Министерство сельского хозяйства Российской ФедерацииДепартамент научнотехнической политики и образования
 Скачать 2.21 Mb.
|
|
тематика . При использовании панели Символы и символьного знака равенства Mathcad учитывает все предыдущие определения переменных и функ- ций пользователя и с их учетом пересчитывает ре- зультаты. С помощью команд меню Символика (Symbolics). При выполнении сим- вольных вычислений с помощью команд меню Символика Mathcad игнорирует оп- ределение всех величин, входящих в рассматриваемое выражение и не учитывает функции пользователя. Created with novaPDF Printer ( www.novaPDF.com ) 34 Использование панели Символы На панели Символы есть 2 кнопки с символьным знаком равенства и 22 кнопки для вызова шаблонов различных символьных операций. При щелчке на кнопке в документе появляется шаблон символьной операции с указанием ключевого слова. В шаблоне нужно заполнить места ввода, а в случае появления лишних мест ввода их нужно удалить (клавишей Del). Инструменты основных символьных операций Кнопка Шаблон Описание Одноместный символьный знак равенства Для символьного вычисления интегралов, производных, сумм и произведений Двухместный знак равенства. Первый место- заполнитель для выражения или функции, второй – для ключевого слова операции Решение уравнений и систем уравнений для указанной после запятой переменной Упрощение выражений Подстановка значений переменных Разложение па простые множители Раскрытие степеней и произведений, сумм нескольких переменных Приведение подобных слагаемых Разложение в ряд Тейлора по переменной с порядком аппроксимации Разложение на элементарные дроби Транспонирование матрицы Обращение матрицы Вычисление определителя матрицы Использование меню Символика Меню Символика представляет меньше возможностей, чем панель Символы . Использовать меню удобнее, когда требуется быстро получить аналитический результат для однократного использования. Перед выпол- нением нужной команды из меню Символика, нужно выделить объект вычислений (выражение, часть выражения или отдельную переменную). Created with novaPDF Printer ( www.novaPDF.com ) 35 Выбор стиля выводимого символьного решения устанавливается с помощью диалогового окна Стиль вычисле- ний , которое активизируется одно- именной командой меню Символика. Created with novaPDF Printer ( www.novaPDF.com ) 36 Матричные вычисления Достоинства Mathcad особенно наглядно проявляются при операциях с матрицами и векторами. Эти операции чрезвычайно трудоемки, и, как правило, требуют компьютерного программирования. В системе Mathcad для получения численного или символьного ответа достаточно традицион- ной записи матричных выражений, как на листе бумаги. Способы осуществления матричных вычислений С помощью панели инструментов Матрица (Matrix) для выполнения матричных опера- ций численными методами. С помощью пункта Матрица меню Символика или кнопок на панели Символы для выполнения символьных матричных вычислений. Создание матрицы путем ввода ее элементов 1. Введите имя матрицы и оператор присваивания (:=) 2. Нажмите на кнопку - Создать матрицу или вектор на панели Матрица или ком- бинацию клавиш Ctrl+M. 3. Задайте размеры матрицы в диалоговом окне Вставить матрицу и нажмите на кнопку OK. 4. В шаблоне новой матрицы введите значения в местоза- полнители элементов матрицы. Переход от одного места вво- да к другому осуществляется клавишами управления курсором или щелчком мыши в нужное место ввода. Нумерация элементов матрицы Элементы матрицы определяются двумя индексами, элементы век- тора – одним. Начало нумерации элементов в векторах и матрицах опре- деляется системной переменной ORIGIN. По умолчанию ORIGIN=0, то Created with novaPDF Printer ( www.novaPDF.com ) 37 есть первый элемент вектора, первая строка и первый столбец матрицы имеют нулевой индекс. Можно также изменить нумерацию индексов, ука- зав, например, в первой строке документа ORIGIN:=1. Доступ к нужному элементу матрицы можно получить через имя матрицы с двумя индексами. Первый индекс обозначает номер строки, второй – номер столбца. Произвольный элемент вектора задается одним индексом. Для набора нижнего индекса используется инструмент - Нижний индекс на панели Матрица или клавиша " [". Для выделения из матрицы столбца применяется оператор верхнего индекса <> , которой вызывается с панели Матрица кнопкой - Столбец матрицы. Матричные операторы Простейшие матричные операции реализованы в Mаthcad в виде опе- раторов, кнопки которых находятся на панели Матрица (смотрите раздел «Операторы Mathcad»). Встроенные матричные функции Вставка встроенных функций обработки матриц осуществляется из категории Vector and Matrix диалогового окна Вставить функцию. Встроенная функция Описание функции Функции создания матриц matrix(M, N, f) Создание матрицы размером МN, каждый элемент которой есть функция f(i,j) СreateMesh(), СreateSpase () Создание матрицы для графика поверхности Создание матрицы для графика пространствен- ной кривой Функции определения параметров матрицы rows(M) Число строк в матрице или векторе cols(M) Число столбцов в матрице