Модели с лаговыми переменными
 Скачать 3.63 Mb.
|
|
Вопросы к конспекту «Системы одновременных эконометрических уравнений» 1. В каких случаях используются системы одновременных эконометрических уравнений (СОЭУ)? 2. Какие переменные участвуют в записи СОЭУ? 3. Определение эндогенных переменных. 4. Определение экзогенных переменных. 5. Определение предопределенных переменных. 6. Общий вид СОЭУ. 7. Общий вид системы независимых одновременных эконометрических уравнений. Принцип оценки параметров. 8. Общий вид системы рекурсивных одновременных эконометрических уравнений. Принцип оценки параметров. 9. Структурная форма матричного представления СОЭУ. 10. Приведенная форма СОЭУ (общий вид и матричная форма). 11. Связь между матрицами параметров приведенной и структурной формы моделей. 12. Определение идентифицируемого, неидентифицируемого, однозначно идентифицируемого, сверхидентифицируемого уравнения. 13. Определение идентифицируемой системы. 14. Условие идентифицируемости системы. 15. Условия применимости косвенного метода наименьших квадратов. 16. Идея косвенного метода наименьших квадратов. 17. Процедура реализации применимости косвенного метода наименьших квадратов. СИТЕМЫ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ Системы одновременных уравнений (многомерные модели) возникают при описании формирования нескольких экономических явлений, причем каждое уравнение объясняет поведение одного явления. Системы одновременных уравнений записываются с помощью эндогенных и экзогенных переменных. Экономические явления, объясняемые многомерными моделями, определяют эндогенные переменные ( i Y ). Экономические явления, которые не объясняются моделью, а служат для объяснения эндогенных переменных, определяют экзогенные переменные ( j X ). Эндогенные переменные с временным запаздыванием и экзогенные переменные (как с запаздыванием, так и без него) будем называть предопределенными переменными ( j Z ) Система одновременных уравнений в общем виде записывается в форме: m k j j mj m i i mi m k j j j m i i i i k j j j m i i i Z Y Y Z Y Y Z Y Y 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 (1) Такую систему называют системой взаимозависимых уравнений. Частными случаями являются системы независимых уравнений m k j j mj m k j j j k j j j X Y X Y X Y 1 2 1 2 2 1 1 1 1 (2) и системы рекурсивных уравнений m k j j mj m i i mi m k j j j k j j j X Y Y X Y Y X Y 1 1 1 2 1 2 1 21 2 1 1 1 1 (3) В системах (2) каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно и для каждого уравнения параметры оцениваются по методу наименьших квадратов. В системах (3) в каждое последующее уравнение в качестве зависимых переменных входят эндогенные переменные из предыдущих уравнений. В таких моделях параметры оцениваются по методу наименьших квадратов последовательно (от первого уравнения к последнему). Матричное представление многомерной модели, в правой части которой стоят только случайные отклонения, называется ее структурной формой Z Y Здесь m Y Y Y Y 2 1 - вектор эндогенных переменных; 1 1 1 2 1 2 21 1 12 m m m m - матрица параметров при эндогенных переменных; m Z Z Z Z 2 1 - вектор-столбец предопределенных переменных; 1 1 1 2 1 2 21 1 12 m m k k - матрица параметров при предопределенных переменных; m 2 1 - вектор-столбец случайных отклонений. Если эндогенные переменные без временного запаздывания выразить только через предопределенные переменные, то получим приведенную форму модели m k j j mj m k j j j k j j j Z Y Z Y Z Y 1 2 1 2 2 1 1 1 1 или в матричной форме Z Y , где mk m m k k 2 1 2 22 21 1 12 11 - матрица параметров приведенной формы при предопределенных переменных; m 2 1 - вектор-столбец случайных отклонений приведенной формы. Очевидна связь 1 ; 1 ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТЬ МОДЕЛЕЙ С ВЗАИМОЗАВИСИМЫМИ УРАВНЕНИЯМИ. Уравнение называется идентифицируемым, если его параметры можно оценить. В противном случае уравнение называется неидентифицируемым. Если параметры уравнения оцениваются однозначно, то уравнение называется однозначно идентифицируемым. Если параметры уравнения оцениваются неоднозначно, то уравнение называется сверхидентифицируемым. Вся модель считается идентифицируемой, если идентифицируемы все его уравнения. Для того, чтобы i -е уравнение системы из m взаимозависимых уравнений было идентифицируемо необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы i A ,составленной из параметров при переменных, входящих в состав модели, но не входящих в i -е уравнение, идентифицируемость которого исследуется, был равен 1 m Пусть при этом D – количество переменных системы, не входящих в исследуемое уравнение, тогда если 1 m D , то уравнение однозначно идентифицируемо, если 1 m D , то уравнение сврхидентифицируемо, если 1 m D , то уравнение неидентифицируемо. КОСВЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ Косвенный метод наименьших квадратов используется для оценивания параметров модели с однозначно идентифицируемыми взаимозависимыми уравнениями. Идея косвенного метода наименьших квадратов заключается в использовании оценок параметров приведенной формы для получения оценок параметров структурной формы. Процедура реализации косвенного метода наименьших квадратов состоит из следующих этапов. 1. Модель сводится к приведенной форме 2. Параметры приведенной формы оцениваются классическим методом наименьших квадратов с использованием формулы Y Z Z Z T T 1 , где mk m m k k p p p p p p p p p 2 1 2 22 21 1 12 11 - оценка матрицы T параметров приведенной формы; nk n n k k z z z z z z z z z 2 1 2 22 21 1 12 11 - матрица наблюдений предопределенных переменных модели; nm n n m m y y y y y y y y y 2 1 2 22 21 1 12 11 - матрица наблюдений совместно взаимозависимых переменных модели. 3. Оценки параметров структурной формы находятся в результате решений системы уравнений T Если оцениваются параметры отдельного l -го уравнения модели, то оценки параметров il и il находятся приравниванием друг другу элементов l -ой строки матрицы T и l -ой строки матрицы ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов времени. Отдельные наблюдения временного ряда называются уровнями ряда. Временные ряды бывают моментные, интервальные и производные. Моментные ряды характеризуют значение показателя в определенный момент времени. Интервальные ряды характеризуют значение показателя за определенный промежуток времени (за день, за месяц, за квартал, за год…). Производные ряды получаются от средних или относительных величин наблюдаемого показателя. 6.1. КОМПОНЕНТЫ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ. Пусть дан временной ряд n y y y ,..., , 2 1 Обычно значения уровней временного ряда складываются из следующих компонент: тренда, сезонной составляющей, циклической составляющей и случайной составляющей. Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития или тенденцию временного ряда. Тренд относят к систематической составляющей долговременного действия. К периодическим составляющим временного ряда относят сезонные составляющие (период колебаний не превосходит года) и циклические составляющие (с периодом колебаний более года). Причиной сезонных составляющих обычно являются природные, климатические условия, причиной циклических колебаний – демографические циклы. Тренд ( t u ), сезонная ( t s ) и циклическая ( t v ) компоненты называются регулярными составляющими временного ряда. Если из временного ряда удалить регулярные компоненты, то останется случайная составляющая ( t v ). Если временной ряд представлен в виде суммы составляющих компонент, то модель называется аддитивной t t t t t e v s u y , если в виде произведения, то мультипликативной t t t t t e v s u y или смешанной t t t t t e v s u y Выявить наличие тренда временного ряда можно по графику или с помощью критерия восходящих и нисходящих серий. 1. Для временного ряда определяется последовательность знаков, исходя из условий «+», если 0 1 t t y y , «−», если 0 1 t t y y 2. Подсчитывается число серий ) (n v . Под серией понимается последовательность расположенных подряд плюсов или минусов. 3. Определяется протяженность самой длинной серии ) ( max n l 4. По таблице №№№ находится значение ) (n l кр 5. Если нарушается хотя бы одно из неравенств 90 29 16 96 , 1 3 1 2 ) ( n n n v ; ) ( ) ( max n l n l кр , то гипотеза о наличии тренда отвергается с доверительной вероятностью 0,95. 6.2. