Модели с лаговыми переменными
 Скачать 3.63 Mb.
|
|
Тест ранговой корреляции Спирмена. 1. Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности случайных отклонений. 2. Данные по x и остатки e ранжируются по переменной x и определяются их ранги. Ранг – это порядковый номер значений переменной в ранжированном ряду. 3. Определяется коэффициент ранговой корреляции Спирмена по формуле ) 1 ( 6 1 2 2 n n D r i , (19) где i D - разность между рангами x и e 4. Составляется статистика 1 n r t , которая сравнивается с кр t для заданного уровня значимости ( 96 , 1 кр t при 05 , 0 и 58 , 2 кр t при 01 , 0 ). Если кр t t , то нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется. Тест Глейзера. Используя абсолютные значения остатков в качестве оценки i оценивается регрессия i i x при различных значениях . Выбирается наилучшая оценка (с наибольшим значением коэффициента детерминации) и проверяется значимость параметра . В случае, если коэффициент значим, то нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Оценивание параметров эконометрической модели сводится к приписыванию конкретных численных значений количественно неопределённым параметрам. Оценивание должно проводиться так, чтобы оно обеспечило наилучшую адаптацию модели к эмпирическим данным. Наиболее распространённым методом оценивания параметров линейных эконометрических моделей вида k k X Х Y 1 1 0 считается метод наименьших квадратов. Его идея сводится к выбору таких значений оценок k a a a ,..., , 1 0 структурных параметров k ,..., , 1 0 , при которых сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений объясняемой переменной от её теоретических значений, рассчитанных при помощи модели, оказывается наименьшей. Это условие записывается в виде n i i e 1 2 min , где n i e i ,..., 2 , 1 , – отклонения эмпирических значений объясняемой переменной от её теоретических значений, называемые остатками модели i i i y y e ˆ , где ik k i i x a x a a y ˆ 1 1 0 Применение метода наименьших квадратов базируется на следующих принципах: – оцениваемая модель линейна; – объясняющие переменные – детерминированные величины известной структуры; – отсутствует явление коллинеарности объясняющих переменных; – случайный фактор имеет нулевое математическое ожидание, а также известную и постоянную дисперсию; – отсутствует явление автокорреляции случайного фактора, то есть его зависимости от собственных значений в различные моменты времени. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ С ОДНОЙ ОБЪЯСНЯЮЩЕЙ ПЕРЕМЕННОЙ Линейная эконометрическая модель с одной объясняющей переменной имеет вид Х Y В этом случае значения оценок a и b структурных параметров и рассчитываются исходя из условий min 1 2 n i i i bx a y S Для нахождения минимума S используется необходимое условие экстремума 0 , 0 b S a S Выполним необходимые действия: n i i i bx a y a S 1 1 2 ; n i i i i x bx a y b S 1 2 Решим систему: 0 ; 0 0 ; 0 0 2 ; 0 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 x b x a xy x b a y x b x a x y x b na y x bx a y bx a y n i i n i i n i i i n i i n i i n i i i i n i i i (последняя система называется системой нормальных уравнений) ; 0 ; 0 0 ; 0 2 2 2 2 2 2 x x y x xy b x b y a x x b y x xy x b a y x b x a xy x b x a y x Полученные значения доставляют минимум функции S , поскольку n i i n i i x b S x b a S a S 1 2 2 2 1 2 2 2 2 ; 2 ; 2 ; 0 2 ; 0 4 4 4 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 a S x x n x x b a S b S a S n i i n i i Таким образом, получаем формулы оценивания значений a и b : 2 2 x x y x xy b x b y a Оценку дисперсии случайных отклонений линейной модели с одной объясняющей переменной получаем по формуле 2 2 2 2 1 2 2 n e e n e e S n i i e В случае если оценки параметров получены по методу наименьших квадратов, математическое ожидание случайного отклонения e равно 0 и формула дисперсии примет вид 2 2 2 1 2 2 n e n e S n i i e Величина e S называется стандартной ошибкой (стандартным отклонением) остатков модели, которая информирует, насколько в среднем наблюдаемые значения объясняемой переменной отличаются от теоретических значений этой переменной, определяемых моделью, т.