проект по матиматике. проект по математике. Мир и числа. Способы умножения
 Скачать 0.8 Mb.
|
|
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя школа №13 им. С. В. Залетина» Индивидуальный проект Тема: «Мир и числа. Способы умножения» Выполнила ученица 11 класса Ермакова Мария Алексеевна Руководитель проекта учитель математики Оськина Наталья Витальевна Щекино, 2023 Содержание Введение………………………………………………………. 3 Число как основное понятие математики……………..… 4 Первые ступени вычисления………………………..……. 4 Китайский счет………………………………..……. 5 Японский счет………………………………….…… 5 Русский счет………………………………….……... 5 Как появилась таблица умножения…………………….… 5 Таблица умножения на пальцах…………………….……. 6 Способы умножения…………………………………….… 7 Умножение на 11…………………………………… 7 Умножение на 12………………………………...…. 7 Простое умножение чисел близких к 100………… 7 Умножение на 5,25,125…………………………..… 8 Нестандартные способы умножения…………………..… 8 Русский способ умножения……………………...… 8 Умножение графическим(китайским) способом…. 9 Японский способ умножения……………………… 10 Заключение………………………………………………… 12 Литература и интернет-ресурсы………………………….. 13 Введение Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Математика развивает способность к логическому мышлению, что позволяет человеку жить интересно и никогда не скучать. Эта прекрасная наука развивает умение мыслить нестандартно, находить выход из любых ситуаций. В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в учёбе, в быту, в профессиональной деятельности. Проанализировав много информации, мы открыли для себя очень интересные исторические данные о необычных способах быстрого счёта, способов умножения. Приложив немного усилий, мы теперь сможем и сами вести быстрый счёт и поделиться этими познаниями с одноклассниками и со знакомыми. Актуальность работы: несмотря на то, что наша жизнь в последние годы стала значительно легче благодаря обилию доступных электронных счетных устройств, навык быстрых и удобных вычислений не потерял своей актуальности для человека. Поэтому в своей работе мы хотим показать, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным занятием. Гипотеза исследования: показать, что применение нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков повышает вычислительную культуру учащихся, усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей. Цель: изучить приемы быстрого счета, показать на практике и на теории, как интересно и удобно можно делать действия с числами. Задачи проекта: -познакомится с историей создания счёта; -изучить различные способы умножения; -научиться умножать числа легко, быстро и удобно; -донести найденную информацию до наших сверстников. Объектом нашего исследования являются приемы быстрого счета, математическое действие – умножение. Методы исследования: сбор материала по теме, его анализ и обработка, оформление работы, создание презентации. Число, как основное понятие математики Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Существует большое количество определений понятию «число». Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.). Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору. Первые ступени вычисления Пальцевый счёт, счёт на пальцах — математические вычисления, осуществляемые человеком с помощью сгибания, разгибания или указывания пальцев рук (иногда и ног). Пальцы рук считаются самым первым счётным инструментом древнего человека с эпохи верхнего палеолита (рисунок 1). Таким образом, пальцы для того человека, который едва умеет считать, являются неоцененным и удобнейшим пособием. Счёт на пальцах широко применялся в древнем мире и в средневековье. Наши предки умели производить при помощи пальцев некоторые действия. В настоящее время используется ограниченно, арабскими и индийскими торговцами на Среднем Востоке, в европейских странах — в примитивном виде преимущественно детьми или для отображения цифр жестами, ради убедительности в споре по мере перечисления аргументов, а также судьёй в боксе при отсчете секунд во время нокдауна.  Рисунок 1 Китайский счёт Китайский метод счёта основан на количестве и символике пальцев. Используя этот метод, на двух руках можно посчитать до 20. Стоит заметить, что в некоторых провинциях жесты могут отличаться. 0 — сложенный кулак; 1 — разжатый указательный палец; 2 — разжаты и растопырены указательный и средний пальцы; 3 — разжаты и растопырены указательный, средний и безымянный пальцы; 4 — кроме прижатого к ладони большого пальца, остальные разжаты; 5 — открытая ладонь и т.