Модели с лаговыми переменными
 Скачать 3.63 Mb.
|
|
ВЕРИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ После оценивания параметров модели необходимо исследовать, насколько точно построенная модель описывает изучаемые зависимости. Если окажется, что расхождения между полученной моделью и эмпирическими данными, либо между моделью и экономическими знаниями об изучаемых зависимостях велики, предстоит корректировка или перестройка модели. Причины, обуславливающие низкое качество эконометрической модели могут проявиться уже на начальных этапах эконометрического исследования. Никогда нельзя быть уверенным, правильно ли подобраны объясняющие переменные. Сомнения может вызывать выбранная аналитическая форма модели. В процессе оценки структурных параметров модели может применяться некорректный метод оценивания. Всё это делает необходимым верифицировать (проверить) построенную модель до начала её использования для формулирования выводов об исследуемых зависимостях. Верификация модели сводится к изучению трёх характеристик: степени соответствия модели эмпирическим данным; качества оценок структурных параметров; распределения случайных отклонений. ОЦЕНИВАНИЕ СООТВЕТСТВИЯ МОДЕЛИ ЭМПИРИЧЕСКИМ ДАННЫМ Оценивание соответствия модели эмпирическим данным имеет целью установить, в достаточной ли степени эта модель отображает формирование объясняемой переменной. Для этого используются различные меры согласия модели с эмпирическими данными. Главными из таких мер считаются: стандартное отклонение остатков и коэффициент детерминации. Стандартное отклонение e Sˆ остатков t e , рассчитывается по формуле 5 , 0 1 2 ] ) ( 1 [ ˆ n t t e e e n S . (1) Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ˆ ( y y e e y y y y R n t t n t t (2) Его значения лежат в промежутке [0,1]. Коэффициент детерминации показывает какая доля полной вариации объясняемой переменной определена её теоретическими характеристиками, то есть детерминирована объясняющими переменными. Модель тем лучше адаптирована к данным, чем ближе к единице значение коэффициента детерминации. В случае линейной модели квадратный корень из коэффициента детерминации, то есть R, представляет собой коэффициент множественной корреляции. Для того чтобы проверить, достаточно ли высока степень адаптации модели к эмпирическим данным, можно проверить гипотезу о значимости коэффициента множественной корреляции, то есть нуль-гипотезу вида 0 : 0 R H относительно альтернативной гипотезы 0 : 1 R H . Проверкой этой гипотезы считается статистика k k n R R F 1 1 2 2 (3) Эта статистика имеет F-распределение Фишера-Снедекора с k m 1 и 1 2 k n m степенями свободы. Из таблиц F-теста для заданного уровня значимости и 2 1 , m m степеней свободы выбирается критическое значение кр F . Если кр F F , то основания для отклонения гипотезы 0 H отсутствуют. Это означает, что коэффициент множественной корреляции несущественно отличается от нуля, следовательно, модель слишком слабо адаптирована к эмпирическим данным. Если же кр F F , то гипотезу 0 H следует отклонить в пользу гипотезы 1 H . Следовательно, коэффициент множественной корреляции имеет существенное значение, значит, модель достаточно хорошо адаптирована к эмпирическим данным. ИССЛЕДОВАНИЕ СУЩЕСТВЕННОСТИ СТРУКТУРНЫХ ПАРАМЕТРОВ Исследование существенности структурных параметров k ;...; ; 2 1 осуществляется в случае линейной эконометрической модели и предназначено для проверки, значительно или нет объясняющие переменные воздействуют на объясняющую переменную. Для каждого k i ,..., 2 , 1 верифицируется гипотеза 0 : 0 i H относительно альтернативной гипотезы 0 : 1 i H . Для проверки гипотезы определяется статистика i i i S b t (4) где i b - значение оценки структурного параметра i ; i S - стандартная погрешность оценивания этого параметра (1). Из таблиц t -теста Стьюдента для принятого уровня значимости и 1 k n степеней свободы выбирается критическое значение кр t . Если кр t t , то основания для отклонения гипотезы 0 H отсутствуют. Структурный параметр i несущественно отличается от нуля (т.