Лекция № 1, математика Множества. Множества и операции над ними

• Название: Множества и операции над ними
• Дата: 02.03.2023
• Размер: 0.62 Mb.
• Имя файла: Лекция № 1, математика Множества.doc
• Тип: Лекция; #964262
• страница: 1 из 4

Лекция № 1

по математике

Тема: «Множества и операции над ними»

План:

1. 
   Введение
   
2. 
   Понятие множества и элемента множества
   
3. 
   Способы задания множеств
   
4. 
   Отношения между множествами
   
5. 
   Пересечение множеств
   
6. 
   Объединение множеств
   
7. 
   Свойства пересечения и объединения множеств
   
8. 
   Вычитание множеств. Дополнение множества
   
9. 
   Понятие разбиения множества на классы
   
10. 
    Декартово произведение
    
11. 
    Число элементов в объединении и разности конечных множеств
    
12. 
    Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
    

1. Введение

Изучая математику в школе, колледже, вузе, необходимо усвоить определенную систему понятий, предложений и дока­зательств, но чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами матема­тики, необходимо сначала понять, каковы особенности мате­матических понятий, как устроены их определения, предложе­ния, выражающие свойства понятий, и доказательства. Такие знания нужны учителю начальных классов еще и потому, что он первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, зависит и отно­шение ребенка к изучению математики в дальнейшем.

Изучение этого материала связано с овладением теорети­ко-множественным языком, который будет использоваться не только при рассмотрении логической структуры математиче­ских понятий, предложений и доказательств, но и при по­строении всего курса.

В конце XIX века в математической науке возникла необ­ходимость уточнить смысл таких ведущих понятий, как функ­ция, непрерывность и т.д. Для этого нужно было строго опре­делить, что такое натуральное число. Поиски ответа на эти сложные вопросы способствовали развитию новых математи­ческих идей, поэтому в конце XIX - начале XX столетий про­исходил пересмотр старых представлений буквально во всех областях математических знаний. В результате в конце XIX века возникла новая область математики - теория множеств, одним из создателей которой был немецкий математик Георг Кантор. За небольшой срок теория множеств стала фундамен­том всей математики.

В предлагаемом курсе мы познакомимся с некоторыми ос­новными понятиями теории множеств. Знания в этой области нужны учителю начальных классов, во-первых, для понимания содержания начального курса математики, независимо от того, явно или неявно в нем используются теоретико-множественные понятия; во-вторых, для освоения таких важных с профессио­нальной точки зрения понятий, как взаимно однозначное соот­ветствие, отношение, число, геометрическая фигура.
2. Понятие множества и элемента множества

В математике часто рассматриваются те или иные группы объектов как единое целое: натуральные числа, треугольники, квадраты и т.д. Все эти различные совокупности называют множествами.

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на примерах. Так, можно говорить о множе­стве гласных букв русского алфавита, о множестве натураль­ных чисел, о множестве треугольников.

Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обыденной речи, где его связыва­ют с большим числом предметов. В математике этого не требу­ется. Здесь можно рассматривать множество, состоящее из од­ного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта.

Множества принято обозначать прописными буквами ла­тинского алфавита: А, В, С,..., Z.

Множество, не содержащее ни одного объекта, называется пустым и обозначается символом Ø.

Объекты, из которых образовано множество, называются элементами.

Элементы множества принято обозначать строчными бук­вами латинского алфавита: а, b, с,.... z.

В математике нередко приходится выяснять, принадлежит какой-либо объект рассматриваемому множеству или не при­надлежит. Например, мы говорим, что 5 - число натуральное, а 0,75 не является натуральным числом. Другими словами, мы утверждаем, что число 5 принадлежит множеству натураль­ных чисел, а число 0,75 ему не принадлежит. Чтобы записать эти утверждения, вводятся символы и . Предложение «Объект а принадлежит множеству А» можно записать, ис­пользуя символы – а А. Предложение «Объект а не принад­лежит множеству А» можно записать так: а А.

Например, если А - множество однозначных чисел, то ут­верждение «Число 3 - однозначное» можно записать в таком виде: 3 А. Запись 12 А означает, что «Число 12 не является однозначным», или «Число 12 не принадлежит множеству А», или «Множество А не содержит числа 12».

Заметим, что в геометрии, которая возникла значительно раньше теории множеств, если точка является элементом ка­кого-либо множества, то ее обозначают заглавной буквой. Например, если Х - множество точек отрезка АВ, то предло­жение «Точка Р лежит на отрезке АВ» можно записать: Р X или Р АВ.