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА. При наличии тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений. Корреляционную зависимость между уровнями временного ряда, сдвинутыми во времени на , называют автокорреляцией уровней ряда порядка . Наличие автокорреляции порядка определяет коэффициент автокорреляции порядка : n t t t n t t n t t t t t y y y y y y y y r 1 2 2 1 1 ) ( ) ( ) )( ( (1) или 2 2 2 2 t t t t t t t t y y y y y y y y r (2) Коэффициент автокорреляции первого порядка имеет вид 2 1 2 1 2 2 1 1 1 t t t t t t t t y y y y y y y y r , (3) Значимость коэффициента автокорреляции порядка свидетельствует о наличии автокорреляции уровней ряда. Порядок сдвига по времени называется также лагом. Последовательность коэффициентов автокорреляции первого порядка, второго порядка и т.д. называют автокорреляционной функцией временного ряда, график зависимости ее значений от лага (порядка автокорреляции) называется коррелограммой. Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором связь между уровнями ряда наиболее высокая, т.е. при помощи анализа коррелограммы модно выявить структуру ряда. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент порядка , то ряд содержит циклическую составляющую периода Если ни один из коэффициентов автокорреляции не оказался значимым, то либо ряд не содержит регулярных составляющих, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой необходимо дополнительное исследование. 6.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕНДЕНЦИИ ВРЕМЕННОГО РЯДА. На первом этапе выявления тенденции временного ряда необходимо устранить аномальные значения временного ряда и сгладить циклические и сезонные колебания. Наиболее распространенной процедурой сглаживания является метод простой скользящей средней. Сначала для временного ряда определяется интервал сглаживания ( g ). Для первых g уровней временного ряда вычисляется их среднее арифметическое значение. Это будет сглаженное значение уровня ряда, находящееся в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень, повторяется вычисление среднего арифметического и т.д.В результате такой процедуры получается ряд сглаженных значений, при этом первые и последние g уровней теряются. Для рядов с нелинейной тенденцией развития необходимо применять метод взвешенной скользящей средней. Метод отличается от предыдущего тем, что уровни, входящие в интервал сглаживания суммируются с разными весами. Весовые коэффициенты при сглаживании по полиномам 2-го и 3-го порядков в зависимости от длины интервала сглаживания представлены в таблице Длина интервала сглаживания Весовые коэффициенты 5 (-3, +12, +17, +12, -3)/35 7 (-2, +3, +6, +7. +6, +3, -2)/21 9 (-21, +14, +39, +54, +59, +54, +39, +14, -21)/231 Выравнивание временных рядов можно провести с помощью экспоненциального сглаживания. Суть метода заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются только предыдущие уровни ряда взятые с определенным весом, причем вес уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого проводится сглаживание. Если для исходного временного ряда сглаженные значения уровней обозначить t S , то экспоненциальное сглаживание проводится по рекуррентному соотношению 1 1 t t t S y S , где - параметр сглаживания ( 1 0 ), величина 1 называется коэффициентом дисконтирования. Используя рекуррентное соотношение для всех уровней ряда, начиная с первого и заканчивая моментом уровня t , можно получить, что экспоненциальная средняя, т.е. сглаженное данным методом значение уровня ряда, является взвешенной средней всех предшествующих уровней: 0 1 1 S y S t i t i t Обычно во временных рядах экономических задач величину параметра сглаживания выбирают в интервале от 0,1 до 0,3. В качестве начального параметра принимают значение первого уровня ряда, либо среднее арифметическое нескольких первых уровней ряда. 6.4. РАСЧЕТ СЕЗОННОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ После процедуры сглаживания ряда оценка сезонной компоненты t s аддитивной модели находится как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (ряд, составленный из средних значений двух последовательных скользящих средних). В моделях с сезонной компонентой предполагается взаимопоглощение сезонных колебаний за период (за год). В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты за год должна быть равна 0. В случае мультипликативной модели оценка сезонной компоненты находится как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем уровням за период должна быть равна числу периодов в цикле ( в случае сезонной компоненты за квартал – 4; в случае сезонной компоненты за месяц – 12). |