Метрология. МССИ. Министерство транспорта российской федерациифедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
 Скачать 1.29 Mb.
|
|
z, далее ∆ 1 о = 𝑧𝜎 и интервал от −∆ 1 о до +∆ 1 о Рис. 3.3. График значений функции Ф(z) для z > 0 72 Таблица 3.1. Значение интеграла вероятностей Ф (z) z Ф ( z) z Ф ( z) z Ф ( z) z Ф ( z) 0,00 0,000 0,70 0,516 1,40 0,839 2,25 0,976 0,10 0,080 0,80 0,576 1,50 0,866 2,50 0,988 0,20 0,159 0,90 0,632 1,60 0,890 2,75 0,9940 0,30 0,236 1,00 0,683 1,70 0,911 3,00 0,9973 0,40 0,311 1,10 0,729 1,80 0,928 3,30 0,99903 0,50 0,338 1,20 0,770 1,90 0,943 3,50 0,99953 0,60 0,452 1,30 0,806 2,00 0,955 4,00 0,99994 Вероятность Ф(𝑧) = 𝑃 д называется доверительной вероятностью, а назначенный интервал возможных значений погрешностей ±∆ 1 о – доверительным интервалом. Вероятность того, что данное измерение будет иметь погрешность, выходящую за пределы ±∆ 1 о , будет равна 1 − 𝑃 д , а число наблюдений n, при котором в среднем одно измерение будет иметь погрешность, выходящую за пределы ±∆ 1 о , будет равно 1/(1 − 𝑃 д ). Значения доверительного интервала, заданного в единицах σ, доверительной вероятности 𝑃 д и числа измерений, при которых в среднем одно измерение имеет погрешность, выходящую за пределы доверительного интервала, приведены в табл. 3.2. Таблица 3.2. Соотношения между доверительным интервалом, доверительной вероятностью и числом наблюдений ±Δ о 1 – 2σ/3…+2σ/3 – σ…+σ – 2σ…+2σ – 3σ…+3σ P д 0,5 0,683 0,955 0,997 n 2 3 22 370 Из табл. 3.2 видно, что появление погрешности, большей или меньшей ±2σ/3, равновероятно (𝑃 д = 1/2 ), т. е. на каждые два измерения (n = 2) одно измерение в среднем выходит за пределы доверительного интервала. Такая погрешность получила название серединной или равновероятной. 73 Для интервала ∆ о = ±3𝜎 можно утверждать, что в 369 из 370 наблюдений с вероятностью 0,997 погрешность заключена в интервале ±3𝜎 и лишь в одном измерении может выйти за его пределы. Эта погрешность называется предельной (максимально возможной). Таким образом, можно утверждать, что все возможные случайные погрешности измерения, распределенные по нормальному закону, практически не превышают по абсолютному значению 3𝜎. При технических измерениях доверительную вероятность принято считать равной 0,95. Очевидно, что и доверительный интервал, и доверительная вероятность связаны с числом наблюдений n: чем больше n, тем уже доверительный интервал. Однако в практике измерений в ТКС n > 10 встречается редко. Для числа проведенных наблюдений 2 < n < 20 доверительный интервал определяется не через z, а через коэффициент 𝑡(𝑛, 𝑃 д ) , который зависит от числа наблюдений n и доверительной вероятности 𝑃 д . Закон изменения коэффициента 𝑡(𝑛, 𝑃 д ) определяется распределением Стьюдента нормированной случайной величины: 𝑡 = ∆ 0 𝜎 √𝑛. (3.12) Плотность вероятности для распределения Стьюдента определяется выражением: 𝑓(𝑡, 𝑛) = 1 √𝜋(𝑛−1) Г( 𝑛 2 ) Г( 𝑛−1 2 ) (1 + 𝑡 2 𝑛−1 ) 𝑛 2 (3.13) В выражении (3.13) t определяется по (3.12), n соответствует числу наблюдений, а Г – гамма-функции (интегралы Эйлера), определяемые для аргумента x как: Г(𝑥) = ∫ 𝑒 −𝑡 𝑡 𝑥−1 d𝑡 ∞ 0 Коэффициент 𝑡(𝑛, 𝑃 д ) определяется с помощью следующей формулы: 74 𝑃[−𝑡(𝑛, 𝑃 д )БеБ + 𝑡(𝑛, 𝑃 д )] = 2 ∫ 𝑓(𝑡, 𝑛)d𝑡 𝑡(𝑛,𝑃 д ) 0 (3.14) Значения интеграла (3.14) табулированы и приведены, например, в табл. 3.3. Таблица 3.3. Коэффициенты Стьюдента 𝑡(𝑛, 𝑃 д ) n Pд = 0,7 Pд = 0,8 Pд = 0,9 Pд = 0,95 Pд = 0,98 Pд = 0,99 2 1,96 3,08 6,31 12,71 31,82 63,66 3 1,34 1,89 2,92 4,30 6,97 9,93 4 1,25 1,64 2,35 3,18 4,54 5,84 5 1,19 1,53 2,13 2,78 3,75 4,60 6 1,16 1,48 2,02 2,62 3,37 4,03 7 1,13 1,44 1,94 2,45 3,14 3,71 8 1,12 1,42 1,90 2,37 3,00 3,50 9 1,11 1,40 1,86 3,31 2,90 3,36 10 1,10 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25 При n → ∞ распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению. Доверительный интервал находят по заданной вероятности 𝑃 д и числу наблюдений n. Например, если задано 𝑃 д = 0,95 и n = 6, то из табл. 3.3 находят значение коэффициента Стьюдента 𝑡(𝑛, 𝑃 д ) = 2,6 и получают ∆ о = ±2,6𝜎. Легко убедиться, что при использовании распределения Стьюдента доверительный интервал расширяется (по сравнению с нормальным распределением) при той же самой доверительной вероятности. Наряду с нормальным распределением, при обработке результатов измерений в ТКС широко используется равномерный закон распределения плотности вероятности (рис. 3.1, б). Данный закон применяется тогда, когда случайная погрешность измерений с идентичной плотностью вероятности принимает любые значения в ограниченном интервале от −∆ 𝑚𝑎𝑥 о до +∆ 𝑚𝑎𝑥 о . При этом плотность вероятности погрешности 𝑓(∆ о ) постоянна внутри этих границ и равна нулю вне этих границ. 75 Этот закон характерен для случайных погрешностей при измерении непрерывных физических величин методом дискретного счета, т. е. при преобразовании таких величин в аналого-цифровых преобразователях. Аналитически равномерный закон распределения плотности погрешности 𝑓(∆ о ) может быть записан следующим образом: 𝑓(∆ о ) = { 1/(2∆ 𝑚𝑎𝑥 о ), при −∆ 𝑚𝑎𝑥 о ≤ ∆ о ≤ +∆ 𝑚𝑎𝑥 о ; 0, при ∆ о < −∆ 𝑚𝑎𝑥 о и ∆ о > +∆ 𝑚𝑎𝑥 о (3.15) Вероятность того, что случайная погрешность результатов измерений ∆ о находится в некотором симметричном интервале, определяется выражением (3.5) при подстановке в него значения плотности вероятности 𝑓(∆ о ) = 1(2∆ 𝑚𝑎𝑥 о ) из (3.15): 𝑃(−∆ 1 о ≤ ∆ о ≤ +∆ 1 о ) = 1 2∆ 𝑚𝑎𝑥 о ∫ +∆ 1 о −∆ 1 о d∆ о = ∆ 1 о ∆ 𝑚𝑎𝑥 о (3.16) Дисперсия D и СКО σ для равномерного распределения определяется выражениями: 𝐷 = ∫ ∆ о2 𝑓(∆ о )d∆ о = +∆ 1 о −∆ 1 о 1 ∆ 1 о ∫ ∆ о2 d∆ о = ∆ 1 02 12 +∆ 1 о −∆ 1 о , (3.17) 𝜎 = ∆ 1 о 2√3 (3.18) Например, погрешность квантования, которая обычно заключена в пределах единицы младшего разряда (от –1/2 до +1/2), характеризуется СКО: 𝑠 = 1 2√3 = 0,29 ед. 3.3. Устранение грубых погрешностей При измерении физической величины среди результатов наблюдений могут появиться наблюдения, существенно отличающиеся от остальных. При этом необходимо проверить, не являются ли они грубыми погрешностями (промахами), которые следует исключить из выполненной группы наблюдений. Исключение грубой погрешности без достаточных оснований приводит к 76 необоснованному улучшению результата измерений. С другой стороны, неисключение грубой погрешности, в особенности при малом числе наблюдений, исказит как действительное значение измеренной величины, так и границы доверительного интервала. Решение данной задачи осуществляется статистическими методами теории вероятности в предположении нормального распределения результатов наблюдений и на основе использования того или иного известного критерия оценки анормальности результатов. Известно несколько таких критериев: Райта, Шовенэ, Шарлье, Романовского, Граббса и др. Простейшим способом обнаружения грубой погрешности