Множества бывают конечные и бесконечные. Эти понятия мы принимаем без определения. Поясним их на примерах. Так, конечными являются множество дней недели, множество месяцев в году, а бесконечными - множество точек на прямой, множество натуральных чисел.

Для ряда числовых множеств в математике приняты стан­дартные обозначения:

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел.
3. Способы задания множеств

Понятие множества мы используем без определения. Но как узнать, является та или иная совокупность множеством или не является?

Считают, что множество определяется своими элементами, т.е. множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Множество можно задать, перечислив все его элементы. На­пример, если мы скажем, что множество А состоит из чисел 3, 4, 5 и 6, то мы зададим это множество, поскольку все его элементы окажутся перечисленными. При этом возможна запись, в которой перечисляемые элементы заключаются в фигурные скобки: А = {3,4, 5,6}.

Однако если множество бесконечно, то его элементы пере­числить нельзя. Трудно задать таким способом и конечное множество с большим числом элементов. В таких случаях применяют другой способ задания множества: указывают ха­рактеристическое свойство его элементов.

Характеристическое свойство- это такое свойство, кото­рым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Рассмотрим, например, множество А двузначных чисел: свойство, которым обладает каждый элемент данного множе­ства, - «быть двузначным числом». Это характеристическое свойство дает возможность решать вопрос о том, принадле­жит какой-либо объект множеству А или не принадлежит. Так, число 45 содержится в множестве А, поскольку оно дву­значное, а число 145 множеству А не принадлежит, так как оно не является двузначным.

Случается, что одно и то же множество можно задать, ука­зав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество квадратов можно задать как множест­во прямоугольников с равными смежными сторонами и как множество ромбов с прямым углом.

В тех случаях, когда характеристическое свойство элементов множества можно представить в символической форме, воз­можна соответствующая запись множества. Например, множе­ство А натуральных чисел, меньших 7, можно задать так: А = {х | х N и х<7}.

При такой записи буквой х обозначается элемент множе­ства А. Для этих целей можно использовать и другие буквы латинского алфавита.

Итак, для того чтобы задать некоторое множество, доста­точно либо перечислить все его элементы, либо указать их ха­рактеристическое свойство. Второй способ более общий: он позволяет задавать и конечные, и бесконечные множества.

Очень важно умение переходить от одного способа зада­ния множества к другому. Этому обучаются уже младшие школьники, выполняя упражнения такого характера.

З а д а ч а 1. Запишите числа, которые больше, чем 65 и меньше, чем 75.

Р е ш е н и е. Множество чисел задано при помощи характе­ристического свойства «быть больше 65 и меньше 75». Требу-

ется перечислить элементы этого множества: 66, 67, 68,69, 70, 71,72,73,74.

З а д а ч а 2. Укажите характеристическое свойство элемен­тов множества А = {12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82,92}.

Р е ш е н и е. Перечислены все элементы множества А. Их характеристическое свойство: «быть двузначным и оканчи­ваться цифрой 2».
4. Отношения между множествами

В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними. Например, нам известно, что все натуральные числа являются целыми. Поня­тие множества позволяет обобщить конкретные случаи взаи­мосвязи между различными совокупностями, позволяет по­смотреть на них с единой точки зрения.

Если множества А я В имеют общие элементы, т.е. элемен­ты, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются.

Например, если А = {а, b, с, d, е}, В = {b, d, k,m), С = {х, у, z}, то можно утверждать, что множества А и В пересекаются, так как имеют общие элементы b и d, а множества А и С, В и С не пересекаются, поскольку не имеют общих элементов.

Рассмотрим теперь множества А = {а, b, с, d, е} и В = {с, d, e). Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включается в множество А или что множество В является подмножеством множества А и пишут B A.

Определение. Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В явля­ется также элементом множества А. Пустое множест­во считают подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя.

Из определения следует, что если В А, то множество В мо­жет быть пустым, и тогда Ø А, и, кроме того, множество В может совпадать с А, и тогда А А. Поэтому среди всех под­множеств заданного множества А должно быть обязательно пустое множество и само множество А.

Образуем, например, все подмножества множества А = {2, 3, 4}. Среди них будут одноэлементные подмножества: {2}, {3}, {4}, двухэлементные: {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, а также само множество А и пустое множество 0. Таким образом, данное трехэлементное множество А имеет 8 подмножеств.

