Метрология. МССИ. Министерство транспорта российской федерациифедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
 Скачать 1.29 Mb.
|
|
I равно уменьшению неопределенности, т. е. разности энтропии, до и после измерения: 𝐼(𝑥) = 𝐻(𝑥) − 𝐻(𝑥/𝑥 и ), (2.14) где 𝐻(𝑥/𝑥 и ) – условная энтропия при известном результате измерения 𝑥 и Условная энтропия 𝐻(𝑥/𝑥 и ) зависит только от закона распределения погрешностей ∆ и определяется выражением 61 𝐻(𝑥/𝑥 и ) = − ∫ 𝑓(∆)[ln 𝑓(∆)]𝑑∆ 𝑦 −𝑦 , (2.15) За основу для энтропийного значения погрешности ∆ э в метрологии принято брать наибольшее значение погрешности при равномерном распределении 𝐻 р ( ∆ ) , которое вносит такую же дезинформацию, как и погрешность с любым другим законом распределения 𝐻 𝑥 (∆). На основании (2.15) условную энтропию равномерного распределения можно представить в виде: 𝐻 р (∆) = − ∫ 1 2∆ (ln 1 2∆ ) 𝑑∆ ∆ 1 −∆ 1 = ln(2∆ 1 ), (2.16) где −∆ 1 и ∆ 1 – интервал исследования. Для нормального закона распределения погрешности СИ со среднеквадратическим отклонением σ условная энтропия 𝐻 н (∆) = − ∫ 1 𝜎√2𝜋 exp −∆ 2 2𝜎 2 ln ( 1 𝜎√2𝜋 exp −∆ 2 2𝜎 2 ) 𝑑∆ ∆ 1 −∆ 1 = ln(𝜎√2𝜋𝑒), (2.17) где e – основание натурального логарифма. Из сравнения (2.16) и (2.17) нетрудно заметить, что СИ, имеющие различные законы распределения погрешностей, могут давать одинаковое количество информации при измерении одной и той же физической величины. Для рассматриваемого случая это выполняется при 2∆ 1 = 𝜎√2𝜋𝑒. Значит, энтропийное значение погрешности для нормального распределения составит ∆ э = 0,5𝜎√2𝜋𝑒 = 2,076𝜎. В общем случае для различных законов распределения степень дезинформационного действия погрешности принято оценивать с помощью энтропийного коэффициента 𝑘 э , который определяется отношением энтропийного значения погрешности ∆ э к среднему квадратическому отклонению σ одного и того же закона: 𝑘 э = ∆ э /𝜎. Для нормального распределения 𝑘 э = 𝑘 н ≈ 2,076. Для равномерного распределения 𝑘 э = 𝑘 р ≈ 1,73. 62 Считается, что оценка результатов измерений по энтропийному значению погрешности более точная и отвечает современному информационному подходу к характеристике процесса измерения физических величин. Информационный подход позволяет с единых позиций анализировать СИ как в статическом, так и в динамическом режимах работы, оптимизировать технические характеристики и оценить предельные возможности тех или иных СИ. Однако классические методы оценки погрешности СИ также имеют свои преимущества и по-прежнему широко применяются в метрологии. 63 3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Процесс измерений можно разделить на три этапа: подготовка к измерениям, проведение измерений и обработка результатов измерений. На первом этапе при подготовке к измерениям выбирают СИ, обеспечивающие заданную точность измерений. При этом приходится решать противоречивую задачу выбора компромисса между точностью измерения и экономическими затратами. Необоснованно высокие требования по точности могут сделать измерительную задачу неоправданно сложной и дорогостоящей. На втором этапе процесса измерений особое внимание уделяется устранению известных систематических погрешностей. Заключительным этапом проведения измерений является обработка результатов измерений, включающая в себя совокупность вычислительных процедур для получения оценки результата измерения и интервала, между границами которого с определенной вероятностью находится действительное значение измеряемой физической величины. Обработка результатов измерений может проводиться различными методами. Выбор метода зависит от многих причин, основными из которых являются следующие: число проведенных отсчетов в процессе измерения; вид измерений; условия измерений; свойства используемых СИ; предварительная информация об источниках и характере погрешностей и др. Ниже рассмотрены наиболее распространенные задачи, встречающиеся при обработке результатов измерений. 