при нормальном законе распределения является сравнение абсолютной погрешности «подозрительного» наблюдения с максимальной погрешностью ∆ 𝑚𝑎𝑥 = 3𝜎. Если абсолютная погрешность «подозрительного» наблюдения оказалась больше максимальной погрешности, то этот результат следует отбросить. Этот способ основан на том, что вероятность появления значения, отклоняющегося от среднего арифметического более чем на 3σ, равна всего лишь 0,003 (см. п. 3.2). Рассмотрим методику использования критерия Граббса, рекомендуемого положениями ГОСТ Р 8.736–2011. Статистический критерий Граббса исключения грубых погрешностей основан на предположении о том, что группа результатов измерений принадлежит нормальному распределению. При исключении грубых погрешностей из результатов наблюдений по этому критерию проводят следующие операции. Результаты группы из n наблюдений упорядочивают по возрастанию 𝑥 𝑚𝑖𝑛 < 𝑥 1 < 𝑥 2 … < 𝑥 𝑚𝑎𝑥 . Для выбранной группы (выборки) вычисляют оценки среднего арифметического значения 𝑥 и среднего квадратического отклонения наблюдений σ данной выборки. Для предполагаемых грубых погрешностей, которыми могут быть, например, результаты 𝑥 𝑚𝑖𝑛 и 𝑥 𝑚𝑎𝑥 , проводят расчет критериев Граббса 𝐺 1 и 𝐺 2 : 𝐺 1 = |𝑥 𝑚𝑎𝑥 −𝑥̅| 𝜎 и 𝐺 2 = |𝑥̅−𝑥 𝑚𝑖𝑛 | 𝜎 (3.19) 77 Затем задаются уровнем значимости критерия ошибки q, и по заданным величинам q и n из справочных таблиц (например, [3] или ГОСТ Р 8.736–2011) находят критическое значение критерия Граббса 𝐺 𝑘 Сравнивают критерии 𝐺 1 и 𝐺 2 , определенные по (3.19), с критическим значением 𝐺 𝑘 . Если 𝐺 1 > 𝐺 𝑘 , то 𝑥 𝑚𝑎𝑥 исключают как маловероятное значение. Если 𝐺 2 > 𝐺 𝑘 , то 𝑥 𝑚𝑖𝑛 исключают как маловероятное значение. Далее вновь вычисляют среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонения ряда результатов измерений и процедуру проверки наличия грубых погрешностей повторяют. Если 𝐺 1 ≤ 𝐺 𝑘 то 𝑥 𝑚𝑎𝑥 не считают грубой погрешностью и сохраняют в ряду результатов измерений. Если 𝐺 2 ≤ 𝐺 𝑘 , то 𝑥 𝑚𝑖𝑛 не считают грубой погрешностью и сохраняют в ряду результатов измерений. 3.4. Обработка результатов прямых однократных измерений В повседневной практике измерений в ТКС прямые однократные измерения получили широкое распространение. Вопросы, связанные с обработкой результатов прямых однократных измерений, рассматриваются в нормативных документах в области метрологии. К основным нормативным документам, рассматривающим данный вопрос, относятся: рекомендации Р 50.2.038–2004 «ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей и неопределенности результата измерений»; ГОСТ 8.009–84 «ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений» и некоторые другие. Порядок оценивания результатов прямых однократных измерений рассматривается с учетом требований указанных нормативных документов. 3.4.1. Оценка погрешностей результатов прямых однократных измерений Прямые однократные измерения можно проводить лишь при соблюдении следующих условий: – объем априорной информации об объекте измерений такой, что модель объекта и определение измеряемой величины не вызывают сомнений; 78 – изучен метод измерения, его погрешности либо заранее устранены, либо оценены; – СИ исправны, а их метрологические характеристики соответствуют установленным нормам. До измерения должна быть проведена априорная оценка составляющих погрешности с использованием всех доступных данных. При определении доверительных границ погрешности