Шпоры по мат.анализу, теория. Множество это совокупность элементов, понимаемых как единое целое (объединенных по некоторому признаку) Множество X
 Скачать 216.5 Kb.
|
|
Теорема о выпуклости графиков. Если функция f(x) дважды дифференцируема в окрестности точки x0 и вторая производная строго меньше нуля, то график функции выпуклый, а если больше нуля, то – вогнутый. Точка графика функции, в которой выпуклость сменяется вогнутостью (и наоборот) называется точкой перегиба. Асимптотой к графику функции y = f(x) называется прямая линия, расстояние от которой до графика стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. План исследования функции и построения графика 1. Найти область определения  функции  .2. Найти область значений  (если это возможно вначале, часто можно указать только по результатам исследования).3. Исследовать функцию на четность. 4. исследовать на периодичность. 5. Найти точки пересечения с осями Ox (нули функции) и Oy. 6. Найти промежутки знакопостоянства функции. 7. Исследовать на непрерывность, дать классификацию разрывов. 8. Найти асимптоты графика функции (горизонтальную, вертикальную, наклонную). 9. Исследовать на монотонность и экстремум. 10. Исследовать на выпуклость, вогнутость, перегиб. 11. Построить график функции. На множестве X задана структура метрического пространства, если задана функция двух переменных, называемая метрикой, удовлетворяющая следующим аксиомам: (x; y) = (y; x); (x; y) = 0 y = x; x, y, z (x; z) (x; y) + (y; z). Множество D на плоскости назовем открытым, если оно содержит каждую свою точку вместе с некоторой окрестностью. Назовем точку z D предельной, если в каждой ее окрестности есть точки из множества D. Если множество D содержит все свои предельные точки, то оно называется замкнутым. Предел функции нескольких переменных. Число A называется lim (xx0,yy0) 0 -окрестность точки (x0; y0) (x; y) - окрестности (x x0 и y y0) f(x, y) - A . Непрерывность функции нескольких переменных. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке (x0; y0), если она определена в окрестности этой точки и lim (xx0, yy0) f(x, y) = f(x0, y0) (по любому пути). Частные производные. Назовем частным приращением по x следующее выражение xf = f(x + x, y) – f(x, y) и частным приращением по y следующее выражение yf = f(x, y + y) – f(x, y). Частной производной по x называется lim (x0) xf/x = f/x (x, y) = f’x. Частной производной по y называется lim (y0) yf/y = f/y (x, y) = f’y. Если дифференцируемая функция принимает выражение f = f’yy +f’xx + (x, y) + (x, y), где /x²+y² 0 и /x²+y² 0, то выражение f’xdx + f’ydy называется полным дифференциалом функции f и обозначается df. Касательная плоскость. Касательная плоскость, проходящая через точку M0 некоторой поверхности имеет следующее свойство: угол между этой плоскостью и любой секущей MM0 (M плоскости) 0, при M M0. Уравнение нормали в каноническом виде: (x –x0)/ (f/x) = (y – y0)/ (f/y) = (z – z0)/ (f/z) Функция z = f(x, y) имеет локальный максимум в точке (x0, y0), если в окрестности этой точки значение f’(x – x0) f(x, y) (x, y). |