3.1. Устранение систематических погрешностей Обнаружение и устранение систематических погрешностей проводится на протяжении всего процесса измерений: при подготовке (профилактика погрешностей); в процессе измерений (экспериментальное исключение погрешностей); при обработке результатов измерений (оценка границ систематических погрешностей или внесение поправок в результат измерения). Исключение или снижение систематических погрешностей является 64 важной задачей, так как невыявленные систематические погрешности устойчиво искажают результат измерений и поэтому считаются более опасными по сравнению со случайными погрешностями, которые определяют достоверность результата измерения. Если причины систематических погрешностей обнаружены, то необходимо принять меры к их устранению или исключению. Устранение обнаруженной систематической погрешности из результата измерения проводят путем введения поправки (для аддитивной погрешности) или поправочного множителя (для мультипликативной погрешности). На первом этапе процесса измерений выявление и устранение возможных причин возникновения систематических погрешностей во многом определяются опытом оператора, пониманием им природы возникновения погрешностей, правильного выбора метода измерения и СИ. Вместе с тем, известны общие рекомендации, которыми следует руководствоваться для выявления и устранения рассматриваемых погрешностей. Ниже приведены наиболее важные рекомендации. Для проведения измерений следует использовать только поверенные СИ. Применение на практике этого требования является наиболее простым и вместе с тем эффективным средством обнаружения и устранения постоянной систематической погрешности. В процессе поверки показания поверяемого СИ 𝑥 пов сравнивают с показаниями рабочего эталона 𝑥 эт и определяют погрешность: ∆ = 𝑥 пов − 𝑥 эт Поправка в данном случае будет равна обнаруженной погрешности ∆, взятой с противоположным знаком. Однако даже после внесения поправки в результат измерения, полученный с помощью поверенного СИ, неисключенный остаток систематической погрешности остается. Его можно считать равным погрешности рабочего эталона. При проведении измерений следует проводить калибровку СИ с помощью внешнего или внутреннего источника калибровочных сигналов с параметрами, заданными с высокой точностью. Для некоторых СИ, например, осциллографов, 65 эта операция проводится после каждого переключения пределов измерений, тем самым устраняется мультипликативная составляющая систематической погрешности. Аддитивная составляющая погрешности устраняется перед началом измерений, путем установки нулевых показаний. Перед проведением измерений следует устранить факторы, определяющие возникновение погрешностей. Наиболее распространенными мероприятиями, направленными на уменьшение влияющих факторов, являются термостатирование, стабилизация источников питания СИ, амортизация СИ, удаление СИ и объекта измерений от источников влияющих воздействий и др. На втором этапе процесса измерений, т. е. при проведении измерений, систематические погрешности исключают несколькими методами. Наибольшее распространение получили метод замещения, метод компенсации погрешности по знаку, метод рандомизации и др. Метод замещения состоит в такой замене измеряемой величины 𝑥 известной величиной 𝑥 м (мерой), получаемой с помощью регулируемой меры, чтобы показание СИ сохранилось неизменным. Таким образом, за окончательный результат измерения принимают значение меры 𝑥 м При данном методе уменьшения систематических погрешностей погрешность недостаточно точного СИ устраняется, а погрешность измерения определяется только погрешностью самой меры и погрешностью отсчета измеряемой величины по указателю меры. Так как точность мер обычно выше точности используемых СИ, данный метод во многих случаях позволяет существенно повысить точность измерения. Устранение систематической погрешности методом замещения широко используется в современных цифровых приборах. Метод компенсации погрешности по знаку (метод двух отсчетов или «вилочный» метод) используется для устранения систематической погрешности, у которой в зависимости от условий измерения изменяется только знак. При этом методе выполняются два измерения одной и той же физической величины 𝑥 таким образом, чтобы систематическая погрешность ∆ с была с разными знаками: 𝑥 1 = 𝑥 + ∆ с и 𝑥 2 = 𝑥 − ∆ с 66 Среднее значение из полученных результатов (𝑥 1 + 𝑥 2 )/2 = 𝑥 представляет собой окончательный результат измерения, не содержащий