результата измерений доверительная вероятность принимается, какправило, равной0,95. Методика, рекомендованная в Р 50.2.038–2004 «ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей и неопределенности результата измерений», применима при выполнении следующих условий: составляющие погрешности известны, случайные составляющие погрешности распределены по нормальному закону, а неисключенные систематические погрешности, заданные своими границами, распределены равномерно. Составляющими погрешности прямых однократных измерений являются: – погрешности СИ, рассчитываемые по их метрологическим характеристикам; – погрешность используемого метода измерений, определяемая на основе анализа в каждом конкретном случае; – личная погрешность, вносимая конкретным оператором. Если последние две составляющие не превышают 15 % погрешности СИ, то за погрешность результата однократного измерения принимают погрешность используемого СИ. Данная ситуация весьма часто имеет место на практике. За результат прямого однократного измерения физической величины принимается показание 𝑥 п , снятое непосредственно с используемого СИ. Оценивание погрешностей прямых однократных измерений можно подразделить на точное и приближенное. Рассмотрим методику точной оценки. Пусть число неисключенных систематических погрешностей равно m и каждая задана границами ±∆ 𝑐𝑖 . В этом случае доверительная граница суммарной неисключенной систематической 79 погрешности ∆ 𝑐 (𝑃 д ) оценивается по формуле: ∆ 𝑐 (𝑃 д ) = 𝑘√∑ ∆ 𝑐𝑖 2 𝑚 𝑖=1 , (3.20) где k – поправочный коэффициент, зависящий от 𝑃 д и m. Значение поправочного коэффициента k для различных значений 𝑃 д и m можно найти в ГОСТ Р 8.736–2011. Например, при доверительной вероятности 𝑃 д = 0,9 коэффициент k принимается равным 0,95, при 𝑃 д = 0,95 коэффициент k = 1,1. При 𝑃 д = 0,99 поправочный коэффициент k = 1,45, если число суммируемых слагаемых m > 4. Если каждая из известных систематических погрешностей m задана доверительными границами ±∆ 𝑐𝑖 (𝑃 𝑖 ) , т. е. границами с известной доверительной вероятностью 𝑃 𝑖 = 𝑃 𝑖д , то в этом случае доверительная граница суммарной неисключенной систематической погрешности ∆ 𝑐 (𝑃 д ) оценивается по формуле: ∆ 𝑐 (𝑃 д ) = 𝑘√∑ ∆ 𝑐𝑖 2 (𝑃 𝑖 ) 𝑘 𝑖 2 𝑚 𝑖=1 , (3.21) где k i – поправочный коэффициент, соответствующий P i Значения поправочных коэффициентов k и k i определяются аналогично (3.20). Оценка доверительной границы случайной погрешности результата измерения ∆ о с задаваемой доверительной вероятностью P д выполняется в порядке, зависящем от вида представления случайных составляющих. Если случайные составляющие погрешности измерений представлены своими СКО 𝜎 𝑖 , приведенными в технической документации, то в этом случае СКО результата однократного измерения оценивают по формуле: σ = √∑ 𝜎 𝑖 2 𝑚 𝑖=1 , (3.22) где m – число случайных составляющих погрешностей. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения 80 вычисляют по формуле: ∆ 0 (𝑃 д ) = 𝑧(𝑃)√∑ 𝜎 𝑖 2 𝑚 𝑖=1 , (3.23) где 𝑧(𝑃) – аргумент функции Лапласа (см. п. 3.2). Если случайные составляющие представлены своими СКО 𝜎 𝑖 , которые были определены на основе эксперимента при числе измерений n < 20, то для этого случая: ∆ 0 (𝑃 д ) = 𝑡(𝑛, 𝑃 д )√∑ 𝜎 𝑖 2 𝑚 𝑖=1 , (3.24) где 𝑡(𝑛, 𝑃 д ) – коэффициент Стьюдента. В случаях, когда случайные составляющие погрешности измерений представлены доверительными границами ±∆ 𝑖 о (𝑃 𝑖 ) соответствующими одинаковой