теория для сессии по математическому анализу за 1ый курс. новая абсолютная теория Матан для телефона. Модуль 1 Элементарные функции и пределы
 Скачать 0.79 Mb.
|
Модуль 1 Элементарные функции и пределы 1. Числовая последовательность. Предел последовательности сходящиеся и расходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности формулировка. Числовая последовательность - это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N. Предел последовательности - Число a называется пределом последовательности {𝑥 𝑛 }, если для любого сколь угодно малого положительного 𝜀 существует номер 𝑁 = 𝑁(𝜀) такой, что для всех номеров 𝑛 ≥ 𝑁 выполняется неравенство |𝑥 𝑛 − 𝑎| < 𝜀. ( lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 = 𝑎) ≡ (для ∀ 𝜀 > 0 ∃ 𝑁 = 𝑁(𝜀): для ∀ 𝑛 > 𝑁(𝜀) ⇒ |𝑥 𝑛 − 𝑎| < 𝜀 Сходящиеся и расходящиеся последовательности – Сходящиеся - это последовательность элементов множества A, X, B, T, имеющая предел в этом множестве. Расходящаяся - это последовательность, не являющаяся сходящейся. 2. Ограниченная числовая последовательность. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности (с доказательством. Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности (формулировка. Ограниченная числовая последовательность - Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, то есть если существуют числа M; m, такие, что для любого члена последовательности имеет место соотношение Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности (формулировка) – Если последовательность {a n } является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и {a n } ограничена сверху (снизу, то {a n } является сходящейся. Данную теорему можно сформулировать немного иначе - Любая монотонная и ограниченная последовательность {a n } имеет предел. 3. Определения по Коши конечного и бесконечного предела функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции. Определение предела функции по Гейне. Теорема о связи двустороннего предела функции в точке с односторонними пределами (с доказательством. Определения по Коши конечного и бесконечного предела функции в точке и на бесконечности В точке - Число A называется пределом функции y = f(x) при x → a, если для любого, даже сколь угодно малого положительного для любого, даже сколь угодно малого ε > 0, найдется такое число δ > 0 (зависящее от ε), что для всех x из окрестности точки a, выполнено неравенство |f(x) - A|< На бесконечности - Число A называется пределом функции y=f(x) при x стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного ε, найдется такое число зависящее от ε), что для всех x таких, что |x|>M, выполнено неравенство |f(x) - A|< Односторонние пределы функции - Пределом функции f(x) в точке x=a слева называется предел, вычисляемый в предположении, что x → a, оставаясь все время меньше значения a. Аналогично, пределом справа называется предел функции f(x) при x → a, притом, что x > a. Односторонние пределы обозначаются так Односторонним пределом функции называется предел справа или предел слева Определение предела функции по Гейне - Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если для любой последовательности {xn} прин D(f), которая сходится к , соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к Теорема о связи двустороннего предела функции в точке с односторонними пределами (с доказательством) – 4. Ограниченные и локально ограниченные функции. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел (формулировка. Ограниченные и локально ограниченные функции – иди нахуй, я не нашел, просто выучи свойства Свойства функций – 1) Первая теорема Вейерштрасса Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎, 𝑏], то она ограничена на этом отрезке 2) Вторая теорема Вейерштрасса Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎, 𝑏], то она достигает хотя бы водной точке этого отрезка свои максимальное и минимальное значения 3) Первая теорема Больцано - Коши Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎, 𝑏] и 𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏) < 0, то существует хотя бы одна точка 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), в которой 𝑓(𝑐) = 0 4) Вторая теорема Больцано - Коши Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎, 𝑏] и 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏), то существует точка 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) такая, что 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑐) < 𝑓(𝑏) или 𝑓(𝑏) < 𝑓(𝑐) < 𝑓(𝑎) 5) Теорема о непрерывности обратной функции Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна и строго монотонна на [𝑎, 𝑏], то существует обратная функция 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑦) строго монотонная на [𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏)] 5. Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой (с доказательством. Бесконечно малые функции - Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x → x0 если, . По определению предела функции это равенство означает, что для любого числа ε > 0 найдется число б = б) > 0 , такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 б, выполняется неравенство |f(x)| < ε. Запишем это определение, используя логическую символику Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой (с доказательством) – Формулировка : Для того, чтобы функция , определённая в имела конечный предел при x → a, необходимо и достаточно чтобы эту функцию можно было представить в виде суммы предела и б.м.ф. при x → a ( , где - б.м.ф. при x → a). Доказательство I Необходимость Дано Доказать , где - б.м.ф. при x → a. Пусть по определению б.м.ф - б.м.ф. при x → a. II Достаточность Дано , где - б.м.ф. при x → a. Доказать 6. Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых функций (с доказательством. Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых функций (с доказательством) – Формулировка Если 𝛼(𝑥), 𝛽(𝑥), … , 𝛾(𝑥) - бесконечно малые при 𝑥 → 𝑎 функции, то 𝛼(𝑥) + 𝛽(𝑥) + ⋯ + 𝛾(𝑥)𝛼(𝑥) при 𝑥 → 𝑎, где lim 𝑥→𝑎 𝛽(𝑥) 𝛼(𝑥) = 0, … , lim 𝑥→𝑎 𝛾(𝑥) 𝛼(𝑥) = 0 Доказательство Рассмотрим lim 𝑥→𝑎 𝛼(𝑥)+ 𝛽(𝑥)+⋯+𝛾(𝑥) 𝛼(𝑥) = 1 + lim 𝑥→𝑎 𝛽(𝑥) 𝛼(𝑥) + ⋯ + lim 𝑥→𝑎 𝛾(𝑥) 𝛼(𝑥) = 1 опр. ⇒ 𝛼(𝑥) + 𝛽(𝑥) + ⋯ + 𝛾(𝑥)𝛼(𝑥) при 𝑥 → 𝑎 7. Теорема о произведении бесконечно малой на ограниченную функцию (с доказательством. Теорема о произведении бесконечно малой на ограниченную функцию (с доказательством) – Формулировка Если 𝛼(𝑥) - бесконечно малая при 𝑥 → 𝑎 функция, 𝑓(𝑥) - ограниченная функция, то 𝛼(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) - бесконечно малая при 𝑥 → 𝑎 функция Доказательство По условию 𝛼(𝑥) - бесконечно малая при 𝑥 → 𝑎 функция опр. ⇒ для ∀ 𝜀 > 0 ∃ Ů 1 (𝑎): для ∀ 𝑥 ∈ Ů 1 (𝑎) ⇒ |𝛼(𝑥)| < 𝜀 𝑐 ; 𝑓(𝑥) - ограниченная функция опр. ⇒ |𝑓(𝑥)| < 𝑐, где 𝑐 - 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, для ∀ 𝑥 ∈ Ů 2 (𝑎) ⇒ |𝛼(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥)| < 𝜀 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝜀 для ∀ 𝑥 ∈ Ů 1 (𝑎) ∩ Ů 2 (𝑎) = Ů(𝑎) опр. ⇒ lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ∗ 𝛼(𝑥) = 0 опр. ⇒ 𝛼(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) - бесконечно малая при 𝑥 → 𝑎 функция 8. Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций с доказательством. Бесконечно большие функции – Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций (с доказательством) – Формулировка Если 𝛼(𝑥) - бесконечно малая при 𝑥 → 𝑎 функция, 𝛼(𝑥) ≠ 0, то 1 𝛼(𝑥) - бесконечно большая при 𝑥 → 𝑎 функция. Если 𝑓(𝑥) - бесконечно большая при 𝑥 → 𝑎 функция, то 1 𝑓(𝑥) - бесконечно малая при 𝑥 → 𝑎 функция. Доказательство 1) По условию 𝛼(𝑥) - бесконечно малая при 𝑥 → 𝑎 функция опр. ⇒ для ∀ 𝜀 > 0 ∃ Ů(𝑎): для ∀ 𝑥 ∈ Ů(𝑎) ⇒ |𝛼(𝑥)| < 𝜀; 𝛼(𝑥) ≠ 0 ⇒ ∃ 1 𝛼(𝑥) . | 1 𝛼(𝑥) | > 1 𝜀 = 𝑘 для ∀ 𝑥 ∈ Ů(𝑎) ⇒ lim 𝑥→𝑎 1 𝛼(𝑥) = ∞ опр. ⇒ 1 𝛼(𝑥) - бесконечно большая при 𝑥 → 𝑎 функция 2) По условию 𝑓(𝑥) - бесконечно большая при 𝑥 → 𝑎 функция опр. ⇒ для ∀ 𝑘 > 0 ∃ Ů(𝑎): для ∀ 𝑥 ∈ Ů(𝑎) ⇒ |𝑓(𝑥)| > 𝑘. Рассмотрим 1 𝑓(𝑥) : | 1 𝑓(𝑥) | < 1 𝑘 = 𝜀 для ∀ 𝑥 ∈ Ů(𝑎) опр. ⇒ 1 𝑓(𝑥) - бесконечно малая при 𝑥 → 𝑎 функция 9. Первый замечательный предел (с выводом. Второй замечательный предел (без вывода. Первый замечательный предел (с выводом) - lim 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥 = 1 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑥 - чётная ⇒ пределы слева и справа совпадают. Рассмотрим предел функции справа lim 𝑥→0 + 𝑓(𝑥). 𝑆 𝐴𝑂𝐵 < сектора 𝐴𝑂𝐵 < 𝑆 𝐴𝑂𝐶 ; 𝑆 𝐴𝑂𝐵 = 1 2 sin 𝑥 ; сектора 𝐴𝑂𝐵 = 𝑥 2 ; 𝑆 𝐴𝑂𝐶 = 1 2 ∗ 𝑂𝐴 ∗ tg 𝑥 = 1 2 tg 𝑥 ; 1 2 sin 𝑥 < 𝑥 2 < 1 2 tg 𝑥 ; sin 𝑥 < 𝑥 < tg 𝑥 ; 1 < 𝑥 sin 𝑥 < 1 cos 𝑥 ; cos 𝑥 < sin 𝑥 𝑥 < 1; lim 𝑥→0 + cos 𝑥 ≤ lim 𝑥→0 + sin 𝑥 𝑥 < lim 𝑥→0 + 1 ; 1 ≤ lim 𝑥→0 + sin 𝑥 𝑥 ≤ 1 ⇒ lim 𝑥→0 + sin 𝑥 𝑥 = 1 Второй замечательный предел (без вывода) – Рассмотрим последовательность , . Покажем, что последовательность ограничена и возрастает. Сначала докажем монотонность. Воспользуемся биномом Ньютона: Полагая, что a=1, b= 1/n получим Из равенства (следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число 1/n — убывает, поэтому величины, (1-1/n),... возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (*) на единицу. Правая часть увеличится, получим неравенство: Усилим полученное неравенство, заменив числа 3,4,5...,n, стоящие в знаменателях дробей, числом 2: Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии: Поэтому: Итак, последовательность ограничена, при этом для выполняются неравенства (**) и (***) : Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой e Определение Числом е называется предел последовательности те. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функциях (с доказательством. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций – Бесконечно большие – числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Определение - Допустим, у насесть бесконечно малые при одном и том же величины и (либо, что неважно для определения, бесконечно малые последовательности. Если , то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают или β≺α. Если , то — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно или α≺β. Если (предел конечен и неравен, то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как или как одновременное выполнение отношений и . Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения о большое, что является вольным использованием данного символа. Если (предел конечен и неравен, то бесконечно малая величина имеет -й порядок малости относительно бесконечно малой . Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя. Бесконечно малые - числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Определение - Допустим, у насесть бесконечно малые при одном и том же величины и (либо, что неважно для определения, бесконечно малые последовательности. Если , то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают или β≺α. Если , то — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно или α≺β. Если (предел конечен и неравен, то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как или как одновременное выполнение отношений и . Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения о большое, что является вольным использованием данного символа. Если (предел конечен и неравен, то бесконечно малая величина имеет -й порядок малости относительно бесконечно малой . Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функциях (с доказательством) – = Бесконечно малые - Необходимость По условию 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) при 𝑥 → 𝑎 опр. ⇒ lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 1; lim 𝑥→𝑎 ( 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) − 1) = 0; lim 𝑥→𝑎 ( 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) ) = 0 опр. ⇒ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑜̅(𝑔(𝑥)). По условию 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) при 𝑥 → 𝑎 опр. ⇒ lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = 1; lim 𝑥→𝑎 (− 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) + 1) = 0; lim 𝑥→𝑎 ( 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) ) = 0 опр. ⇒ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑜̅(𝑓(𝑥)). Достаточность По условию 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑜̅(𝑓(𝑥)) опр. ⇒ lim 𝑥→𝑎 ( 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) ) = 0; lim 𝑥→𝑎 (1 − 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) ) = 0; lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = 1 опр. ⇒ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) при 𝑥 → 𝑎. По условию 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑜̅(𝑔(𝑥)) опр. ⇒ lim 𝑥→𝑎 ( 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) ) = 0; lim 𝑥→𝑎 ( 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) − 1) = 0; lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 1 опр. ⇒ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) при 𝑥 → 𝑎. Бесконечно большие - Формулировка Доказательство 11. Непрерывность функции действительного переменного в точке. Теорема о непрерывности сложной функции (формулировка. Непрерывность функции действительного переменного в точке – Теорема о непрерывности сложной функции (формулировка) - Формулировка Если функция 𝑧 = 𝑔(𝑦) непрерывна в точке 𝑦 = 𝑏, а функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна в точке 𝑥 = 𝑎, причём 𝑓(𝑎) = 𝑏, то сложная функция 𝑧 = 𝑔(𝑓(𝑥)) непрерывна в точке 𝑥 = Доказательство По условию 𝑧 = 𝑔(𝑦) непрерывна в точке 𝑦 = 𝑏 опр. ⇒ ∃ lim 𝑦→𝑏 𝑔(𝑦) = 𝑔(𝑏). По условию 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна в точке 𝑥 = 𝑎 опр. ⇒ ∃ lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑓(𝑥)) = lim 𝑦→𝑏 𝑔(𝑦) = 𝑔(𝑏) = 𝑔(𝑓(𝑎)) опр. ⇒ 𝑔(𝑓(𝑥)) непрерывна в точке 𝑥 = 𝑎 12. Точки разрыва и их классификация. Доказательство непрерывности функции y = sin x. Точки разрыва и их классификация – Точка разрыва - Точка 𝑥 = 𝑥 0 , в которой нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции 𝑓(𝑥), а сама функция называется разрывной в этой точке. Классификация - 1) Точка 𝑥 = 𝑥 0 называется точкой разрыва I рода, если lim 𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑥) не существует, но существуют и конечны lim 𝑥→𝑥 0 − 𝑓(𝑥) = 𝐴 ≠ lim 𝑥→𝑥 0 + 𝑓(𝑥) = 𝐵 2) Точка 𝑥 = 𝑥 0 называется точкой устранимого разрыва, если lim 𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑥) существует, но или 𝑥 0 ∉ 𝐷 𝑓 , или lim 𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥 0 ) 3) Точка 𝑥 = 𝑥 0 , в которой хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке не существует (в частности равен ∞ ), называется точкой разрыва II рода 4) Точка 𝑥 = 𝑥 0 , в которой хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен ∞ , называется точкой разрыва II рода с бесконечным скачком Доказательство непрерывности функции y = sin x Функция 𝑦 = sin 𝑥 непрерывна в (−∞; +∞) По определению lim Δ𝑥→0 Δ𝑦 = 0, где Δ𝑦 = 𝑓(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥), 𝑥 - ∀ точка ∈ 𝐷 𝑓 . Δ𝑦 = sin(𝑥 + Δ𝑥) − sin 𝑥 = 2 sin Δ𝑥 2 ∗ cos (𝑥 + Δ𝑥 2 ). lim Δ𝑥→0 Δ𝑦 = lim Δ𝑥→0 2 sin Δ𝑥 2 ∗ cos (𝑥 + Δ𝑥 2 ) = lim Δ𝑥→0 Δ𝑥 ∗ cos (𝑥 + Δ𝑥 2 ) = 0 опр. ⇒ 𝑦 = sin 𝑥 непрерывна в (−∞; +∞) 13. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировки соответствующих теорем. Непрерывность функции на отрезке [𝒂, 𝒃] – Функция непрерывна на отрезке [𝑎, 𝑏], если она непрерывна в интервале (𝑎, 𝑏) и непрерывна в точке 𝑥 = 𝑎 справа ив точке 𝑥 = 𝑏 слева. Непрерывность функции на интервале (a, b) - Функция непрерывна на интервале (𝑎, 𝑏), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировки соответствующих теорем) – 1) Первая теорема Вейерштрасса Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎, 𝑏], то она ограничена на этом отрезке 2) Вторая теорема Вейерштрасса Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎, 𝑏], то она достигает хотя бы водной точке этого отрезка свои максимальное и минимальное значения 3) Первая теорема Больцано - Коши Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎, 𝑏] и 𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏) < 0, то существует хотя бы одна точка 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), в которой 𝑓(𝑐) = 0 4) Вторая теорема Больцано - Коши Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎, 𝑏] и 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏), то существует точка 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) такая, что 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑐) < 𝑓(𝑏) или 𝑓(𝑏) < 𝑓(𝑐) < 𝑓(𝑎) 5) Теорема о непрерывности обратной функции Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна и строго монотонна на [𝑎, 𝑏], то существует обратная функция 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑦) строго монотонная на [𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏)] Модуль 2 Дифференциальное исчисление функций одного переменного. 14. Производная функции в точке. Касательная к графику функции, геометрический смысл производной. Вывод уравнений касательной и нормали к графику функции. Производная функции в точке - Когда функция вида f(x) определена из промежутка (a;b), тогда x 0 и x 0 +∆x считаются точками данного промежутка. Производная функции f(x) в точке x 0 - это предел отношений приращения функции к приращению аргумента, когда ∆x→0. Данное определение записывается как. Касательная к графику функции, геометрический смысл производной - Касательная к графику функции f(x) в точке (x 0 ; f(x 0 )) называется прямая, проходящая через заданную точку (x 0 ; f(x 0 )), с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к Геометрический смысл - Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где Аи В с координатами (x 0 , f(x 0 )) и (x 0 +∆x, f(x 0 +∆x)), а ∆x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆y=∆f(x)=f(x 0 +∆x)-f(∆x). Для наглядности приведем в пример рисунок. Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение . Из определения касательной следует, что . По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x 0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆x→0, тогда обозначим как Отсюда следует, что , где k x обозначают в качестве углового коэффициента касательной. То есть получаем, что f’(x) может существовать в точке x 0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной (x 0 , f 0 (x 0 )), где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x 0 . Тогда получаем, что k x =f'(x 0 ). Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке. Вывод уравнений касательной и нормали к графику функции – Касательной – Уравнение касательной выводится из уравнения прямой. Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции. Вспомним уравнение прямой с угловым коэффициентом y = kx + b.. Отсюда получаем следующую запись y – y 0 = k(x – x 0 ). Значение производной f '(x 0 ) функции y = f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ), где y 0 = f(x 0 ). В этом состоит геометрический смысл производной. Таким образом, можем заменить k на f '(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции y – y 0 = f '(x 0 )(x – x 0 ). Нормали - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали ( x – x 0 ) + f '( x 0 )( y – y 0 ) = 0 15. Дифференцируемость функции в точке. Теорема о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной (с доказательством. Связь дифференцируемости и непрерывности функции (с доказательством. Дифференцируемость функции в точке – Для того, чтобы функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) была дифференцируема в точке 𝑥 = 𝑎 необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция имела конечную производную, то есть существует конечный lim ∆𝑥→0 Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑓 ′ (𝑥) = Необходимость По условию функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥 = 𝑎 опр. ⇒ ∆𝑦 = 𝐴 ∗ ∆𝑥 + 𝛼(∆𝑥) ∗ ∆𝑥 | ∗ 1 ∆𝑥≠0 , где lim ∆𝑥→0 𝛼(∆𝑥) = 0 ⇒ Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝐴 + 𝛼(∆𝑥) ⇒ (По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой) ⇒ lim ∆𝑥→0 Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝐴 = 𝑓 ′ (𝑎) Достаточность По условию существует конечный lim ∆𝑥→0 Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑓 ′ (𝑎) ⇒ (По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой) ⇒ Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑓 ′ (𝑎) + 𝛼(∆𝑥), где lim ∆𝑥→0 𝛼(∆𝑥) = 0 ⇒ ∆𝑦 = 𝑓 ′ (𝑎) ∗ ∆𝑥 + 𝛼(∆𝑥) ∗ ∆𝑥 опр. ⇒ 𝑓(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥 = 𝑎 Теорема о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной (с доказательством) – Формулировка Функция y = f ( x ) дифференцируема в точке x Î D ( f ) тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную f ' ( x ). При этом f ' ( x ) = Необходимость Необходимость Дано y = f ( x ) дифференцируема в точке х Доказать: A = f ' ( x ). Так как функция y = f ( x ) дифференцируема в точке х, то по определению D y = A × D x + (D x ) × D x , где (D x ) = 0 при D x = 0. Разделим это равенство на D x ≠ 0: Перейдём к пределу при D x = 0: существует, а значит f ' ( x ) = Достаточность Дано f ' ( x ) – существует Доказать f ( x ) дифференцируема. Так как существует f ' ( x )= , то по свойству предела можно записать , где (D x ) = 0 при D x = 0. Умножим это равенство на D x : функция y = f ( x ), дифференцируема в точке х Связь дифференцируемости и непрерывности функции (с доказательством) – Формулировка Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥, то она непрерывна в этой точке Доказательство По условию функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥 опр. ⇒ ∆𝑦 = 𝐴 ∗ ∆𝑥 + 𝛼(∆𝑥) ∗ ∆𝑥 ⇒ lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 = lim ∆𝑥→0 𝐴 ∗ ∆𝑥 + 𝛼(∆𝑥) ∗ ∆𝑥 = 0 опр. ⇒ 𝑓(𝑥) непрерывна в точке 𝑥. 16. Основные правила дифференцирования. Вывод формул для вычисления производных суммы, произведения, частного. Основные правила дифференцирования - В основные правила дифференцирования функций входят вынесение констант за знак производной, сумма и разность, умножение и деление функций 1. Константу можно вынести за знак производной 2. Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных 3. Дифференцирование произведения двух функций выполняется по формуле Дифференцирование частного двух функций выполняется по формуле Вывод формул для вычисления производных суммы, произведения, частного - 17. Дифференциал функции (определение, геометрический смысл. Инвариантность формы записи дифференциала первого порядка (с доказательством) Дифференциал функции (определение, геометрический смысл) - Дифференциал функции – Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции. Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента. Это записывается так Или или же Геометрический смысл – Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину (см. рисунок. Почему дифференциал можно использовать в приближенных вычислениях Дифференциал, является главной, линейной относительно частью приращения функции чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. В этом можно убедиться, мысленно передвигая перпендикуляр, опущенный из точки P (см. рисунок) коси, ближе к началу координат. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , те. Инвариантность формы записи дифференциала первого порядка (с доказательством) – Достаточность Дифференциал функции 𝑦 = 𝑓(𝑢) не зависит оттого, является ли 𝑢 независимой переменной или функцией другой независимой переменной Необходимость 1) Пусть 𝑦 = 𝑓(𝑢), где 𝑢 - независимая переменная. 𝑑𝑦 = 𝑓 ′ (𝑢)𝑑𝑢 (По опр.) 2) Пусть 𝑦 = 𝑓(𝑢), где 𝑢 = 𝜑(𝑥). По правилу дифференцирования сложной функции 𝑦 ′ 𝑥 = 𝑦 𝑢 ′ ∗ 𝑢 𝑥 ′ | ∗ 𝑑𝑥; 𝑑𝑦 = 𝑦 𝑢 ′ ∗ 𝑢 𝑥 ′ 𝑑𝑥 = 𝑓 ′ (𝑢)𝑑𝑢 18. Сравнение на бесконечности порядков роста показательной, степенной и логарифмических функций. Сравнение на бесконечности порядков роста показательной, степенной и логарифмических функций – При 𝑥 → +∞: 𝑦 = 𝑎 𝑥 → +∞, 𝑦 = log 𝑎 𝑥 → +∞, 𝑦 = 𝑥 𝑛 → +∞ 1) lim 𝑥→+∞ (𝑎 𝑥 ) ′ (𝑥 𝑛 ) ′ = [ ∞ ∞ ] = lim 𝑥→+∞ (𝑎 𝑥 ln 𝑎) ′ (𝑛∗𝑥 𝑛−1 ) ′ = lim 𝑥→+∞ (𝑎 𝑥 ln 2 𝑎) ′ (𝑛(𝑛−1)∗𝑥 𝑛−2 ) ′ = ⋯ = = lim 𝑥→+∞ 𝑎 𝑥 (ln 𝑎) 𝑛 𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)∗…∗2∗1 = +∞ ⇒ 𝑦 = 𝑎 𝑥 растёт быстрее 𝑦 = 𝑥 𝑛 при 𝑥 → +∞ 2) lim 𝑥→+∞ (log 𝑎 𝑥) ′ (𝑥 𝑛 ) ′ = [ ∞ ∞ ] = lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 ln 𝑎∗𝑛∗𝑥 𝑛−1 = 0 ⇒ 𝑦 = log 𝑎 𝑥 растёт медленнее любой положительной степени 𝑥 3) lim 𝑥→+∞ (log 𝑎 𝑥) ′ (𝑎 𝑥 ) ′ = [ ∞ ∞ ] = lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 ln 𝑎∗𝑎 𝑥 ln 𝑎 = 0 ⇒ 𝑦 = log 𝑎 𝑥 растёт медленнее на +∞ функции 𝑦 = 𝑎 𝑥 19. Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано ив форме Лагранжа (формулировка соответствующих теорем. Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано ив форме Лагранжа (формулировка соответствующих теорем) – Пеано – По теореме о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа 𝑅 𝑛 (𝑥) = 𝑓 (𝑛+1) (𝜉) (𝑛+1)! (𝑥 − 𝑎) 𝑛+1 , 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑥) или 𝜉 = 𝑎 + 𝜃(𝑥 − 𝑎), где 0 < 𝜃 < 1 Уменьшая 𝑈(𝑎) получим, что функция 𝑦 = 𝑓 (𝑛+1) (𝑥) непрерывна на [𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿] ⇒ (По первой теореме Вейерштрасса) ⇒ 𝑓 (𝑛+1) (𝑥) ограничена на этом отрезке, то есть |𝑓 (𝑛+1) (𝑥)| ≤ 𝑀 𝑛 , где 𝑀 𝑛 - число, независящее от 𝑥, но зависящее от 𝑛. Тогда |𝑅 𝑛 (𝑥)| = |𝑓 (𝑛+1) (𝜉)| (𝑛+1)! |𝑥 − 𝑎| 𝑛+1 ≤ 𝑀 𝑛 (𝑛+1)! |𝑥 − 𝑎| 𝑛+1 . Исследуем 𝑅 𝑛 (𝑥) при 𝑥 → 𝑎: lim 𝑥→𝑎 𝑅 𝑛 (𝑥) (𝑥−𝑎) 𝑛 = lim 𝑥→𝑎 𝑀 𝑛 (𝑥−𝑎) 𝑛+1 (𝑛+1)!(𝑥−𝑎) 𝑛 = 𝑀 𝑛 (𝑛+1)! lim 𝑥→𝑎 (𝑥 − 𝑎) = 0 опр. ⇒ 𝑅 𝑛 (𝑥) = 𝑜((𝑥 − 𝑎) 𝑛 ) Лагранж – Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет в 𝑈(𝑎) непрерывное производное до (𝑛 + го порядка, то для ∀ 𝑥 ∈ 𝑈(𝑎) существует точка 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑥) такая, что 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎) 1! (𝑥 − 𝑎) + ⋯ + 𝑓 (𝑛) (𝑎) 𝑛! (𝑥 − 𝑎) 𝑛 + 𝑓 (𝑛+1) (𝜉) (𝑛+1)! (𝑥 − 𝑎) 𝑛+1 Обозначим 𝑅 𝑛 (𝑥) = 𝑓 (𝑛+1) (𝜉) (𝑛+1)! (𝑥 − 𝑎) 𝑛+1 = (𝑥−𝑎) 𝑛+1 (𝑛+1)! |