экзамен инф. Множества и операции над ними. Основные числовые множества. Множеством
![]()
|
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательностиЛюбая монотонная ограниченная последовательность {xn} имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup {xn} для неубывающей и точной нижней границе, inf {xn} для невозрастающей последовательности. Любая монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности. Число e (или, как его еще называют, число Эйлера) – это основание натурального логарифма; математическая константа, являющаяся иррациональным числом. e = 2.718281828459… Способы определения числа e (формула):1. Через предел: Второй замечательный предел: ![]() Альтернативный вариант (следует из формулы Муавра – Стирлинга): ![]() Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции при x . Число AA является пределом функции f(x)f(x) при x→∞x→∞, если последовательность ее значений будет сходиться к AA для любой бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательной или положительной). Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами. Число {\displaystyle A\in \mathbb {R} } ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Число {\displaystyle A\in \mathbb {R} } ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При x→∞ предел функции f(x)) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной). Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Основные теоремы о бесконечно больших и бесконечно малых функциях. Определение бесконечно малой функции Функция α(x) называется бесконечно малой при x стремящемся к x0, если функция имеет предел при x → x0, и он равен нулю: . Определение бесконечно большой функции Функция f(x) называется бесконечно большой при x стремящемся к x0, если функция имеет предел при x → x0, и он равен бесконечности: . Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x0, на бесконечно малую, при x → x0, является бесконечно малой функцией при x → x0. Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x0, и бесконечно большой функции, при x → x0, является бесконечно большой функцией при x → x0. Теорема о произведении ограниченной снизу функции на бесконечно большую Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом: , а функция является бесконечно большой при x → x0: , то их произведение является бесконечно большой функцией при x → x0 Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую Если функция f(x) является бесконечно большой при x → x0, а функция g(x) – ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x0, то ![]() ![]() Основные теоремы о пределах. Теоремы о предельном переходе. ТЕОРЕМА 1 (О предельном переходе в равенстве). Если значения функций f(x) и g(x) в окрестности некоторой точки ![]() ТЕОРЕМА 2 (О предельном переходе в неравенстве). Если в окрестности некоторой точки f(x) значения функции g(x) не превосходят соответствующих значений функции f(x), то и предел функции в этой точке не превосходит предела функции g(x) в этой же точке: ТЕОРЕМА 3 Предел константы равен этой константе: ТЕОРЕМА 4 Если функция f(x), имеет предел, то он единственный. ТЕОРЕМА 5 Если каждое слагаемое в сумме/разности функций имеет предел при ![]() ![]() ТЕОРЕМА 6 Если каждый из функций в конечном произведении имеет предел при ![]() ![]() ![]() ![]() ТЕОРЕМА 7 Постоянный множитель можно выносить за знак предела: ТЕОРЕМА 8 Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ![]() ![]() ![]() ТЕОРЕМА 9 Если функция f(x имеет предел b при ![]() ![]() ![]() ![]() ТЕОРЕМА 10 Если функцию f(x) можно представить как сумму некоторого числа b и некоторой бесконечно малой функции при ![]() ![]() Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Первый замечательный предел имеет вид ![]() Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к 0. Второй замечательный предел имеет вид ![]() Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к ![]() Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Таблица эквивалентных б.м.ф. ![]() ![]() ![]() Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке ![]() точками разрыва функции называются точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности. Классификация точек разрыва: 1. Точки разрыва первого рода (скачок) – точка ![]() ![]() Пример: ![]() ![]() 2. Точки разрыва второго рода (бесконечный разрыв) - очка ![]() Примет: ![]() 10 . Непрерывность функции в интервале и на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка). При этом на концах отрезка или интервала необходима только односторонняя непрерывность. войства функций, непрерывных на отрезке Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса ). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M≤ f(x)≤ M. Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], имеет на нем как наибольшее так и наименьшее значение. Свойство 3: (теорема Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a, b] такая, что f (a) = A, f (b) = B , то для любого значения C , заключенного между A и B , существует такая точка ξ [a,b], что f (ξ) = C . Иначе говоря, непрерывная на отрезке функция, принимающая какиелибо два значения, принимает и любое промежуточное. Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х=х0, то существует некоторая окрестность точки х0, в которой функция сохраняет знак. Свойство 5: (теорема Больцано–Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, в которой функция обращается в нуль. Т.е. если sign(f(a)) ≠ sign(f(b)), то x0 [a,b] : f(x0)=0. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b], если для любого ε>0 существует δ >0 такое, что для любых точек х1 [a,b] и x2 [a,b] таких, что
Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого ε существует свое δ , не зависящее от х, а при “обычной” непрерывности δ зависит от ε и х. Свойство 6: (Теорема Кантора ). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. Свойство 7: Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором (конечном или бесконечном) интервале (a,b) , где
