Министерство сельского хозяйства Российской ФедерацииДепартамент научнотехнической политики и образования

• Название: Министерство сельского хозяйства Российской ФедерацииДепартамент научнотехнической политики и образования
• Дата: 24.10.2022
• Размер: 2.21 Mb.
• Имя файла: method_mathcad.pdf
• Тип: Документы; #752331
• страница: 4 из 4

A
C
D
I
0
=10 A
R
2
=3 Ом
R
5
=1 Ом
I
0
=10 A
I
1
I
4
I
3
I
2
I
5
B
R
1
=1 Oм
R
4
=3 Ом
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

63
Лабораторная работа №3
Интегрирование и дифференцирование.
Решение обыкновенных дифференциальных уравне-
ний и их систем в Mathcad
1.
Теоретическая часть
Перед выполнением лабораторной работы ознакомьтесь с разделами методических указаний на стр. 44-51.
После запуска Mathcad активизируйте и изучите панели инструмен- тов: Математика, Калькулятор, Символы, Вычисления.
2.
Практическая часть
Задание 1. Интегрирование
1. Найти закон движения точки s(t), если уравнение скорости движения точки имеет вид
1 2
3
)
(
2



t
t
t
v
2. Найти длину дуги кривой
))
ln(sin( x
y 
от
3


x
до
3 2


x
3. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой
1 2
2 2


y
x
и парабо- лой
1 2
2



x
x
y
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

64
Задание 2. Дифференцирование
При прямолинейном движении точки зависимость пути от времени задана уравнением








8
sin
2 5
)
(
5
t
t
t
s


. Определить:
1. Скорость и ускорение движения точки в произвольный момент времени.
2. Найти скорость движения точки в конце второй секунды.
3. Найти ускорение точки в конце четвертой секунды.
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

65
Задание 3. Решение ОДУ 1 порядка
Решить дифференциальное уравнения
)
cos(
2
x
y
y



при заданном начальном условии y(0)=0 на интервале [0,15] с использование функций
Odesolve(), rkfixed().
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

66
3.
Задания для самостоятельной работы
1. Найти производные
y
y


,
функций: a)
x
bx
ax
e
bx
ax
y
2 3
3
cos sin cos sin
3 1
3



b)
x
arctg
x
x
y
sin
2
sin
1
sin
1
ln




2. Вычислить интегралы: a)
dx
x
e
e
x
x









2
cos
1
; b)

2
/
0 6
cos

xdx
; c)
dx
x
arctgx



0 2
1
; d)
dydx
y
x
b
a
 


1 1
3 3. Решить обыкновенные дифференциальные уравнения: a)
y
x
x
y





2 1
, y(0)=e на интервале [0;0,5] с помощью функции rkfixed(); b)
)
sin(
)
cos(
)
cos(
x
x
x
y
y





, y(0)=1 на интервале [0,0,5] с помощью функции Odesolve(). c)
,
0
sin
2







y
x
y
x
y
y(0)=0,
,
1
)
0
(


y
,
2
)
0
(


y
3
)
0
(



y
на интерва- ле [0;3] с помощью функциq Odesolve (),rkfixed().
4. Решить системы дифференциальных уравнений: a)









t
e
x
dt
dy
t
y
dt
dx
, при x(0)=1, y(0)=0 на интервале [0;1] с помощью функции rkfixed(); b)












2 2
2 2
2 2
)
ln(
y
x
a
z
z
x
a
bx
y
, при a=2, b=3, y(0)=0,5, z(0)=1 на интерва- ле [0;1] c помощью функции Odesolve().
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

67
РГР №3
«
Применение производных, интегралов и дифферен-
циальных уравнений в задачах физики и механики»
1. Дифференциальное уравнение 1 порядка. Сила тока i в цепи с сопротивлением R, самоиндукцией L и электродвижущей силой E=kt удов- летворяет дифференциальному уравнению
E
Ri
dt
di
L


