Министерство сельского хозяйства Российской ФедерацииДепартамент научнотехнической политики и образования

• Название: Министерство сельского хозяйства Российской ФедерацииДепартамент научнотехнической политики и образования
• Дата: 24.10.2022
• Размер: 2.21 Mb.
• Имя файла: method_mathcad.pdf
• Тип: Документы; #752331
• страница: 3 из 4

у.
 Ввести векторную функцию D(x, y) двух аргументов – скалярного x и векторного y (вектора первых произ- водных в явном виде).
 Ввести встроенную функцию.
 Вывести результат в табличном или графическом виде.
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

47
Результат решения ОДУ и систем ОДУ с использованием встроен- ных функций можно представить в графическом или табличном виде.
ОДУ первого порядка
Mathcad решает задачу Коши для обыкновенного дифференциально- го уравнения
)
),
(
(
)
(
x
x
y
f
x
y


с заданным начальным условием y(x
0
)=b.
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

48
Системы ОДУ 1 порядка
Mathcad требует, чтобы система дифференциальных уравнений была представлена в стандартной форме:
)
),
(
),...
(
),
(
(
)
(
)
),
(
),...
(
),
(
(
)
(
)
),
(
),...
(
),
(
(
)
(
1 1
0 0
1 1
1 0
1 1
1 1
0 0
0
x
x
y
x
y
x
y
f
x
y
x
x
y
x
y
x
y
f
x
y
x
x
y
x
y
x
y
f
x
y
n
n
n
n









Для того, определить задачу Коши для системы ОДУ, следует опре- делить N начальных условий, задающих значение каждой из функций y
i
(x
0
) в начальной точке интегрирования системы x
0
. Решение систем ОДУ с ис- пользованием встроенных функций rkfixed(), Rkadapt(), Bulstoer() основано на векторном представлении системы дифференциальных уравнений
)
),
(
(
)
(
x
x
Y
F
x
Y


и начальных условий Y(x
0
)=B.
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

49
Дифференциальные уравнения порядка выше первого
Дифференциальное уравнение высокого порядка
)
,
,
,
(
)
2
(
)
1
(
)
(
y
y
y
y
x
f
y
n
n
n




сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка с помощью замены:
)
(
)
(
),...,
(
)
(
),
(
)
(
)
1
(
1 1
0
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
n
n






Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

50
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

51
Справочная система Mathcad
Доступ к справочным системам и ресурсам Mathcad осуществляется через меню Справка.
Справочные системы Mathcad:
 Справка Mathcad (F1) – система справки или технической поддержки Mathcad;
 Что Это? – контекстно-зависимая интерак- тивная справка;
 Руководство Разработчика – информация для разработчиков собственных самостоя- тельных приложений на языке Mathcad;
 Руководство Автора – информация для пользователей, разрабатывающих собствен- ные электронные книги Mathcad;
Ресурсы Mathcad:
 Обучение – библиотека электронных книг Mathcad с примерами;
 Быстрые Шаблоны – шаблоны, которые можно применять для собст- венных расчетов;
 Справочные Таблицы – физические и инженерные таблицы;
 Электронные Книги – доступ к электронным учебникам.
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

52
Лабораторная работа №1
Основы работы с системой Mathcad
1.
Теоретическая часть
Перед выполнением лабораторной работы ознакомьтесь с разделами методических указаний на стр. 3-35.
После запуска Mathcad активизируйте и изучите панели инструмен- тов: Математика, Калькулятор, Графики, Символы.
2.
Практическая часть
Задание 1. Вычисление значения функции пользователя
На поршень насоса, имеющий площадь S (м
2
), действует постоянная сила F (H). С какой скоростью V (л/с) должна вытекать в горизонтальном направлении струя из отверстия площадью S
1
(м
2
), если плотность жидко- сти равна Q (г/см
3
).