д. Древнекитайская позиционная десятичная система счёта по двум рукам является наиболее сложной из существующих подобных. Японский счёт В Японии счёт начинается с открытой ладони. Поджатый большой палец представляет число 1, мизинец является числом 5. Таким образом, пальцы, сложенные в кулак, указывает на число 5. Затем совершается обратное действие: число 6 обозначается разжатым мизинцем. Возврат к открытой ладони означает число 10. Например, число 7 отображают указательный и средний палец. Русский счёт Русский счёт на пальцах до десяти начинается с загибания мизинца левой руки и последовательно ведётся до загнутого большого пальца правой руки. Но когда требуется наглядно показать количество, рука сжимается в кулак и сначала разжимается указательный палец, затем средний, безымянный, мизинец и большой. Как появилась таблица умножения При раскопках здания в городе Нара, древней столице Японии, археологами была найдена деревянная табличка с фрагментом таблицы умножения. Из всех табличек, обнаруженных в Японии, найденная – самая древняя. Каким же образом жители Японии впервые узнали о математической «запоминалочке»? Судя по тому, что иероглифы, которыми записаны цифры напоминают китайское письмо, скорее всего, она была просто скопирована из китайского учебника арифметики того времени. А откуда она взялась в Китае? Не исключено, что именно там ее впервые и придумали. Эту версию подтверждает находка, сделанная китайскими археологами на юге страны. Там была обнаружена дощечка, на которой был фрагмент таблицы умножения, возраст которой ученые оценили в 2700 -3000 лет. На основании этой находки ученые Китая предложили гипотезу, согласно которой впервые таблица умножения была составлена в Древнем Китае, а потом вместе с караванами проникли в Индию, а оттуда в страны Передней Азии и Европу. Однако этой версии противоречат многие находки, сделанные ранее. Например, в Индии в свое время были обнаружены более древние варианты таблицы умножения, возраст которых оценивается в 3000-3200 лет. Самые старые в мире таблицы умножения были найдены при раскопках городов Древней Месопотамии. Они были нанесены с помощью клинописи на глиняные таблички, возраст которых составляет 5000 лет. Скорее всего, таблица умножения появилась где-то в тех краях. Хотя не исключено также и то, что данная система устного счета появилась независимо в разных местах. Узнать имя гениального математика, который первым додумался записать результаты умножения в виде таблицы, скорее всего, не удастся. Это пришло в голову сразу нескольким людям. В европейской культуре автором таблицы умножения считается знаменитый греческий математик Пифагор. Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера. Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия. За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел, и все эти приемы соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом. Таблица умножения на пальцах А). При помощи пальцев можно умножать числа от 6 до 9. Этот способ издревле применялся купцами как вспомогательный при устном счёте. При умножении руки располагаются естественным образом, ладонями к себе. Пусть нам нужно умножить 7 и 8. На одной руке возьмем столько пальцев, на сколько 7 больше 5, т. е. 2 пальца, а на другой – столько, на сколько другой множитель больше 5, т. е. 3 пальца. 2 пальца на одной руке да 3 пальца на другой руке составят десятки. Получим 5 десятков. К этим трем десяткам прибавим произведение чисел загнутых пальцев. На одной руке 3 загнутых пальца, а на другой – 2. Их произведение – 6. К пяти десяткам прибавляем 6 единиц и получаем число 56, т. е. наш счет только подтвердил, что 7 умноженное на 8 равняется 56. Б) Умножение для числа 9 - 9·1, 9·2 ... 9·10 - легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится "на пальцах". Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (рисунок 2). Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа - 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип "вычисления" (рисунок 2). Еще пример: нужно вычислить 9·8=? По ходу дела скажем, что в качестве "счетной машинки" не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа - 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто.  Рисунок 2 Способы умножения Умножение на 11 А) Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого равна 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр. 32х11= 3(3+2)2 = 352; 35х11= 3(3+5)5 = 385. Б) Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения. 78х11= 7(7+8)8 = 7(15)8 = 858; 94х11= 9(9+4)4 = 9(13)4 =1034. Умножение на 12 Чтобы умножить на 12 число, надо: -последнюю цифру множимого удваиваем и записываем как самую правую цифру результата; -каждую следующую цифру множимого удваиваем и складываем со своим правым соседом и записываем в результат (если ответ содержит больше одной цифры, то просто переносим 1 или 2 в следующий разряд); -первую цифру множимого ставим самой левой цифрой результата. 