или векторе last(M) Индекс последнего элемента вектора max(M), min(M) Максимальное и минимальное значения эле- ментов Функции образования новых матриц augment(A,B) Объединение матрицы A и B «бок о бок» Мат- рицы должны иметь одинаковое число строк Created with novaPDF Printer ( www.novaPDF.com ) 38 stack(A, B) Объединяет матрицы друг над другом. Матри- цы должны иметь одинаковое число столбцов submatrix( A, irows, jrows, icols, jcols) Создает матрицу, вырезанную из матрицы A Функции сортировки векторов и матриц sort(v) Сортировка элементов вектора по возрастанию reverse(v) Перестановка элементов вектора в обратном порядке csort(M,i) Перестановка строк матрицы M в порядке воз- растания элементов i-го столбца rsort(M,i) Перестановка столбцов матрицы M в порядке возрастания элементов i-й строки Функции для создания матриц специального вида identity(N) Создание единичной матрицы размера NN diag(v) Диагональная матрица, на диагонали которой находится элементы вектора v geninv(A) Создание матрицы, обратной (слева) матрице A Функции , возвращающие специальные характеристики матрицы rank(M) Вычисление ранга матрицы tr(M) Вычисление следа квадратной матрицы mean(M) Возвращает среднее значение элементов мат- рицы Created with novaPDF Printer ( www.novaPDF.com ) 39 Решение уравнений и систем уравнений Пусть имеется одно алгебраическое уравнение с неизвестным x f(x)=0, или система N алгебраических уравнений 0 ) ,.... ( 0 ) ,...., ( 1 1 1 M N M x x f x x f , где f(x) и ) ,...., ( 1 M i x x f - некоторые функции. Требуется найти корни уравнения, т. е. все значения x, которые переводят уравнение (или систему уравнений) в верное равенство (равенства). Символьное решение алгебраических уравнений С помощью символьного процессора можно аналитически решить алгебраическое уравнение по указанной переменной при условии, что оно имеет такое решение. Created with novaPDF Printer ( www.novaPDF.com ) 40 Действия: С помощью меню Символика Для получения быстрого решение без сохранения хода вычислений. 1. Ввести решаемое уравнение. 2. Выделить курсором ввода переменную, относительно которой будет решаться уравнение. 3. Выполнить команду Символика, Переменная, Решение. С помощью панели Символы 1. Вывести шаблон операции с помощью кнопки панели Символы. 2. В шаблоне решения уравнений ввести левее ключевого сло- ва solve заданное уравнение, правее – имя переменной, относительно кото- рой нужно решить уравнение. 3. Для получения результата выйти за пределы шаблона. Численное решение уравнений и систем уравнений Нахождение корней численными методами связано с задачами: Исследование существования корней в принципе, определение их коли- чества и примерного расположения. Наиболее распространен графиче- ский способ определения начальных приближений. Нахождение корней с заданной точностью TOL. С помощью встроен- ных функций Mathcad решает уравнения и системы уравнений итераци- онными методами с заданием начального приближения всех его корней. Функции решения алгебраических уравнений и систем Встроенная функция Описание root(f(x),x) Функции реализуют итерационный метод секу- щих. Функция root(f(x),x) находит корень нели- нейного уравнения с одним неизвестным по за- данному начальному приближению с заданной точностью TOL. Корень уравнения – это бли- жайшее к начальному приближению значение x, Created with novaPDF Printer ( www.novaPDF.com ) 41 при котором f(x)=0. Если корней несколько, для отыскания каждого корня необходимо задать свое приближение. Значение TOL задается в окне Опции Рабочей области , которое активизирует- ся командой Сервис, Опции рабочей области. root(f(x), x, a, b) Функция root(f(x), x, a, b) находит корень нели- нейного уравнения по заданному интервалу [a, b], который содержит единственный корень. Значе- ния f(a) и f(b) должны иметь разные знаки. Зада- ние начального приближения не требуется. polyroots(v) Функция использует численный метод полино- мов Лаггера. Находит решение уравнения f(x)=0, где f(x) является полиномом N-ой степени. Ко- эффициенты полинома образуют вектор v, начи- ная со свободного члена. Результатом действия функции является вектор, составленный из N корней полинома. Задание начального приближе- ния не требуется. Find(x 1 ,….,x n ) Реализует несколько градиентных методов, вы- бор которых можно осуществить с помощью кон- текстного меню названия функции. Используется для решения линейных и нелинейных систем уравнений по заданному начальному приближе- нию неизвестных. Функция Find(x 1 ,….,x n ) воз- вращает вектор значений x={x 1 ,…,x n }, удовле- творяющих уравнениям и неравенствам, которые определены в вычислительном блоке решения. Вычислительный блок решения систем состоит из трех частей, идущих друг за другом: Given – ключевое слово. Система уравнений, записанная логическими операторами в виде равенств или неравенств. Find(x 1 ,….,x n ). Вычислительный блок Given-Find позволяет ре- шать системы от 1 до 200 уравнений. Перед ис- пользованием этого блока необходимо задать на- чальные приближения для всех неизвестных. lsolve(A,B) Функция для решения системы