2 2
1 1
2
S
S
Q
S
F
V
Расчетные данные: S=0,04; S
1
=0,01; Q=1; F=500.
Задание 2.Численное вычисление арифметических выражений
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

53
Задание 3. Построение графика функции
Построить график изменения напряжения
)
3 2
sin(
100
)
(




t
t
U
в ин- тервале времени t[0; 0,02] c шагом 0,002 с. и частотой f=50 Гц. Угловая частота изменения напряжения
f


2

Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

54
Задание №4. Построение поверхности
Построить поверхность
)
cos(
2 2
1 2
y
x
e
Z
x




, x-8;0 x=2; y2;6 с шагом y =0,5.
Задание 5. Символьная алгебра
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

55
3.
Задания для самостоятельной работы
1. Упростить выражение
ab
a
b
a
a
ab
2 8
2 4
2 2
2



2. Разложить в ряд Тейлора функции:
3 3
sin x
до члена с x
13
; 2)






x
x)
sin(
ln до члена с x
6
3. Привести подобные слагаемые в выражении
2 2
3 2
4 3
2
xy
y
x
xy
y
y
x
x






a) по переменной x b) по переменной y
4. Разложить
4 3
1 1
x
n
x
т










на простейшие дроби.
5. Построить таблицу и график изменения тока
)
6
sin(
3
)
(




t
t
I
в интерва- ле времени t[0;0,3] c шагом 0,0125 с. при частоте f=250 Гц.
6. Построить график кривой, заданной параметрически x=a sec t, y=b sin t.
7. Создать анимацию, демонстрирующую перемещение гармонической бе- гущей волны (пример из раздела «Создание анимации графиков»).
8. Построить верхнюю часть конуса
0 4
9 4
2 2
2



z
y
x
. Диапазоны изменения переменных x, y: x[-2;2] с шагом x=0,5, y[-3;3] с шагом y=1. a) Способом быстрого построения.
b) Способом построения по матрице значений.
c) Способом построения с помощью функции CreateMesh().
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

56 9. Построить трехмерный график для функции z=-sin(x
2
+y
2
) в виде:
a) Графика поверхности;
b) Контурного графика;
c) 3D Гистограммы;
d) 3D Точечного графика;
e) Векторного поля.
10. Построить график поверхности функции z=sin(xy) по матрице ее значе- ний размера 1010. Диапазоны изменения x, y: x[-2;2], y[-4;4].
РГР №1
«Графический вывод данных в физических задачах с помощью
системы Mathcad»
1. Построить график и таблицу изменения кинетической энергии
2
)
(
2 2
t
mg
t
E

падающего тела массой m=1 кг., при значениях времени t, из- меняющихся от 0до 10 с шагом 0,1 с.
2. Построить на одной координатной плоскости два графика затухаю- щего колебания x
1
(t) и x
2
(t) на интервале изменения значений времени t [0;2] с шагом /20 c.
t
e
t
x
t
4
sin
)
(
1
,
0 1



t
e
t
x
t
2
sin
5
)
(
25
,
0 2



3. Построить график поверхности таблицу напряженности электриче- ского поля
)
1
(
2
)
,
(
2 2
0
a
R
a
a
R
E






, образованного заряженным диском, используя: a) Способ быстрого построения.
b) Способ построения по массиву значений.
Исходные данные к задаче:
R – радиус диска, значения которого изменяются на интервале [0,01;0,1] с шагом 0,01 м;
а – расстояние от диска до точки, находящейся на перпендикуляре, восстановленном от центра диска.
Значения a изменяются на интервале [0,05;0,1] с шагом 0,01 м;

- поверхностная плотность заряда плоскости, равная
6 10 6
,
6


к/м
2
;
0

- электрическая постоянная, равная
12 10 85
,
8


ф/м;

- относительная диэлектрическая проницаемость среды, равная 1.
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

57
Лабораторная работа №2
Матричные вычисления. Решение алгебраических
уравнений и систем уравнений в Mathcad
1.
Теоретическая часть
Перед выполнением лабораторной работы ознакомьтесь с разделами методических указаний на стр. 36- 43.
После запуска Mathcad активизируйте и изучите панели инструмен- тов: Математика, Калькулятор, Символы, Матрица.
2.
Практическая часть
Задание 1. Матричные вычисления
Проделать для матриц A, B, C следующие операции:











2 1
1 1
2 1
1 1
2
A
,











4 3
1 2
1 8
6 2
4 3
4 3
1 2
1
B
, C=


















b
b
a
a
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
3 2
1 1
1) Ввести матрицы A, B.
2) Определить след и ранг матрицы A.
3) Найти минимальный и максимальный элементы, число строк и столб- цов матрицы B.
4) Найти сумму матриц
2
E
A
A