Доказано, что если множество А содержит и элементов, то у него 2ⁿ различных подмножеств.

Рассмотрим теперь множества А = {а, b, с, d, e} и В = {с, а, d, b, e}. Они пересекаются, и каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. А с В, и наоборот, каж­дый элемент множества В является элементом множества А, т.е. В с. А. В этом случае говорят, что множества А и В равны и пишут А-В.

Определение. Множества А и В называются равными, если А В и В А.

Из определения следует, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и что порядок записи элементов множества не существен.

Отношения между множествами наглядно представляют при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера.

Для этого множества представляют в виде кругов, овалов или любых других геометрических фигур. В том случае, если мно­жества А и В имеют общие элементы, но ни одно из них не является подмножеством другого, их изображают так, как



показано на рис. 4а. Если множество В является подмножест­вом А, то круг, изображающий множество В, целиком находит­ся в круге, изображающем множество А (рис. 46). Если А с В, то множества А и В изображают так, как на рисунке 4в. Рав­ные множества представляют в виде одного круга (рис. 4г).

Если множества А и В не пере­секаются, то их изображают в виде двух фигур, не имеющих общих точек (рис. 5).

Понятие подмножества являет­ся обобщением понятия части и целого, которые осваивают млад­шие школьники, выполняя разные задания. Например: «Назови среди данных чисел четные», «Среди данных четырехугольников найди прямоугольники».


5. Пересечение множеств

Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества. Пусть даны два множества: А = {2, 4, 6, 8} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В, т.е. С = {6, 8}. Так получен­ное множество С называют пересечением множеств А и В.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, кото­рые принадлежат множеству А и множеству В.

Пересечение множеств А и В обо­значают А В. Таким образом, по оп­ределению, А В = {х|х А и х В).

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пере­сечением данных множеств является заштрихованная область (рис. 7).



В том случае, когда множества А и В не имеют общих эле­ментов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А В = Ø.

Выясним, как находить пересечение множеств в конкрет­ных случаях.

Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А В, достаточно перечислить элементы, которые од­новременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы.

А как быть, если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов?

Из определения пересечения следует, что характеристиче­ское свойство множества А В составляется из характеристи­ческих свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».

Найдем, например, пересечение множества А - четных натуральных чисел и множества В - двузначных чисел. Ха­рактеристическое свойство элементов множества А - «быть четным натуральным числом», а характеристическое свой­ство элементов множества В - «быть двузначным числом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть четными нату­ральными и двузначными числами». Таким образом, множе­ство А В состоит из четных двузначных чисел (союз «и» в данном случае можно опустить). Полученное множество не пусто. Например, 24 А В, поскольку число 24 четное и двузначное.

Рассмотрим теперь случай, когда находят пересечение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А В - В и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества А В будет таким, как и свойство эле­ментов множества В.
6. Объединение множеств

Пусть даны два множества: А = {2,4, 6, 8} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество D, в которое включим элементы, принад­лежащие хотя бы одному из данных множеств, т.е. множеству А или множеству В. D = {2, 4, 6, 8, 5, 7, 9}. Так полученное множе­ство D называют объединением множеств А я В.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, кото­рые принадлежат множеству А или множеству В.

Объединение множеств А и В обозначают А В. Таким образом, по определению, А В = {x|x А или х В}.

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объе­динение данных множеств изобразит­ся заштрихованной областью (рис. 8).

Выясним, как находить объедине­ние множеств в конкретных случаях.

Если элементы множеств А и В пе­речислены, то, чтобы найти А В,



достаточно перечислить элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

А как быть, если множества заданы характеристическими свойствами их элементов? Из определения объединения следу­ет, что характеристическое свойство элементов множества А В составляется из характеристических свойств элементов множеств А и В с помощью союза «или». Найдем, например, объединение множества А - четных натуральных чисел и множества В - двузначных чисел. Так как свойство элементов множества А - «быть четным натуральным числом», а свойство элементов множества В - «быть двузначным числом», то в объ­единение данных множеств войдут числа, характеристическое свойство которых - «быть четным натуральным или двузнач­ным числом». Такие числа образуют бесконечное множество, но сформулированное характеристическое свойство позволяет однозначно определять, содержится тот или иной элемент в объединении множеств А и В или не содержится. Например, в A B есть число 8, поскольку оно четное; есть число 36 - оно четное и двузначное.

Рассмотрим теперь случай, когда находят объединение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А В = А и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества A В будет таким, как и свойство элементов множества А.