е. незначим), а объясняющая переменная i X не оказывает существенного влияния на объясняемую переменную Y . Если кр t t , то гипотезу 0 H следует отклонить в пользу гипотезы 1 H . В этом случае параметр i существенно отличается от нуля (значим), а объясняющая переменная i X оказывает существенное влияние на объясняемую переменную Y В случае значимости параметра i , можно найти доверительный интервал для величины i : i кр i i i кр i S t b S t b (5) Доверительный интервал покрывает значение i с заданной вероятностью ) 1 ( ( – уровень значимости), т.е. 1 i кр i i i кр i S t b S t b P ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСМЕЩЕННОСТИ Исследование несмещенности остатков модели проводится только для нелинейных моделей. Верифицируется гипотеза 0 : 0 M H относительно альтернативной гипотезы 0 : 1 M H Для проверки указанной гипотезы рассчитывается статистика e S n e I ˆ 1 , (6) где e - среднее арифметическое остатков; e Sˆ - стандартное отклонение остатков, вычисляемое по формуле (1). Из таблиц t -теста Стьюдента выбирается критическое значение кр I для заданного уровня значимости и для 1 n степени свободы. Если кр I I , то основания для отклонения гипотезы 0 H отсутствуют. В таком случае математическое ожидание случайных отклонений несущественно отличается от нуля, поэтому отклонения признаются несмещенными. Если же кр I I , то гипотезу 0 H следует отклонить в пользу гипотезы 1 H . В этом случае математическое ожидание случайных отклонений существенно отличается от нуля, поэтому отклонения признаются смещенными. ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ Автокорреляция случайных отклонений свидетельствует о линейной зависимости между этими отклонениями, регистрируемыми в различные моменты времени. Мерой силы и направления автокорреляции случайных отклонений t в период t и случайных отклонений t в период t служит коэффициент корреляции ) , ( t t , называемый коэффициентом автокорреляции порядка . В качестве оценки этого коэффициента рассматривается коэффициент автокорреляции остатков t e и t e , рассчитываемой по формуле n t t t n t t n t t t t t e e e e e e e e r 1 2 2 1 1 ) ( ) ( ) )( ( (8) или 2 2 2 2 t t t t t t t t e e e e e e e e r (9) Коэффициент автокорреляции первого порядка имеет вид 2 1 2 1 2 2 1 1 1 t t t t t t t t e e e e e e e e r , (10) причем для линейной модели в случае большого числа 100 n наблюдений считается, что 0 1 t t e e и 2 1 2 t t e e Далее проверяется гипотеза о значимости коэффициента автокорреляции порядка τ. Верифицируется гипотеза 0 : 0 H относительно альтернативной гипотезы 0 : 1 H . Критерием этой гипотезы служит статистика 2 1 2 | | r n r t (11) Из таблицы t-теста Стъюдента для принятого уровня значимости и для 2 n m степеней свободы выбирается критическое значение кр t . Если кр t t , то основания для отклонения гипотезы 0 H отсутствуют, то есть коэффициент автокорреляции признаётся несущественным. Если же кр t t , то гипотезу 0 H следует отклонить в пользу гипотезы 1 H . В этом случае коэффициент автокорреляции признаётся существенным, в остатках модели присутствует автокорреляция, необходимо уточнить оценки параметров модели. ИССЛЕДОВАНИЕ НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Исследование нормальности распределения случайных отклонений сводится к верификации гипотезы о том, что функция распределения отклонений ) ( F является функцией нормального распределения N F Таким образом, необходимо верифицировать гипотезу N F F H : 0 относительно гипотезы N F F H : 1 . Для верификации гипотезы о нормальности распределения применяем тест Хельвига. АЛГОРИТМ ТЕСТА ХЕЛЬВИГА. 