Шпоры по мат.анализу, теория. Множество это совокупность элементов, понимаемых как единое целое (объединенных по некоторому признаку) Множество X
![]()
|
Производная параметрической функции. Пусть функция задана параметрически, т.е. в виде x = x(t), y = y(t) Пусть у x существует обратная функция t = x (x), тогда y = y(x (x)) y’x = y’t (x (x))’ = y’t/x’t y’x = y’t/x’t Производная неявной функции. Если функция y = y(x) задана в виде (x,y) = 0, то говорят, что она задана неявно. Чтобы найти производную, выражение (x,y) = 0 дифференцируют по x, считая, что y = y(x), из получившегося ответа выражают y’. Теорема Ферма. Пусть в точке x0 функция f(x) имеет локальный максимум, т.е. f(x0) f(x) (имеет локальный минимум). Если функция f дифференцируема в точке x0, то f’(x0) = 0. Доказательство. Пусть x0 – максимум, f(x0) f(x) f(x) – f(x0)/(x – x0) 0, если x x0 Пусть xx0, по теореме о сохранении знаков неравенства имеем: f’(x0) 0 C другой стороны, если x x0: f(x) – f(x0)/(x – x0) 0 Пусть xx0 f’(x0) 0 Значит, 0 f’(x0) 0 f’(x0) = 0. Теорема Ролля. Если функция f(x) дифференцируема на отрезке [a; b] и f(a) = f(b) = 0, то существует точка C [a; b], где f’(C) = 0 Теорема Лагранжа. Пусть f(x) дифференцируема на отрезке [a; b], тогда существует точка C [a; b], такая, что f(b) – f(a) = f’(C) * (b - a) Теорема Коши. Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы на отрезке [a; b], тогда существует точка C [a; b], такая, что f’(C)/g’(C) = (f(b) – f(a)) / (g(b) – g(a)). Неопределенностями считаются следующие выражения: 0*; 0 в степени ; в степени 0; 1 в степени и т.д. Правило Лопиталя. Пусть при вычислении lim (xx0) f(x)/g(x) получаются неопределенности. Если существует lim (xx0) f’(x)/g’(x), то он совпадает с lim (xx0) f(x)/g(x). Доказательство. Пусть имеется неопределенность 0/0. f(x0) = 0, g(x0) = 0 По теореме Коши: (f(x) – f(x0))/g(x) – g(x0) = f’(C)/g’(C) При xx0 Cx0 lim (xx0) f(x)/g(x) = lim (Cx0) f’(C)/g’(C). Условие возрастания и убывания функции. Если f’(x0) 0, то f возрастает в окрестности точки x0, если f’(x0) 0, то f убывает в окрестности точки x0. Доказательство. Пусть f’(x0) 0 f’(x) 0; x1 x2. f(x1) – f(x2) = f’(x3)(x1 – x2) f(x1) f(x2) f возрастает. Пусть f возрастает в окрестности точки x0. f/x = (f(x +x) – f(x))/ x 0, если x 0 или x 0. По теореме о предельном переходе в неравенствах имеем: f’(x0) 0. Точка Значение Точки максимума или минимума функции называются точками экстремума (локального). Максимум и минимум называются экстремумом функции. |