124 х 12 =1 4 8 8; 4 х 2 = 8; 2 х 2 + 4 = 8; 1 х 2 + 2 = 4. Простое умножение чисел близких к 100 Например, нам надо перемножить числа 96 и 97. Не надо бросаться за калькулятором или начинать считать столбиком. Мы найдем вспомогательные числа. Их находим вычитанием доступного нам числа от 100. В нашем случае получается, что вспомогательные числа это 4 и 3. Дальше можем забыть о данных на числах. Теперь найдем цифры стоящие в начале необходимого числа: мы складываем 4 и 3, а затем получившееся число отнимаем от 100. Получается: 4+3=7, 100-7=93. Значит в начале нашего числа стоит цифра 93. Затем найдем последние цифры необходимого нам числа: мы просто перемножаем 4 и 3. Получается 12 — это последние цифры нашего числа. У нас получилось число 9312. Значит 96*97=9312. Умножение на 5,25,125 Чтобы умножить число на 5, 25, 125, достаточно разделить его соответственно на 2, 4, 8 и умножить на 10, 100, 1000. Например: 1246 х 5 = 6230, так как 1246 : 2 = 623; 6428 х 25 = 160700, так как 6428 : 4 = 1607; 8032 х 125 = 1004000, так как 8032 : 8 = 1004. Русский способ умножения Способ этот, был употребителен в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа, таблица умножения в этом деле без надобности. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, при этом параллельно удваивают другое число. Последнее удвоенное число и даёт искомый результат (рисунок 3). Нетрудно понять, на чём этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение. Для рисунка 2: 192 + 48 + 12 = 252 Правильность приёма станет ясна, если принять во внимание, что: 5 × 48 = (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48 21 × 12 = (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12 Ясно, что числа 48, 12, утрачиваемые при делении нечётного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение. Русский способ умножения и элегантен и экстравагантен одновременно.  Рисунок 3 Умножение графическим (китайским) способом Перемножим два двузначных числа: 15 и 23 Шаг 1. Первое число 15 – рисуем первую цифру одной линией, а вторую цифру пятью линиями.(рисунок 4) Шаг 2. Второе число 23 – рисуем первую цифру двумя линиями, а вторую цифру тремя линиями.(рисунок 5) Шаг 3. Подсчитываем количество точек в группах.(рисунок 6) Шаг 4. Получаем результат 345.(рисунок 7)  Рисунок 5 Рисунок 5 Рисунок 6 Рисунок 7Японский способ умножения Допустим, необходимо умножить 123 на 321 (рисунок 8). Для начала нужно нарисовать одну, две и три параллельные линии, которые будут размещаться по диагонали с верхнего левого угла в нижний правый. На созданных группах параллелей нарисовать три, две и одну линию соответственно. Они также будут размещаться по диагонали с нижнего левого угла в правый верхний.  Рисунок 8В итоге получим так называемый ромб (как на рисунке выше). Если кто еще не понял, количество линий в группе зависит от чисел, которые нужно перемножить. Итак, как японцы умножают числа? Следующий этап – подсчет точек пересечения. Сначала отделяем полукругом место пересечения трех линий с одной и считаем количество точек. Получившееся число записываем под ромбом. Дальше точно таким же образом отделяем участки, где пересекаются две линии с тремя и одной. Также считаем точки соприкосновения и записываем, потом считаем точки, которые остались в центре. Должен получиться такой результат, как и на рисунке ниже (рисунок 9).  Рисунок 9Стоит обратить внимание на то, что если центральное число двузначное, то первую цифру нужно добавить к числу, что получилось при подсчете точек соприкосновения в области слева от центра. Умножив, таким образом, 123 на 321, получим 39 483. Этим методом можно умножать как двузначные, так и трехзначные числа. Одна проблема в том, что если придется считать такие числа, как 999, 888, 777 и т.д., то нужно будет рисовать очень много черточек. Заключение Число – основное понятие математики. С помощью него мы совершаем почти все. В том числе такое действие как умножение. Как мы видим, быстрый счет это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит ее можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладеть. Мы рассмотрели нестандартные способы умножения и выявили, что современный используемый алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный. Из представленных нами необычных способов умножения, более интересным показался китайский. Мы познакомили с ним своих одноклассников, научили им пользоваться, и он им тоже очень понравился. Ведь не нужно обладать сверхъестественными способностями, чтобы уметь пользоваться разными способами умножения. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов. Все рассмотренные нами методы вычислений говорят о многолетнем интересе и ученых, и простых людей к игре с цифрами. Таким образом, пока мы только изучали и анализировали уже известные способы умножения. Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы умножения. Литература и интернет-ресурсы Гарднер М. Математические чудеса и тайны. - М., 1978. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.,1981. Депман И. «Рассказы о математике». – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с. Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941 — 12 с. Савин А.П. Математические миниатюры. Занимательная математика для детей. - М.: Детская литература, 1998, 175 с. https://obuchonok.ru/node/6726 https://infourok.ru/referat-na-temu-chislo-kak-osnovnoe-ponyatie-matematiki-2242416.html?ysclid=laba0u3bt0313266548 https://intolimp.org/publication/proiekt-razlichnyie-sposoby-umnozhieniia.html?ysclid=lab7fdj0xw696867449 https://topuch.com/mir-chisla-raznie-sposobi-umnojeniya/index.html |