погрешности ±∆ с Этот метод часто используется при измерении экстремальных значений (максимума и нуля) неизвестной физической величины. Метод симметричных наблюдений оказывается весьма эффективным при исключении прогрессивной погрешности, являющейся линейной функцией соответствующего аргумента (например, амплитуды напряжения, времени, температуры и т. д.). Измерения проводят последовательно через одинаковые интервалы изменения аргумента, а обработку полученных результатов осуществляют с учетом равенства среднего значения погрешности любой пары симметричных наблюдений погрешности, соответствующей средней точке данного интервала. Подобным образом удается исключить погрешности измерений, обусловленные постепенным падением уровня напряжения источника питания и др. Эффективным методом исключения систематической инструментальной и методической погрешности является ее рандомизация. Метод рандомизации (от англ. random – случайный, беспорядочный;) основан на принципе перевода систематических погрешностей в случайные. Этот метод позволяет уменьшать систематическую погрешность путем измерения некоторой физической величины рядом однотипных СИ с последующей оценкой результата измерений в виде математического ожидания (среднего арифметического значения) выполненного ряда наблюдений. В данном методе при обработке результатов измерений используются случайные изменения погрешности от прибора к прибору. Уменьшение систематической погрешности достигается и при изменении случайным образом методики и условий проведения измерений. Поясним действие метода рандомизации простым примером. Пусть некоторая физическая величина измеряется n раз (число n достаточно велико) однотипными CИ, имеющими систематические погрешности одинакового происхождения. Для одного прибора эта погрешность – величина постоянная, но от прибора к прибору она изменяется случайным образом. Поэтому если измерить неизвестную физическую величину n приборами и затем вычислить 67 математическое ожидание всех результатов, то значение погрешности существенно уменьшится. На третьем этапе процесса измерения, т. е. при обработке результатов измерений, следует исходить из того, что при любых измерениях полное исключение систематической погрешности невозможно, т. е. всегда остается часть неисключенной погрешности, которая и является систематической составляющей полной погрешности измерения. 3.2. Аналитическое представление и оценка случайных погрешностей Аналитически случайная погрешность измерений ∆ о описывается и оценивается с помощью аппарата теории вероятностей и математической статистики. Как и для любой случайной величины, основной характеристикой случайной погрешности является интегральный и дифференциальный законы (функции) распределения вероятностей, которые устанавливают связь между возможным значением случайной величины и вероятностью ее появления при многократных наблюдениях. Интегральная функция (закон) распределения 𝐹(∆ о ) определяет вероятность того, что случайная погрешность ∆ 𝑖 о в i-ом отсчете принимает значение меньше текущего значениям ∆ о : 𝑃(∆ 𝑖 о < ∆ о ) = 𝐹(∆ о ) (3.1) Вероятность того, что случайная величина ∆ о примет значение, лежащее в интервале от ∆ 1 о до ∆ 2 о , равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: 𝑃(∆ 1 о ≤ ∆ о ≤ ∆ 2 о ) = 𝐹(∆ 2 о ) − 𝐹(∆ 1 о ) (3.2) Более наглядно свойства случайных погрешностей описываются дифференциальной функцией (законом) распределения 𝑓(∆ о ), называемой обычно плотностью распределения вероятности (или плотностью вероятности): 68 𝑓(∆ о ) = d𝐹(∆ о ) d∆ о (3.3) Как следует из (3.3), от дифференциальной функции распределения 𝑓(∆ о ) легко перейти к интегральной функции 𝐹(∆ о ) путем интегрирования: 𝐹(∆ о ) = ∫ 𝑓(∆ о )d∆ о ∆ о −∞ (3.4) Функция 𝑓(∆ о ) неотрицательная и подчиняется условию нормировки: ∫ 𝑓(∆ о )d∆ о ∞ −∞ = 1 Условие нормировки означает, что площадь, заключенная между кривой 𝑓(∆ о ) и осью абсцисс, равна единице. При известной функции 𝑓(∆ о ) вероятность того, что случайная величина ∆ о примет значение, лежащее в интервале от ∆ 1 о до ∆ 2 о , определяется выражением: 𝑃(∆ 1 о ≤ ∆ о ≤ ∆ 2 о ) = ∫ 𝑓(∆ о ) ∆ 2 о ∆ 1 о d∆ о (3.5) Законы распределения погрешности ∆ о дают исчерпывающую