1. Проводится стандартизация остатков по формуле n i S e e u e i i ,..., 2 , 1 , ˆ (12) где e - среднее арифметическое остатков t e e Sˆ - стандартноеотклонение остатков t e , рассчитанное по формуле 5 , 0 1 2 ] ) ( 1 [ ˆ n t t e e e n S (13) в случае линейной модели 0 e и стандартное отклонение равно 2 ˆ e S e . (14) 2. Стандартизованные остатки упорядочиваются по возрастанию: ) ( ) 2 ( ) 1 ( n u u u 3. Из таблиц функции нормального распределения выбирается значение функции ) ( ) ( ) ( ) ( i i u u P u Ф 4. Определяются так называемые цели t I , в роли которых выступают числовые интервалы шириной n 1 , образованные делением отрезка [0,1] на n равных частей. 5. Значения функции ) ( ) (i u Ф приписываются соответствующим целям, после чего определяется количество пустых целей, в которые не попало ни одно значение ) ( ) (i u Ф 6. Из таблицы теста согласия Хельвига для данного количества наблюдений n и для принятого уровня значимости выбираются критические значения 1 k и 2 k 7. Если 2 1 k k k , то основания для отклонения гипотезы 0 H отсутствуют. Случайные отклонения в этом случае носят нормальный характер. Если же 1 k k или 2 k k , то гипотезу 0 H следует отклонить в пользу гипотезы 1 H . В этом случае случайные отклонения не имеют нормального характера, оценки параметров модели требуют уточнения. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАБИЛЬНОСТИ ДИСПЕРСИИ Одним из условий адекватности модели является предположение о постоянстве дисперсии случайного члена для всех наблюдений (гомоскедастичность). Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. В случае гетероскедастичности случайных отклонений МНК-оценки будут неэффективными, заниженными, следовательно, t -статистика будет завышена. Это может привести к статистически значимым коэффициентам, тогда как в действительности это неверно. Одним из способов исследования стабильности дисперсии случайных отклонений считается проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух крайних групп наблюдаемых значений. Все n наблюдений в выборке упорядочиваются по возрастанию переменной x . Для верификации гипотезы о равенстве дисперсий случайных отклонений этих подмножеств используется F-тест. Критерием этой гипотезы служит статистика 2 1 2 2 e e S S F , (15) где 2 1 e S остаточная дисперсия 1 n первых наблюдений: 1 1 2 1 1 2 1 ) ( 1 1 n t t e e e k n S , (16) 2 2 e S остаточная дисперсия 2 n последних наблюдений: 1 1 2 2 2 2 2 2 ) ( 1 1 n n n t t e e e k n S (17) Из таблиц F -теста для принятого уровня значимости и для 1 2 1 k n m и 1 1 2 k n m степеней свободы выбирается критическое значение статистики кр F . Если кр F F , то основания для отклонения гипотезы 0 H отсутствуют, дисперсия случайных отклонений стабильна во времени. Если же кр F F , то гипотезу 0 H следует отклонить в пользу гипотезы 1 H : дисперсия случайных отклонений возрастает, необходимо уточнить оценки параметров модели. Для проверки гомоскедастичности могут также применяться другие тесты. Тест Голдфельда-Квандта (применяется в предположении, что стандартное отклонение случайного члена пропорционально значению независимой переменной x ). 1. Все n наблюдений в выборке упорядочиваются по возрастанию переменной x 2. Оцениваются отдельные регрессии для первых 0 n и для последних 0 n наблюдений. 3. Составляется статистика 1 2 0 RSS RSS F , (18) где 1 RSS и 2 RSS - суммы квадратов остатков для первых и последних 0 n наблюдений соответственно. По таблице для принятого уровня значимости и для 1 0 1 k n m и 1 0 1 k n m степеней свободы выбирается критическое значение статистики кр F . Если кр F F , то основания для отклонения гипотезы 0 H отсутствуют, дисперсия случайных отклонений стабильна во времени. Если же кр F F , то гипотезу 0 H следует отклонить в пользу гипотезы 1 H : дисперсия случайных отклонений возрастает, необходимо уточнить оценки параметров модели. Замечание. Тест Гольфельда-Квандта можно использовать для проверки на гетероскедастичность в предположении, что дисперсия случайных отклонений обратно пропорциональна x . В этом случае тестовой статистикой служит величина 2 1 0 RSS RSS F |