. Решить это уравне- ние численно при R=10 Ом, L=0,1 Гн, k=2 и начальном условии i(0)=0.
Для проверки правильности решения построить график функции
)
1
(
/




L
Rt
e
R
kL
R
kt
i
, которая является аналитическим решением диффе- ренциального уравнения.
2. Определенный интеграл. a) Сжатие x винтовой пружины пропорционально приложенной силе F.
Вычислить работу A силы F на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила 10 H. Исходные данные ввести с единицами измерения b) Найти длину дуги кривой
4 3
4 3
2 5
2
x
x
x
y


между точками пересече- ния с осью Ox. c) Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигур, ог- раниченных линиями
16 64 2


x
y
,
y
x
8 2

3. Двойной интеграл. Пластинка имеет форму прямоугольного тре- угольника с катетами OA=a и OB=b, причем плотность ее в любой точке равна расстоянию точки от катета OA. Найти статистические моменты M
1
и M
2
пластинки относительно катетов OA и OB.
Расчетные данные и формулы:
a=6; b=10,
)
,
(
y
x

=y,
)
1
(
)
(
a
x
b
x
y


dy
y
dx
dxdy
y
dxdy
y
x
y
М
a
x
y
S
S







0
)
(
0 2
)
(
)
(
2 1
)
,
(

dy
xy
dx
dxdy
xy
dxdy
y
x
x
М
a
x
y
S
S







0
)
(
0
)
(
)
(
)
,
(
2

Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

68
Лабораторная работа №4
Решение задач оптимизации в Mathcad
1.
Теоретическая часть
Оптимизационная задача – это экономико-математическая за- дача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.
Перед выполнением лабораторной работы ознакомьтесь с разделом
«Функции решения алгебраических уравнений и систем» на стр. 40-42.
2.
Практическая часть
Задание 1. Оптимальный
ассортимент продукции
В распоряжении завода железобетонных изделий имеется 3 вида ре- сурсов (песок, щебень, цемент) в объемах b
i
. Требуется произвести про- дукцию n видов. Дана технологическая норма a
ij
потребления отдельного
i-го вида ресурса для изготовления единицы продукции каждого j-го вида.
Известна прибыль P
j
, получаемая от выпуска единицы продукции j-го вида.
Требуется определить ассортимент продукции, которую должен произво- дить завод ЖБИ, чтобы получить максимальную прибыль.
Расход ресурсов на производство
1 ед. продукции
a
ij
, усл.
eд.
Виды ресурсов
S
i
И
1
И
2
И
3
И
4
Наличие
ресурсов
b
i
, усл. ед.
Песок
3 5
5 7
150
Щебень
4 3
3 1
90
Цемент
5 6
3 2
300
Прибыль
P
j
(д. е.)
от 1 ед.
40 30 30 20
Этапы построения математической модели:
1) Постановка задачи.
2) Обозначим через x
j
– количество изделий j- го вида, запланированных к производству.
3) Запишем систему ограничений по запасу ресурсов. Зная норму расхода
c
ij
каждого вида i-го ресурса для изготовления отдельного j-го типа из-
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

69 делия и количество каждого i-го ресурса b
i
, запишемсистему нера- венств:
3x
1
+5x
2
+5x
3
+7x
4

150
4x
1
+3x
2
+3x
3
+1x
4

90
5x
1
+6x
2
+3x
3
+2x
4

300
4) Запишем граничные условия. x
j

0 (j=1,2,…4)
5) Запишем целевую функцию (максимальную прибыль от реализации)
F(X)= 40x
1
+30x
2
+30x
3
+20x
4

max
Реализация математической модели в системе Mathcad
3.
Задания для самостоятельной работы
Составить план производства запасных частей для автомобилей, обес- печивающий предприятию максимальную прибыль.
Расход материалов на производство
запасной части
a
ij
, кг.
Виды ресурсов
S
i
1
2
3
Запас ре-
сурсов
b
i
, кг.
I
5 5
2 1200
II
4
-
3 300
III
-
2 4
800
Прибыль
P
j
(д. е.) от 1 ед.
5 8
6
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

