Шпоры по мат.анализу, теория. Множество это совокупность элементов, понимаемых как единое целое (объединенных по некоторому признаку) Множество X

• Название: Множество это совокупность элементов, понимаемых как единое целое (объединенных по некоторому признаку) Множество X
• Анкор: Шпоры по мат.анализу, теория
• Дата: 09.01.2020
• Размер: 216.5 Kb.
• Имя файла: Shpory_po_matanu_1_semestr.doc
• Тип: Документы; #103206
• страница: 7 из 13

Производная параметрической функции.

Пусть функция задана параметрически, т.е. в виде x = x(t), y = y(t)

Пусть у x существует обратная функция t = x (x), тогда y = y(x (x))

y’x = y’t (x (x))’ = y’t/x’t

y’x = y’t/x’t

Производная неявной функции.

Если функция y = y(x) задана в виде (x,y) = 0, то говорят, что она задана неявно.

Чтобы найти производную, выражение (x,y) = 0 дифференцируют по x, считая, что y = y(x), из получившегося ответа выражают y’.
Теорема Ферма. Пусть в точке x0 функция f(x) имеет локальный максимум, т.е. f(x0)  f(x) (имеет локальный минимум). Если функция f дифференцируема в точке x0, то f’(x0) = 0.

Доказательство. Пусть x0 – максимум, f(x0)  f(x)

f(x) – f(x0)/(x – x0)  0, если x  x0

Пусть xx0, по теореме о сохранении знаков неравенства имеем: f’(x0)  0

C другой стороны, если x  x0: f(x) – f(x0)/(x – x0)  0

Пусть xx0  f’(x0)  0

Значит, 0  f’(x0)  0  f’(x0) = 0.
Теорема Ролля. Если функция f(x) дифференцируема на отрезке [a; b] и f(a) = f(b) = 0, то существует точка C  [a; b], где f’(C) = 0
Теорема Лагранжа. Пусть f(x) дифференцируема на отрезке [a; b], тогда существует точка C  [a; b], такая, что f(b) – f(a) = f’(C) * (b - a)
Теорема Коши. Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы на отрезке [a; b], тогда существует точка C  [a; b], такая, что f’(C)/g’(C) = (f(b) – f(a)) / (g(b) – g(a)).
Неопределенностями считаются следующие выражения: 0*; 0 в степени ;  в степени 0; 1 в степени  и т.д.
Правило Лопиталя. Пусть при вычислении lim (xx0) f(x)/g(x) получаются неопределенности. Если существует lim (xx0) f’(x)/g’(x), то он совпадает с

lim (xx0) f(x)/g(x).

Доказательство. Пусть имеется неопределенность 0/0.

f(x0) = 0, g(x0) = 0

По теореме Коши: (f(x) – f(x0))/g(x) – g(x0) = f’(C)/g’(C)

При xx0 Cx0  lim (xx0) f(x)/g(x) = lim (Cx0) f’(C)/g’(C).

Условие возрастания и убывания функции. Если f’(x0)  0, то f возрастает в окрестности точки x0, если f’(x0)  0, то f убывает в окрестности точки x0.

Доказательство. Пусть f’(x0)  0  f’(x)  0; x1  x2.

f(x1) – f(x2) = f’(x3)(x1 – x2)

f(x1)  f(x2)  f возрастает.
Пусть f возрастает в окрестности точки x0.

f/x = (f(x +x) – f(x))/ x  0, если x  0 или x  0.

По теореме о предельном переходе в неравенствах имеем: f’(x0)  0.

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует некоторая окрестность точки такая, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство .

Значение называется локальным максимумом (минимумом) функции.

Точки максимума или минимума функции называются точками экстремума (локального). Максимум и минимум называются экстремумом функции.