линейных урав- нений вида AX=B по заданной матрице коэффи- циентов A и вектора свободных членов B. Minerr(x 1 ,….,x n ) Возвращает вектор приближенного решения сис- темы уравнений и неравенств, определенных в блоке c Given. Created with novaPDF Printer ( www.novaPDF.com ) 42 Maximize(f,x 1 ,….,x n ), Minimaze(f,x 1 ,….,x n ), Функции поиска локальных экстремумов функ- ции f. Получение вектора значений аргументов, при которых функция f достигает максимума (минимума). Дополнительные условия (ограни- чения) можно задавать в блоке с Given Решение нелинейных систем уравнений Для решения нелинейных систем уравнений применяется вычисли- тельный блок Given-Find. Перед использованием этого блока необходимо задать начальные приближения для всех неизвестных. Чем они ближе к правильному решению, тем быстрее будет получен правильный результат. Created with novaPDF Printer ( www.novaPDF.com ) 43 Матричные способы решения линейных систем урав- нений Матричные операции применяются при решении системы линейных уравнений вида AX=B, где А – матрица коэффициентов системы размерно- сти N N, X – вектор неизвестных; B – вектор свободных членов. Поэтому, при реализации матричных способов исходная система задается матрицей коэффициентов A и вектором свободных членов B. Реализация решения системы осуществляется одним из двух способов: Способ 1. Использование матричного уравнения X=A -1 B. Способ 2. Использование функции lsolve(A, B). Created with novaPDF Printer ( www.novaPDF.com ) 44 Интегрирование и дифференцирование в Mathcad Операции интегрирования и дифференцирования реализованы в Mathcad в виде вычислительных операторов (смотрите раздел «Операто- ры Mathcad»), которые выводятся с помощью кнопок панели Вычисления (Calculus). После нажатия кнопки со значком нужной операции, на экране появляется шаблон с местозаполнителями, которые необходимо заполнить. Для получения результата нужно нажать оператор численного вывода (=) или символьного вывода ( ). Интегрирование в Mathcad Интегралы, зависящие от параметра, неопределенные интегралы и расходящиеся интегралы вычисляются только в символьном виде с исполь- зованием знака (). Вычисление определенных интегралов можно произ- вести в численном и символьном виде. Конечно, символьное интегрирова- ние возможно только для небольшого круга несложных подынтегральных функций. В Mathcad имеется четыре численных метода интегрирования (Ромберга – для простых функций, Адаптивный – для функций, быстро меняющихся на интервале интегрирования, Бесконечный предел – для ин- тегралов с бесконечными пределами, Сингулярная граница – для интегра- лов с сингулярностью на конце) и метод Риддера для вычисления произ- водной с колоссальной точностью до 7-8 –го знака после запятой. Выбор метода численного интегрирования осуществляется с помощью контекст- ного меню, вызванного в любом месте подынтегральной функции. Дифференцирование в Mathcad С помощью Mathcad можно вычислять производные скалярных функций любого количества аргументов, от 0-го до 5–го порядка. Вычис- лительный процессор Mathcad обеспечивает превосходную точность чис- ленного дифференцирования. Символьный процессор позволяет осущест- вить вычисление производных громоздких функций порядка выше 5–го. Created with novaPDF Printer ( www.novaPDF.com ) 45 Created with novaPDF Printer ( www.novaPDF.com ) 46 Решение дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которых неиз- вестными являются функции одной или нескольких переменных. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они назы- ваются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ), в про- тивном случае говорят об уравнениях в частных производных. Встроенные функции для решения ОДУ и систем ОДУ Встроенная функция Описание ode solve (x, b, step) Ode solve (vf, x, b, step) в Mathcad11 Аргументы функций: x – имя переменной, от- носительно которой решается уравнение; vf – вектор имен неизвестных; b – конец интервала интегри- рования; step – необязательный пара- метр, определяющий число ша- гов интегрирования. Решение одного уравнения. Решение системы дифференциальных уравнений. Применение функции требует записи вычислительного блока Given…Odesolve, который реализует численный метод Рунге-Кутта. Вычислительный блок Given…Odesolve состоит из трех частей: Given – ключевое слово. Дифференциальное уравнение и на- чальные условия к нему. Функция Odesolve в нужном виде. rk fixed (y 0 , x1, x2, m, D) Rk adapt (y 0 , x1, x2, m, D) Bulstoer(y 0 , x1, x2, m, D) Аргументы функций: y 0 – вектор начальный значений искомых функций в точке x1 размерности n. x1 и x2 – граничные точки ин- тервала, на котором ищется ре- шение; m– число точек, в которых ищется приближенное решение; D - функция от двух перемен- ных, содержащая в виде вектора первые производные неизвест- ных функций. Решение методом Рунге-Кутта 4 поряд- ка с фиксированным шагом. Решение методом Рунге-Кутта 4 поряд- ка с переменным шагом. Решение методом Булирша-Штера. Каждая функция выдает решение в виде матрицы размера (m+1)(n+1). План решения: Задать вектор начальных значений |