однозначна, монотонна и непрерывна на интервале с концами c и d . 11. Производная функции, ее механический смысл. Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Механический смысл производной заключается в том, что скорость материальной точки равна производной закона пути движения этой точки: 12. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции. Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох: Пусть функция y = f(x) в точке x0 имеет производную y(x0)=tga Тогда в точке M0(x0y0) существует касательная к графику этой функции, уравнение которой: ![]() Пусть функция y = f(x) в точке x0 имеет производную y(x0)=tga Тогда в точке M0(x0y0) существует Нормаль к графику функции уравнение которой ![]() Если f(x0)=0 (то есть касательная горизонтальна), то нормаль вертикальна и имеет уравнение x=x0 13. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Если функция ![]() 14 Производная суммы, произведения, частного. Производная суммы функций равна сумме производных каждой из функций:(u+v)′=u′+v′ Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй множитель плюс произведение первого множителя на производную второго множителя: (uv)′=u′v+uv′ Производная частного равна разности произведения производной числителя на знаменатель и произведения числителя на производную знаменателя, деленной на квадрат знаменателя. ![]() 15. Производные сложной и обратной функций. Теорема о производной обратной функции: Если функция у=f(x) имеет производную в т. Х0, где f''(x0)≠0, то функция х=f-1(y) имеет также производную в этой точке, причем (f-1(y0))'= ![]() Теорема о производной сложной функции. Пусть функция u=u(x) имеет производную в точке х0 , а функция y=f(u) имеет производную в точке uo=u(xo) . Тогда сложная функция y=f(u(x)) имеет производную в точке х0, причем y’=f ’(uo)•u’(xo) 16 Производные основных элементарных функций. К элементарным функциям относятся основные элементарные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и суперпозиций. ![]() 17. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций заданных неявно и параметрически. Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием можно использовать для нахождения производных степенных, рациональных и некоторых иррациональных функций. Неявно заданная функция Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция). Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у. Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот. Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2у-х+у=0). Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'. Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у. << Пример 21.1 Найти производную функции у, заданную уравнением х3+у3-3ху=0. Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х3+у3-3ху=0. Из полученного соотношения 3х2+3у2· у'-3(1· у+х· у')=0 следует, что у2у'-ху'=у-х2, т. е. у'=(у-х2)/(у2-х). Функция, заданная параметрически Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений ![]() где t — вспомогательная переменная, называемая параметром. Найдем производную у'х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции ![]() Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'х=y't•t'x. С учетом равенства (21.2) получаем ![]() Полученная формула позволяет находить производную у'х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х. 18. Дифференциал функции. Свойства дифференциала
Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ'(х)•∆х. Дифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной. Дифференциал постоянной равен нулю: dc = 0, с = const. Дифференциал суммы дифференцируемых функцийравен сумме дифференциалов слагаемых: d(u+v)=du + dv Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны d(u+c) = du (c= const). 3Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой: d(uv) = udv + vdu. Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала d(cu) = cdu (с = const). 4Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой ![]() 5Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной. 19. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. ![]() ![]() ![]() Дифференциалом 2ого порядка называют d(dy)=d2y=y’’(dx)2. Дифференциалом n-ого порядка dny=d(dn-1y)=y(n)(dx)n. Отсюда: y(n)= ![]() 20. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Теорема 1. (Теорема Ролля) Пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Доказательство. Функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Формула (1) называется формулой Лагранжа. Иногда ее записывают в виде ![]() Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Формула (2) называется формулой Коши. Доказательство. Заметим, что теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, если в качестве функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 21. Правило Лопиталя. Правило Лопиталя. Предел отношения бесконечно малых или бесконечно больших величин равен пределу отношению производных, если предел отношения производных существует. 22. Формула Тейлора. ![]() 23 Формула Тейлора для основных элементарных функций. ![]() 24 Монотонность функции, условия монотонности. Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. ![]() 25 Точки экстремума, необходимый признак экстремума. Точки, в которых функция достигает максимума или минимума, называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках называют экстремальными. Точка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Необходимый признак экстремума. Если дифференцируемая функция достигает в некоторой точке экстремума, то её производная в этой точке равна нулю или не существует 26 Достаточные признаки экстремума. Теорема (первый достаточный признак экстремума). Если x0 - критическая точка функции f (х) и в некоторой окрестности этой точки, слева и справа от нее, производная имеет противоположные знаки, то ![]() 1) максимумом, если ![]() ![]() ![]() ![]() 2) минимумом, если ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема. (Второй достаточный признак экстремума). Если функция f (х) дважды дифференцируема в окрестности точки x0, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 27 Выпуклость и вогнутость графика. Точки перегиба. Определение 1 Дифференцируемая функция является выпуклой по направлению вниз на некотором интервале в том случае, когда ее график располагается не ниже касательной к нему в любой точке этого интервала. Определение 2 Дифференцируемая функция является выпуклой по направлению вверх на некотором интервале в том случае, если график данной функции располагается не выше касательной к нему в любой точке этого интервала. Определение 3 Точка перегиба функции – это точка M(x0; f(x0))M(x0; f(x0)), в которой существует касательная к графику функции, при условии существования производной в окрестности точки x0x0 , где с левой и правой стороны график функции принимает разные направления выпуклости. 28 Асимптоты графика. Схема полного исследования функции. Асимптота -- это такая прямая, к которой график заданной функции приближается сколько угодно близко, но не пересекает ее. Среди асимптот выделяют следующие виды: вертикальная асимптота (параллельна оси ОY); горизонтальная асимптота (параллельна оси ОХ); наклонная асимптота (расположена под углом к осям координат). Отметим, что асимптоты на графике функции изображаются пунктирной линией. ![]() ![]() ![]() ![]() 29. Функции нескольких переменных. Основные понятия. |