М_В_та_ПМ_К_030601. Методичні вказівки з виконання контрольної роботи з дисципліни вища та прикладна математика
 Скачать 1.21 Mb.
|
|
ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ З ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ З ДИСЦИПЛІНИ «ВИЩА ТА ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА» (3 семестр) Студент повинен самостійно розв’язати завдання свого варіанта, який визначається за числом N, складениміз двох останніх цифр номера залікової книжки. Варіант визначається за таким правилом: – якщо , то виконується варіант із номером N; – якщо , то виконується варіант із номером N –30; – якщо , то виконується варіант із номером N – 60; – якщо , то виконується варіант із номером N – 90; – якщо , то номер варіанта дорівнює 30. Розв’язання завдань із поясненнями подати у документі (Word), а також необхідно вказати назву дисципліни; прізвище студента, його ім’я та по батькові; номер залікової книжки; номер та назву спеціальності, курс, номер варіанта. Кожне завдання необхідно позначати його номером за методичними вказівками. Умову завдання треба повністю переписати. Після перевірки роботи викладачем у разі зауважень студент повинен розв’язати заново невірно виконані завдання у тому ж самому документі і повторно подати його на перевірку. Перед виконанням контрольної роботи радимо вам засвоїти зазначені нижче основні теоретичні питання за посібниками й підручниками, наприклад, з наведеного нижче списку літератури.
Перед виконанням контрольної роботи потрібно знати наступні питання: 1. Основні поняття теорії ймовірностей. 2. Класичне означення ймовірності. 3. Статистичне означення ймовірності. 4. Геометричне означення ймовірності. 5. Сума й добуток подій, протилежні події. 6. Теореми додавання й множення ймовірностей. 7. Формула повної ймовірності та формули Байєса. 8. Послідовні незалежні випробування. Формула Бернуллі. 9. Локальна та інтегральна формули Муавра-Лапласа. 10. Формула Пуассона. 11. Дискретні випадкові величини. Ряд розподілу та функція розподілу. 12. Числові характеристики дискретних випадкових величин. 13. Деякі закони розподілу дискретних випадкових величин. 14. Неперервні випадкові величини. Щільність розподілу та функція розподілу. 15. Числові характеристики неперервних випадкових величин. 16. Рівномірний та показниковий закони розподілу неперервних випадкових величин. 17. Нормальний закон (закон Гаусса) розподілу неперервної випадкової величини. 18. Система двох дискретних випадкових величин та її закон розподілу. 19. Числові характеристики системи двох дискретних випадкових величин. 20. Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції системи дискретних випадкових величин.
1.1. Класична ймовірність Поняття події у теорії ймовірностей пов’язується з результатом деякого досліду (експерименту, випробування, спостереження, спроби). Будемо позначати події через А, В, С, А1, А2, …, Аn,а досліди – через S, S1, S2, ... Наприклад: S1 – спостереження за погодою; А – дощова погода; В – сонячний день; S2 – іспит із математики; С – отримання позитивної оцінки. Подія А називається випадковою у досліді S, якщо вона може відбутися або не відбутися при здійсненні цього досліду. Граничними випадковими подіями вважаються вірогідні події (відбуваються всякий раз при виконанні досліду S) і неможливі події (не відбуваються при кожній спробі S). Наприклад, у досліді S={кидання двох звичайних гральних костей} подія А= {поява на першій і другій кості однакового числа очок} є випадковою, подія V={сума очок на верхніх гранях костей дорівнює 1} є неможливою, а подія U = {сума очок на верхніх гранях менша за 13} є вірогідною. Події А1, А2, …, Ап називаються попарно несумісними в досліді S, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися разом при здійсненні цього досліду. Події А1, А2, …, Ап називаються рівноможливими або однаковоможливими у досліді S, якщо немає підстав вважати, що якась з них настає у цьому досліді частіше порівняно з іншими. Часто рівноможливість подій доводиться з умов симетрії досліду або з інших міркувань. Наприклад, у раніше розглянутому досліді з киданням двох гральних костей поява будь-якої комбінації очок на першій і на другій кості (1-2, 2-1, 2-2, 5-4, 4-5, 6-6 і так далі) є рівноможливою. Якщо можна утворити скінчену множину ={ } подій, які охоплюють усі можливі результати досліду S (повнагрупаподій), і ці події попарно несумісні й однаково можливі, то цим самим буде побудована класичнамодель досліду S. Події (к= 1, 2, …, n)у такому разі називаються випадками або елементарнимиподіями. Класичну модель треба побудувати так, щоб кожен із випадків був або сприятливимдля певної події А, або виключав її появу. Тоді доцільне наступне означення ймовірності події А. Імовірністю події А у класичній моделі досліду S називається відношення числа m випадків, сприятливих для події А, до загального числа n випадків у класичній моделі. Це так зване класичне означення ймовірності P(A)=m/n. (1.1) З цієї формули випливає, що значення ймовірності будь-якої події належить проміжку [0; 1]: . Для обчислення ймовірності події за класичною схемою у багатьох випадках не потрібно будувати саму модель, а достатньо лише знайти значення m і n у формулі (1.1). Найчастіше т– це кількість різних сполук (розміщень, комбінацій, перестановок), які можна утворити з усіх випадків класичної моделі. Ці значення знаходять за допомогою формул комбінаторики. Нагадаємо деякі з них. Кількість різних розміщень із п елементів по к, тобто сполук, які відрізняються або складом елементів, або порядком їх слідування, обчислюється за формулою . Кількість різних комбінацій із п елементів по к, тобто сполук, які відрізняються складом елементів при довільному порядку слідування, обчислюється за формулою . Кількість різних перестановок із п елементів, тобто сполук, які відрізняються лише порядком слідування елементів, а не складом самих елементів, обчислюється за формулою . Якщо для кгруп елементів утворюється певна для кожної з цих груп сполука й кількість різних сполук для кожної групи дорівнює відповідно m1, m2, …, mк, то кількість різних варіантів утворення хоча б однієї з цих сполук дорівнює сумі m1 + m2 +…+ mк, а кількість різних варіантів утворення усіх сполук – добутку m1 m2 … mк. Це так звані комбінаторні принциписумийдобутку. Задача 1. Група з 24 студентів, серед яких 5 відмінників, довільно розбивається порівну на дві підгрупи. Знайти ймовірність того, що три відмінники будуть у першій підгрупі (подія А). Розв’язання. Будемо випадково відбирати 12 студентів у першу підгрупу. Побудуємо класичну модель досліду, в якому кожен випадок – це один із варіантів розподілу студентів. Якщо послідовність відбору не береться до уваги, то загальне число пвипадків у такій моделі дорівнює числу різних комбінацій із 24 по 12: . Серед знайденого числа способів комплектування першої підгрупи знайдемо число варіантів т, сприятливих події А. Це такі варіанти, у яких 3 студенти взяті серед 5 відмінників, а решта 9 – серед 19 студентів, що не вчаться на відмінно. Число т знайдемо за комбінаторним принципом добутку . Тоді ймовірність попадання трьох відмінників у першу підгрупу обчислюється за класичною формулою (1.1): . Відповідь: 0,34. 1.2. Статистичні та геометричні ймовірності Тривалі спостереження над появою чи не появою випадкової події при дотриманні одного і того ж комплексу умов показують, що для широкого кола подій число появ чи не появ підкоряється стійким закономірностям. А саме, якщо ми за позначимо число появ події при незалежних випробуваннях, то виявляється, що відношення для достатньо великих у більшості таких серій спостережень зберігає майже сталу величину. Назвемо відношення відносноючастотоюпояви події А. Вперше стійкість частот було виявлено на явищах демографічного характеру. Статистичноюймовірністю випадкової події А називається число , що дорівнює відносній частоті появи цієї події при проведені серії з n експериментів, тобто . (1.2) Таке означення ймовірності випадкової події інколи викликає недовіру, аргументовану тим, що відносна частота появи випадкової події може змінюватися при проведенні різної кількості експериментів. Але ця частота у багатьох випадках мало змінюється і прямує до класичної ймовірності, коли число експериментів необмежено зростає: . Таким чином, статистична ймовірність може слугувати наближеною оцінкою ймовірності події А. Деякі задачі теорії ймовірностей можна розв’язувати геометричним способом, це так звані задачі на геометричну ймовірність. Теоретичним підґрунтям указаного способу є наступне положення. Якщо у деякій геометричній області випадково ставиться точка і відомо, що ймовірність попадання цієї точки у іншу меншу область усередині (подія