5) Объединить матрицы A и В.
6) Вычислить определители матриц A, C.
7) Найти обратную матрицу A
-1
с помощью матричного оператора.
8) Транспонировать матрицы B и C с помощью панели Символы.
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

58
Задание 2. Нахождение корней полинома
Для линейного уравнения четвертой степени
0 24 26 3
6 2
3 4





x
x
x
x
получить
a) символьное решение;
b) численное решение.
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

59
Задание 3. Решение нелинейного уравнения
Решить уравнение
x
e
x



)
1
(
4 2
методом секущих с помощью встроенной функции root(). Определение числа корней уравнения и их на- чальных приближений осуществить графическим способом.
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

60
Задание 4. Решение системы линейных уравнений
Решить систему линейных уравнений















8 10 5
0 9
1 0
2 2
3 0
6 1
2 3
3 5
0 8
2 2
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
матричными способами.
Задание 5. Решение системы нелинейных уравнений
Решить нелинейную систему уравнений














Z
e
z
xy
z
y
z
y
x
5 5
5
,
1 6
2 3
3 2
с помо- щью вычислительного блока Given –Find.
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

61
3.
Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить V
-1
, V
T
, V
-1
V, V, tr(V), rank(V) для матрицы V. a)















3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1
V
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
b)












6 3
7 4
2 1
2 3
5
V
2. Решить уравнения и построить графики для проверки правильности определения корней уравнений.
a)
0 1
16 65 160 65 16 2
3 4
5 6







x
x
x
x
x
x
;
b)
0 3
7 3
4 3
1 9
14 2









x
x
x
x
x
;
c)
0 5
,
0
sin
1
,
0 2



x
e
x
.
3. Решить системы уравнений: a)





























1 10 3
2 8
2 7
5 2
18 2
3 4
5 3
4 2
3 1
2 5
4 1
5 4
2 1
5 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
b)

















0
cos
1 0
2 10 10 10 10
a
z
y
x
xyz
e
e
b
z
y
x
y
x
x
,
где
3

a
;
2

b
РГР №2 «Решение в системе Mathcad задач физики и
механики на составление систем уравнений»
1. Расчет реакций опор. Однородный брус длиной AB=5 м и весом
G=400 Н концом A упирается в гладкий горизонтальный пол и в гладкий вертикальный выступ, а в точке D – в ребро вертикальной стенки высотой
ED=4 м. В этом положении брус образует с вертикальной плоскостью стенки угол =35 0
. Определить реакции опор R
D
, R
AX
, R
AY
с помощью со- ставления и решения системы уравнений равновесия.
Пояснение к задаче: Если принять точку А за центр моментов, система уравнений равновесия имеет вид:















0 0
sin
0
cos
AK
G
AD
R
R
G
R
R
R
D
AY
D
AX
D


R
Ay
x
A
R
Ax
K
E
y
D
R
D
C
G 


B
Created with novaPDF Printer (
www.novaPDF.com
)

62
2. Расчет электрической цепи. Вычислить общее сопротивление
R
0
и силы тока I
1
, I
2
, I
3
, I
4
, I
5
на каждом участке электрической цепи с по- мощью составления и решения системы линейных уравнений.
Пояснение к задаче: Применяя законы Кирхгофа получаем систему линей- ных уравнений





































0 10 3
2 3
0 10 2
0 10 3
0 10 3
10 0
0 10 0
4 3
2 0
5 3
1 0
5 2
0 4
1 5
4 5
3 2
4 3
1 2
1
R
I
I
I
R
I
I
I
R
I
I
R
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
3. Транспортная задача.
Имеются два пункта поставки горючего –
A1, A2, в которых находится соответственно a1, a2 тонн горючего и три пункта потребления горючего – B1, B2, B3, в которые нужно доставить со- ответственно b1, b2, b3 тонн горючего. Значения стоимости (тыс. руб.) пе- ревозки 1 тонны горючего от пунктов отправления к пунктам назначения заданы матрицей C. Составить оптимальный план перевозки горючего, ми- нимизирующий общую сумму транспортных расходов.







90 150
A
,











110 70 60
B
,







80 20 120 40 10 60
C