доверительной вероятности, значение доверительных границ результата измерения следует рассчитывать по формуле: ∆ 0 (𝑃 д ) = √∑ ∆ 𝑖 02 𝑚 𝑖=1 (3.25) Если случайные составляющие заданы доверительными границами ±∆ 𝑖 о (𝑃 𝑖 ) с различной доверительной вероятностью 𝑃 𝑖 , то ∆ 0 (𝑃 д ) с задаваемой вероятностью 𝑃 д может быть найдена по выражению: ∆ 0 (𝑃 д ) = 𝑧(𝑃)√∑ ∆ 𝑖 02 (𝑃 𝑖 ) 𝑧 2 (𝑃 𝑖 ) 𝑚 𝑖=1 (3.26) где 𝑧(𝑃) и 𝑧(𝑃 𝑖 ) – аргументы функции Лапласа. Если в процессе проведения прямых однократных измерений имеются как систематические ∆ с , так и случайные (∆ 0 ) составляющие погрешности, то в этом случае порядок определения полной погрешности измерения зависит от соотношения ∆ с (𝑃 д )/𝜎. 81 Если ∆ с (𝑃 д )/𝜎 < 0,8, то в качестве погрешности результата измерения принимаются доверительные границы случайных погрешностей. Если ∆ с (𝑃 д )/𝜎 > 8, то в качестве погрешности результата измерения принимаются доверительные границы неисключенных систематических погрешностей. Если 0,8 ≤ ∆ с (𝑃 д )/𝜎 ≤ 8, то доверительную границу погрешности результата измерения вычисляют по формуле: ∆(𝑃 д ) = 𝛽[∆ с (𝑃 д ) + ∆ 0 (𝑃 д )], (3.27) Значения коэффициента β в (3.27) для доверительных вероятностей 𝑃 д = 0,95 и 𝑃 д = 0,99 приведены в табл. 3.4. Таблица 3.4. Значения коэффициента β для 𝑃 д = 0,95 и 𝑃 д = 0,99 Δс (Pд) /σ 0,8 1 2 3 4 5 6 7 8 β, Pд = 0,95 0,76 0,74 0,71 0,73 0,76 0,78 0,79 0,80 0,81 β, Pд = 0,99 0,84 0,82 0,80 0,81 0,82 0,83 0,83 0,84 0,85 Выше были рассмотрены прямые однократные измерения с точным оцениванием погрешностей. В практике также имеют место прямые однократные измерения с приближенным оцениванием погрешности. Для них характерно оценивание погрешности полученного результата на основе метрологических характеристик, приведенных в нормативно-технической документации на используемые СИ. Поскольку эти характеристики относятся к любым экземплярам данного типа СИ, то у конкретного используемого СИ действительные метрологические характеристики могут отличаться от нормированных. Прямые однократные измерения с приближенным оцениванием погрешностей правомочны, если доказана возможность пренебрежения случайной составляющей погрешности проведенного измерения, т. е. можно обосновано считать, что граница неисключенных систематических погрешностей результата измерения больше СКО случайных погрешностей в 82 восемь раз и более. В простейшем случае, когда влияющие величины соответствуют нормальным условиям, погрешность результата прямого однократного измерения равна пределу основной погрешности средства измерения, определяемой по нормативно-технической документации. Доверительная вероятность не указывается, но, как правило, подразумевается, что она равна 0,95. При проведении измерений в условиях, отличных от нормальных, необходимо определять и учитывать пределы дополнительных погрешностей. Возможная методика суммирования основных и дополнительных погрешностей однократных измерений приведена в источнике [3]. Во всех рассмотренных выше случаях форма представления результатов прямых однократных измерений должна соответствовать рекомендациям МИ 1317–2004 «ГСИ. Результаты и характеристики погрешностей измерений. Форма представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроля их параметров». В соответствии с рекомендациями МИ 1317–2004, результат прямого однократного измерения физической величины записывается в форме 𝑥 = 𝑥 п ± ∆, 𝑃 д (3.28) |