Множества и подмножества 8 класс. Множества и операции над ними Понятие множества и операции над ними

• Название: Множества и операции над ними Понятие множества и операции над ними
• Дата: 20.04.2022
• Размер: 0.85 Mb.
• Имя файла: Множества и подмножества 8 класс.pptx
• Тип: Документы; #488158

Множества и операции над ними

Понятие множества и операции над ними

• Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие.

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z.

Множество, не содержащее ни одного объекта, называется пустым и обозначается так: Ø

Объекты, из которых образованно множество, называются элементами.

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.

Множества бывают конечными (множество дней в неделе, месяцев в году) и бесконечными (множество натуральных чисел, точек на прямой)

Стандартные обозначения числовых множеств

• N – множество всех натуральных чисел
• Z – множество всех целых чисел
• Q – множество всех рациональных чисел
• J – множество всех иррациональных чисел
• R – множество всех действительных чисел

Способы задания множеств

• 1. Способом перечисления всех его элементов.

Например, если множество А состоит из чисел 1,3,5,7 и 9, то мы зададим это множество, т.к. все его элементы оказались перечисленными. При этом используется следующая запись: {1,3,5,7,9}

Такая форма задания множеств применяется в том случае, когда оно имеет небольшое количество элементов.

• 2. Через характеристическое свойство его элементов

Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Например, множество А={1,3,5,7,9} можно задать через характеристическое свойство – множество однозначных, нечетных натуральных чисел.

Так множества обычно задают в том случае, когда множество содержит большое количество элементов или множество бесконечно.

Символическая форма задания множеств

А – это множество всех натуральных чисел, больших 3 и меньших 10 можно записать таким образом:

• А = { х|х Є N , 3 < x < 10}

А

это

множество

всех

натуральных

чисел

больших

меньших

Отношения между множествами

• I. Рассмотрим 2 множества: А={a, b, c, d, e}

B={b, d, k, m}

Эти множества имеют общие элементы. В этом случае говорят, что множества пересекаются.

Множества А и В называются пересекающимися, если они имеют общие элементы.

Отношения между множествами наглядно представляют с помощью особых чертежей, называемых кругами Эллера.

А

В

a c

e

k m

b d

• II. Рассмотрим 2 множества: А={a, b, c, d, e}

B={k, m, n, f}

Множества не имеют общих элементов. В этом случае говорят, что множества не пересекаются.

Множества А и В называются непересекающимися, если они не имеют общих элементов

А

В

a b c

d e

k m

n

f

• III. Рассмотрим 2 множества: А={a, b, c, d, e}

В={b, c, d}

Эти множества называются пересекающимися, и, кроме того, каждый элемент множества В являются элементом множества А.

В этом случае говорят, что множество В является подмножеством множества А и пишут: В ⊂ А

• Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А.
• Пустое множество является подмножеством любого множества. Ø ⊂ А
• Любое множество является подмножеством самого себя. А ⊂ А

b c dИ

А

В

a e

• IV. Рассмотрим 2 множества: А={a, b, c, d, e}

В={c, d, a, b, e}

Эти множества пересекаются, причем каждый элемент множества А является элементом множества В (А ⊂ В), и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А (В ⊂ А).

В этом случае говорят, что множества равны и пишут: А = В.

Множества А и В называются равными, если А ⊂ В и В ⊂ А

А

В

a b

c

d e

Операции над множествами

• I. Пересечение множеств

Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

А={2,4,6,8}

В={5,6,7,8,9}

С=А∩В

С={6,8}

2

4

6

8 7 5

9

А

В

II. Объединение множеств

• II. Объединение множеств

Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

А={2,4,6,8}

В={5,6,7,8,9}

С=А∪В

С={2,4,5,6,7,8,9}

2

4 6 8

5

7

9

А

В

III. Вычитание множеств

• III. Вычитание множеств

Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

А\В={х|х Є А и х ∉ В}

Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее те и только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

a

d

А

В

b

c

Декартово произведение множеств

• Упорядоченную пару, образованную из элементов множеств А и В принято записывать, используя круглые скобки (a, b).
• Элемент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b – второй координатой (компонентой) пары.
• Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

А х В = { (х; у) | х Є А, у Є В }

Пример 1

А={1,3,5}

В={2,4}

А·В={(1;2), (1;4), (3;2), (3;4), (5;2), (5;4)}

Пример 2

А={1,3,5}

В=[2,4] или В={у|у Є R, 2≤у≤4}

Пример 3

А=[1;5]

В={2,4}

Пример 4

А=[1;5]

В=[2,4]

Пример 5

А=[1;5)

В=(2,4]