е. служит мерой разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии. Стандартные погрешности ) (a S и ) (b S оценок структурных параметров и рассчитываются по формулам: 2 2 2 2 x x n S x S a 2 2 2 x x n S S b Ковариации оценок структурных параметров и определяются по формулам 2 2 2 ) , ( x x S x b a K ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ С НЕСКОЛЬКИМИ ОБЪЯСНЯЮЩИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ Для представления классического метода наименьших квадратов в применении к линейной модели с несколькими объясняющими переменными вида k k X Х Y 1 1 0 вводится символика: n y y y y 2 1 - вектор наблюдаемых значений объясняемой переменной; nk n k k x x x x x x X 1 1 1 1 2 21 1 11 - матрица наблюдаемых значений объясняющих переменных ( ij x - i -е значение j -ой объясняющей переменной); k b b b b 1 0 - вектор оценок структурных параметров; n e e e e 2 1 - вектор остатков модели. В введенных обозначениях модель примет вид e b X y ; метод наименьших квадратов можно представить в виде e e S Т → min, где Xb y e Выражение для вектора b оценок структурных параметров модели имеет вид: y X X X b T T 1 ) ( Дисперсия случайных отклонений оценивается по формуле: 1 1 1 2 1 2 2 k n e k n e k n e e S n t t T e Матрица дисперсии и ковариации оценок структурных параметров оценивается по формуле: 1 2 2 ) ( ) ( X X S b D T e В этой матрице элементы, лежащие на главной диагонали, представляют собой дисперсии k i b S i ,..., 2 , 1 , 0 , 2 , оценок структурных параметров. Величины k i b S i ,..., 2 , 1 , 0 , , представляют собой стандартные погрешности оценивания структурных параметров. ПОДОБОР ОБЪЯСНЯЮЩИХ ПЕРЕМЕННЫХ МОДЕЛИ С формальной точки зрения, объясняющие переменные в эконометрической модели должны обладать следующими свойствами: иметь высокую вариабельность; быть сильно коррелированными с объясняемой переменной; быть слабо коррелированными между собой. Объясняющие переменные подбираются с помощью статистических методов. Процедура подбора состоит из следующих этапов. 1. На основе накопленных знаний составляется множество так называемых потенциальных объясняющих переменных (первичных переменных), в которое включаются все важнейшие величины, влияющие на объясняемую переменную. Такие переменные будем обозначать k X X X ,..., , 2 1 2. Собирается статистическая информация о реализациях как объясняемой переменной, так и потенциальных объясняющих переменных. Формируется вектор y наблюдаемых значений переменной Y и матрица X наблюдаемых значений переменных k X X X ,..., , 2 1 в виде n y y y y 2 1 , nk n n k k x x x x x x x x x X 2 1 2 22 21 1 12 11 , ij x - i -е значение j -ой переменной. 3. Исключаются потенциальные объясняющие переменные, характеризующиеся слишком низким уровнем вариабельности. 4. Рассчитываются коэффициенты корреляции между всеми рассматриваемыми переменными. На основе рассчитанных значений выбираются переменные сильно коррелированные с объясгяемой переменной и слабо коррелированные с остальными объясняющими переменными. 1.1. ИСКЛЮЧЕНИЕ КВАЗИНЕИЗМЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Объясняющие переменные должны обладать высоким уровнем вариабельности (изменчивости). В качестве меры вариабельности используется коэффициент вариации 𝜈 𝑖 = 𝑆 𝑖 𝑋 𝑖 ̅̅̅̅ , 𝑖 = 1,2, … , 𝑘, где 𝑆 𝑖 = 𝑋 𝑖 2 ̅̅̅̅̅ − 𝑋 𝑖 ̅̅̅̅ 2 – стандартное отклонение (аналог среднеквадратичного отклонения) переменной i X Задается критическое значение коэффициента вариации , например 1 , 0 . Переменные, удовлетворяющие неравенству i , признаются квазинеизменными и исключаются из множества потенциальных объясняющих переменных. Эти переменные не несут значимой информации. Замечание. Критическое значение коэффициента вариации подбирается экспертами, исходя из условий конкретной задачи. ВЕКТОР И МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ. Для оценки силы линейной зависимости объясняемой переменной Y от потенциальных объясняющих переменных k X X X ,..., , 2 1 рассчитываются коэффициенты корреляции: k i y y x x y x xy x x y y x x y y r m t i ti m i t t m t i ti t i ,..., 2 , 1 2 2 2 2 1 2 2 1 Эти коэффициенты корреляции образуют вектор корреляции k r r r R 2 1 0 Силу линейной зависимости между потенциальными объясняющими переменными определяют коэффициенты k j i x x x x x x x x x x x x x x x x r i i j j i j i j n t i ti n i t j tj n t j tj i ti ij ,..., 2 , 1 , 2 2 2 2 1 2 2 1 Эти коэффициенты образуют матрицу корреляции 1 1 1 2 1 2 21 1 12 k k k k r r r r r r R Поскольку ji ij r r , матрица корреляции симметрична. Замечание. В случае парной линейной регрессии рассчитывается только один коэффициент корреляции, определяющий силу линейной зависимости между объясняющей и объясняемой переменной 2 2 2 2 y y x x y x xy r Коэффициент корреляции принимает значения в отрезке [-1;1]. Коэффициент корреляции определяет силу линейной зависимости между рассматриваемыми переменными. Если коэффициент корреляции равен ±1, то говорят, что переменные связаны функциональной линейной зависимостью. В этом случае точки корреляционного поля расположены на одной и той же прямой. Если модуль (абсолютная величина) коэффициента корреляции «близок» к 1 (значим), то говорят, что переменные связаны линейной статистической зависимостью. В этом случае можно указать прямую, близко к которой расположены точки корреляционного поля и для описания влияния одной переменной на другую можно выбирать линейную модель. Если коэффициент корреляции близок к 0 (незначим), то между переменными нет линейной статистической