А) не залежить від розташування області , то ймовірність Р(А) попадання точки в область дорівнює відношенню мір М областей і (наприклад, довжин , площ , об’ємів ): . (1.3) Задача 2. Користуючись таблицею смертності, складеною для страхових компаній на основі вибірки із 10 млн. чоловік (США), визначити статистичну ймовірність наступних подій. Подія А: Рік життя народженої людини складе 60 – 65 років. Подія В: Людина, яка дожила до 60 років приживе принаймні ще 5 років. Таблиця 1.1. ВікКількість живихКількість померлих010 000 00070 800209 664 99417 300219 647 69417 655607 698 698156 592617 542 106167 736656 800 531215 917956 4156 415Розв’язання. Згідно з таблицею 1.1 з 10 млн. чоловік дожило до 60 років 7698698 чол., а до 65 років – 6800531 чол. Таким чином, у віці 60 – 65 років у середньому помирають 7698698-6800531=898167 чол. з 10 млн. Отже, шукана статистична ймовірність події А буде: . Для події В вона складає: . Задача 3. До станції метро можна доїхати автобусом за 10 хв. або дістатися пішки за 13 хв. Інтервал руху автобусів становить 7 хв. Будемо вважати, що варто їхати автобусом, якщо ймовірність випадкової події А = {швидше доїхати до метро автобусом } перевищує 50%. Чи варто чекати автобуса? Розв’язання. Нехай t хв. – час чекання автобуса. Значення t – випадкове і відповідає точці, поставленій навмання на відрізку [0; 7], який відповідає інтервалові руху автобусів (7 хв.). Хтось прийде до станції метро пізніше від автобуса (подія А), якщо витрачений час чекання на зупинці плюс час їзди автобусом менше часу пішої подорожі, тобто . Цій умові (а отже, і події А) на проміжку [0; 7] відповідає відрізок довжиною 3. Таким чином, імовірність події А становить . Відповідь: Ні, не варто. Оскільки . 1.3. Теореми додавання й множення ймовірностей При обчисленні ймовірності складної події її часто подають як результат деяких операцій над більш простими подіями. Розглянемо деякі основні операції. Сумоюподій Аі Ву досліді S називається подія , яка полягає в тому, що відбулася хоча б одна з подій Аабо В, не виключаючи появи обох подій. Добуткомподій А і В в досліді S називається подія ,яка полягає в тому, що відбулися обидві події А і В в одному досліді. Подія називається протилежною події А в досліді S, якщо вона полягає в тому, що подія А не відбулася в досліді S. Для протилежних подій справджуються наступні формули (правила Де-Моргана): . Подія А називається незалежноювід події Вв досліді S, якщо її ймовірність не залежить від того, чи відбулася подія В в цьому ж досліді. Умовноюймовірністю події А за умови В в досліді S називається ймовірність появи події А, якщо вважати, що подія В неодмінно відбувається в досліді S. Позначення: , або . Через імовірність простих подій можна подати ймовірність більш складних подій за допомогою наступних теорем. Теорема 1. ІмовірністьдобуткудвохподійАіВдорівнюєймовірностіоднієїзцихподій, помноженоїнаумовнуймовірністьдругої: . Наслідок.ЯкщоподіїАіВнезалежні, тобто , , то . Теорема 2. ІмовірністьсумидвохподійАіВдорівнюєсуміймовірностейцихподіймінусімовірністьїхдобутку: . Наслідок.ЯкщоподіїАіВнесумісні, тобто , то . Теорема 3. ІмовірністьсумидвохпротилежнихподійАі дорівнюєодиниці: . З теореми 3 випливає формула для обчислення ймовірності протилежної події: і формула для ймовірності настання хоча б однієї з незалежних подій А1, А2, …, Ап: . Задача 4. Серед семи виробів є три бракованих. Знайти ймовірність події А, яка полягає в тому, що один за одним без повернення будуть вийняті три вироби у такій послідовності: бракований – не бракований – бракований. Розв’язання. Позначимо події: А1 – перший узятий виріб бракований; А2 – другий виріб не бракований; А3 – третій виріб бракований. Тоді ймовірність події А можна обчислити за теоремою множення ймовірностей: . Відповідь: 0,114. Задача 5. Знайти ймовірність влучити в мішень принаймні один раз при трьох пострілах (подія А), якщо ймовірність влучити в мішень при першому пострілі (подія А1) становить 0,7, при другому (подія А2) – 0,8, при третьому (подія А3) – 0,85. Розв’язання. Перейдемо до протилежної події – стрілець не влучив жодного разу в мішень із трьох пострілів (подія ). Тоді . Оскільки події , а разом з ними відповідні протилежні події – незалежні, то за наслідком теореми 1 (1– 0,7)(1– 0,8)(1– 0,85)=0,009, звідки знайдемо ймовірність події А : . Відповідь: 0,991. |