информацию об этой величине, однако на практике при определении погрешности во многих случаях достаточно знать только числовые характеристики законов распределения. К таким характеристикам при описании свойств случайных погрешностей относятся начальные и центральные моменты. Для непрерывных случайных величин ∆ о начальный момент k-го порядка определяется выражением: 𝑚 𝑘 = ∫ ∆ о𝑘 ∞ −∞ 𝑓(∆ о )d∆ о (3.6) Центральный момент k-го порядка рассчитывается по формуле: 𝜇 𝑘 = ∫ (∆ о − 𝑚 1 ) 2 ∞ −∞ 𝑓(∆ о )d∆ о (3.7) где 𝑚 1 – математическое ожидание случайной величины, определяемое по (3.6) при k = 1. Второй центральный момент называется дисперсией D случайной 69 погрешности: 𝐷(∆ о ) = ∫ (∆ о − 𝑚 1 ) 2 ∞ −∞ 𝑓(∆ о )d∆ о (3.8) Дисперсия D характеризует рассеяние отдельных значений случайной величины относительно математического ожидания 𝑚 1 (центра рассеяния). Поскольку дисперсия D имеет размерность квадрата случайной величины, то на практике используется более удобная величина – среднее квадратическое отклонение (СКО), которое имеет размерность самой измеряемой величины и определяется выражением 𝜎(∆ о ) = √𝐷(∆ о ). Для более подробного описания распределения случайных погрешностей могут использоваться моменты более высоких порядков. В метрологической практике используют различные законы распределения случайной погрешности, некоторые из которых в виде дифференциальных функций 𝑓(∆ о ) приведены на рис. 3.1. Рис. 3.1. Законы распределения плотности вероятности случайных погрешностей: а – нормальный; б – равномерный; в – треугольный; г – трапециевидный; д – антимодальный; е – Релея Однако наиболее часто при анализе случайных погрешностей в ТКС используются нормальный закон распределения вероятностей (закон Гаусса) и равномерный закон распределения вероятностей. Широкое применение в практической метрологии нормального закона распределения объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей (теоремой Ляпунова). Эта теорема утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному во всех случаях, когда 70 результаты наблюдений формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных. Нормальный закон распределения вероятностей для случайных погрешностей применяют в случаях, когда справедливы следующие предположения: – погрешность ∆ о может принимать непрерывный ряд значений в интервале ±∞; – вероятности появления погрешностей, равных по величине, но противоположных по знаку, одинаковы; – при выполнении значительного числа измерений большие погрешности ∆ о появляются реже, чем малые, а частота появления погрешностей, идентичных по абсолютной величине и противоположных по знаку, одинакова. Для нормального закона распределения функция 𝑓(∆ о ) описывается выражением: 𝑓(∆ о ) = 1 𝜎√2𝜋 exp ( ∆ о2 2𝜎 2 ), (3.9) где 𝜎 – СКО погрешности. СКО 𝜎 характеризует точность измерений. По мере уменьшения σ рассеяние случайных погрешностей ∆ о относительно центра их распределения, т. е. в данном случае относительно значения ∆ о = 0, уменьшается, и наоборот (рис. 3.2). Рис. 3.2. График нормального закона распределения плотности вероятности при различных значениях СКО 71 Для нормального закона распределения вероятность попадания случайной погрешности ∆ о в симметричный интервал с границами от – ∆ 1 о до + ∆ 1 о определяется подстановкой (3.9) в выражение (3.5): 𝑃(−∆ 1 о ≤ ∆ о ≤ +∆ 1 о ) = 2 𝜎√2𝜋 ∫ exp ( −∆ о2 2𝜎 2 ) ∆ 1 о 0 d∆ о (3.10) При практических расчетах широко применяется нормированное нормальное распределение, которое получается при переходе в выражении (3.10) от переменной ∆ о к относительной переменной 𝑡 = ∆ о /𝜎, при этом верхний предел интегрирования заменяется на 𝑧 = ∆ 1 о /𝜎 . Правая часть равенства (3.10) в этом случае преобразуется в табулированный интеграл вероятностей Ф(𝑧) (функция Лапласа). В результате выражение (3.10) приобретает вид: 𝑃(−∆ 1 о ≤ ∆ о ≤ +∆ 1 о ) = Ф(𝑧) = 2 √2𝜋 ∫ exp ( −𝑡 2 2 ) 𝑧 0 dt. (3.11) График интеграла вероятностей Ф(𝑧) показан на рис. 3.3, а значения приведены в табл. 3.1. Задаваясь границей ∆ 1 о в долях σ, находят z = ∆ 1 о /𝜎 , а затем искомую вероятность по таблицам функции Ф(𝑧). При необходимости можно выполнить обратный поиск, т. е. по заданной вероятности Ф(𝑧) определить |