зависимости. В этом случае линейную модель для описания зависимости использовать нельзя. Незначимость коэффициента корреляции не означает отсутствие связи между объясняемой и объясняющей переменной вообще говоря. Связь может существовать, но эта зависимость будет нелинейной. Для выявления статистической зависимости между переменными проверяется гипотеза о значимости коэффициента корреляции. Выдвигается нулевая гипотеза H 0 ={коэффициент корреляции незначим, r=0} относительно альтернативной гипотезы H 1 ={коэффициент корреляции значим, r≠0}. Для проверки гипотезы рассчитывается статистика 2 2 1 2 r n r t По таблицам Стьюдента для заданного уровня значимости и для 2 n степеней свободы находится критическое значение статистики кр t . Если кр t t , то принимается гипотеза 0 H , т.е. коэффициент корреляции незначим и линейная связь между объясняющей и объясняемой переменной отсутствует (но может быть нелинейная связь). Если кр t t , то гипотеза 0 H отклоняется в пользу 1 H , т.е. коэффициент корреляции значим, и между объясняющей и объясняемой переменной существует статистическая линейная зависимость. АНАЛИЗ МАТРИЦЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ Идея метода сводится к выбору таких объясняющих переменных, которые сильно коррелируют с объясняемой переменной и слабо коррелируют между собой. В качестве исходных объектов анализа рассматриваются матрица R и вектор 0 R корреляции. Для заданного уровня значимости и для 2 n степеней свободы рассчитывается так называемое критическое значение коэффициента корреляции 2 2 2 n t t r кр кр кр , где кр t − значение t -распределения Стьюдента для заданного уровня значимости и для 2 n степеней свободы. Критическое значение коэффициента корреляции кр r может априорно задаваться экспертом или определяться по таблице критических значений коэффициентов корреляции для заданного уровня значимости и для 2 n степеней свободы. Процедура подбора объясняющих переменных состоит из следующих этапов: 1. Из множества потенциальных объясняющих переменных исключаются все элементы, которые удовлетворяют неравенству r r i , поскольку они несущественно влияют на объясняемую переменную. 2. Из оставшихся переменных объясняющей признается та переменная h X , для которой i i h r r max , поскольку h X является носителем наибольшей информации об объясняемой переменной. 3. Из оставшегося множества потенциальных объясняющих переменных исключаются те i X , для которых r r hi , поскольку эти переменные дублируют информацию, представляемую h X . Этапы повторяются. КОЭФФИЦИЕНТ МНОЖЕСТВЕННОЙ КОРРЕЛЯЦИИ Коэффициент множественной корреляции представляет собой меру силы линейной связи объясняемой переменной Y с объясняющими переменными k X X X ,..., , 2 1 . Его значение рассчитывается по формуле R W R det det 1 , где R det - определитель матрицы R коэффициентов корреляции попарно объединенных объясняющих переменных k X X X ,..., , 2 1 ; W det – определитель матрицы 1 1 1 1 1 2 1 2 21 2 1 12 1 2 1 0 0 k k k k k k T r r r r r r r r r r r r R R R W Коэффициент множественной корреляции принимает значения в промежутке ] 1 ; 0 [ . Его значение тем больше, чем сильнее связь объясняемой переменной с объясняющими переменными. Коэффициент множественной корреляции может выступать в качестве критерия выбора наилучшей комбинации объясняющих переменных среди комбинаций одинаковой размерности. Тесноту связи между объясняемой переменной и одной из объясняющих переменных при устранении влияния других объясняющих переменных характеризуют частные коэффициенты корреляции. В случае двух объясняющих переменных 2 1 , X X частный коэффициент корреляции между объясняемой переменной Y и объясняющей переменной 1 X определяется по формуле ) , ( 1 ) , ( 1 ) , ( ) , ( ) , ( , 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 x y r x x r x x r x y r x y r x x y r Частный коэффициент корреляции между объясняемой переменной Y и объясняющей переменной 2 X определяется по формуле ) , ( 1 ) , ( 1 ) , ( ) , ( ) , ( , 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x y r x x r x x r x y r x y r x x y r Связь между частными коэффициентами корреляции, парными коэффициентами корреляции и множественным коэффициентом корреляции определяется формулой ) , ( 1 ) , ( , 2 2 2 2 2 2 1 2 x y r x y r R x x y r или ) , ( 1 ) , ( , 1 2 1 2 2 1 2 2 x y r x y r R x x y r В случае k объясняющих переменных коэффициент частной корреляции между объясняемой переменной Y и объясняющей переменной i X при неизменном уровне остальных факторов определяется по формуле 2 2 , 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 k i i k i i i x x x yx x x x x x x y R R r , где 2 R - коэффициент множественной корреляции для всех k переменных, 2 1 1 2 1 k i i x x x x yx R - коэффициент множественной корреляции без введения в модель переменной i X |