70
C
одержание
Назначение Mathcad............................................................................................................. 3
Компоненты Mathcad .......................................................................................................... 3
Запуск Mathcad ..................................................................................................................... 3
Интерфейс пользователя .................................................................................................... 4
Главное меню........................................................................................................................ 4
Основные панели инструментов ......................................................................................... 6
Работа с документами........................................................................................................ 7
Интерфейс редактирования документов.......................................................................... 8
Типы областей Mathcad....................................................................................................... 8
Создание текстовой области ........................................................................................... 10
Основные операции с областями документа ................................................................... 10
Типы данных ....................................................................................................................... 12
Операторы Mathcad .......................................................................................................... 12
Допустимые имена переменных и функций ...................................................................... 14
Определение переменных ................................................................................................... 14
Создание ранжированных переменных............................................................................. 14
Создание размерной переменной ....................................................................................... 15
Функции Mathcad................................................................................................................ 16
Определение функции пользователя.................................................................................. 16
Встроенные функции ......................................................................................................... 17
Вставка встроенной функции ........................................................................................... 17
Основные категории встроенных функций ...................................................................... 18
Числовой вывод данных в Mathcad .................................................................................... 19
Символьный вывод данных в Mathcad ............................................................................... 19
Графический вывод данных в Mathcad ............................................................................. 20
Двумерные графики............................................................................................................ 20
Построение графика в декартовой системе координат................................................ 20
Форматирования графика................................................................................................. 21
Форматирование рядов данныx ........................................................................................ 22
Построение графика в полярной системе ........................................................................ 23
Построение нескольких рядов данных .............................................................................. 24
Трехмерные графики .......................................................................................................... 25
Вращение трехмерных графиков мышью ......................................................................... 25
Построение трехмерных графиков................................................................................... 25
Форматирование трехмерных графиков.......................................................................... 28
Создание анимации графиков............................................................................................ 30
Символьные вычисления в Mathcad ................................................................................... 32
Использование панели Символы ........................................................................................ 34
Использование меню Символика........................................................................................ 34
Матричные вычисления ..................................................................................................... 36
Способы осуществления матричных вычислений ............................................................ 36
Создание матрицы путем ввода ее элементов ................................................................ 36
Нумерация элементов матрицы ....................................................................................... 36
Матричные операторы ..................................................................................................... 37
Встроенные матричные функции ..................................................................................... 37
Решение уравнений и систем уравнений ........................................................................... 39
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

71
Символьное решение алгебраических уравнений............................................................... 39
Численное решение уравнений и систем уравнений ......................................................... 40
Функции решения алгебраических уравнений и систем.................................................... 40
Решение нелинейных систем уравнений............................................................................ 42
Матричные способы решения линейных систем уравнений ............................................ 43
Интегрирование в Mathcad................................................................................................ 44
Дифференцирование в Mathcad ......................................................................................... 44
Решение дифференциальных уравнений............................................................................ 46
Встроенные функции для решения ОДУ и систем ОДУ .................................................. 46
ОДУ первого порядка ......................................................................................................... 47
Системы ОДУ 1 порядка ................................................................................................... 48
Дифференциальные уравнения порядка выше первого ..................................................... 49
Справочная система Mathcad ........................................................................................... 51
Лабораторная работа №1 ................................................................................................ 52
РГР №1 ............................................................................................................................... 56
Лабораторная работа №2 ................................................................................................ 57
РГР №2 ............................................................................................................................... 61
Лабораторная работа №3 ................................................................................................ 63
РГР №3 ............................................................................................................................... 67
Лабораторная работа №4 ................................................................................................ 68
Cодержание ....................................................................................................................... 70
В авторской редакции.
Подписано в печать . Формат 6484 1/16.
Усл. печ. л. 4,2. Тираж 100. Заказ .
Издательско-полиграфический комплекс ВГСХА «Нива»
400002, Университетский пр. т., 26
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

72
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)