутковість розподіляється за законом Гаусса з однаковими середніми значеннями 10 %. Стандартне відхилення для першої акції дорівнює 1 %, для другої – 1,5 %. Визначити інтервал прибутковості кожної акції з надійністю 90 %. Яка акція краща і чому? 1.6.28. Час, який студенти університету витрачають на дорогу до університету, розподілений за нормальним законом із середнім значенням 40 хв і стандартним відхиленням 10 хв. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний студент витратить на дорогу: 1) більше 25 хв; 2) від 20 до 35 хв. 1.6.29. Встановлено, що випадкова величина – кількість пропусків занять студентами економічного факультету через хворобу за жовтень місяць, розподілена за нормальним законом із середнім значенням 10 днів і стандартним відхиленням 3 дні. Знайти ймовірність того, що кількість днів, пропущених студентом через хворобою буде: 1) не більше 6; 2) від 12 до 15 днів. 1.6.30. Сума, яку витрачає відвідувач універсаму, є нормально розподілена випадкова величина із середнім значенням 45 грн і стандартним відхиленням 12 грн. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний відвідувач витратить суму: 1) менше 40 грн; 2) від 50 до 60 грн. Завдання 1.7. Система двох дискретних випадкових величин Фірма планує відкрити ще одне кафе. З метою оптимального планування можливої кількості відвідувачів кафе протягом деякого часу аналітики фірми провели статистичне дослідження кількості відвідувачів і прибутку, який був отриманий. У таблиці представлений закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин: – кількість відвідувачів кафе за деякий час і прибуток, який отримала фірма в ум. од. Вважати, що k – номер варіанта Вашої контрольної роботи.
Виконати наступні завдання: а) скласти закони розподілу одномірних випадкових величин та ; б) знайти математичне сподівання, дисперсію та стандартне відхилення випадкових величин та ; в) обчислити кореляційний момент і коефіцієнт кореляції ; г) побудувати умовний закон розподілу випадкової величини за умови, що випадкова величина набуває значення k+10 та умовний закон розподілу випадкової величини за умови, що випадкова величина набуває значення k+2; д) знайти умовні математичні сподівання та . |