теория для сессии по математическому анализу за 1ый курс. новая абсолютная теория Матан для телефона. Модуль 1 Элементарные функции и пределы
 Скачать 0.79 Mb.
|
|
∗ 𝑄(𝑥), 𝑄(𝑥)−? 𝑓(𝑥) запишем в следующем виде 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + (𝑥−𝑎) 1! 𝑓 ′ (𝑎) + ⋯ + (𝑥−𝑎) 𝑛 𝑛! 𝑓 (𝑛) (𝑎) + (𝑥−𝑎) 𝑛+1 (𝑛+1)! ∗ 𝑄(𝑥) Рассмотрим вспомогательную функцию, где 𝑥, 𝑎 - фиксированные. Вместо 𝑎 подставляем 𝑡: 𝐹(𝑡) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑡) − (𝑥−𝑡) 1! 𝑓 ′ (𝑡) − ⋯ − (𝑥−𝑡) 𝑛 𝑛! 𝑓 (𝑛) (𝑡) − (𝑥−𝑡) 𝑛+1 (𝑛+1)! ∗ 𝑄 𝐹 ′ (𝑡) = −𝑓 ′(𝑡) − (−1) 1! 𝑓 ′ (𝑡) − (𝑥−𝑡) 1! 𝑓 ′′ (𝑡) − 2(𝑥−𝑡)(−1) 2! 𝑓 ′′ (𝑡) − (𝑥−𝑡) 2 2! 𝑓 ′′′ (𝑡) − − 3(𝑥−𝑡) 2 (−1) 3! 𝑓 ′′′ (𝑡) − … − 𝑛(𝑥−𝑡) 𝑛−1 (−1) 𝑛! 𝑓 (𝑛) (𝑡) − (𝑥−𝑡) 𝑛 𝑛! 𝑓 (𝑛+1) (𝑡) − (𝑛+1)(𝑥−𝑡) 𝑛 (−1) (𝑛+1)! 𝑄 После сокращений остаётся выражение 𝐹 ′ (𝑡) = − (𝑥−𝑡) 𝑛 𝑛! 𝑓 (𝑛+1) (𝑡) + (𝑥−𝑡) 𝑛 𝑛! 𝑄 𝐹(𝑡) дифференцируема в (𝑎, 𝑥); 𝐹(𝑎) = 0; 𝐹(𝑥) = 0 ⇒ (По теореме Ролля) ⇒ существует точка 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑥); 𝐹 ′ (𝜉) = 0 𝐹 ′ (𝜉) = − (𝑥−𝜉) 𝑛 𝑛! 𝑓 (𝑛+1) (𝜉) + (𝑥−𝜉) 𝑛 𝑛! 𝑄 = 0 ⇔ 𝑄 = 𝑓 (𝑛+1) (𝜉) Таким образом 𝑅 𝑛 (𝑥) = 𝑓 (𝑛+1) (𝜉) (𝑛+1)! (𝑥 − 𝑎) 𝑛+1 20. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена основных элементарных функций e x , sin x, cos x, ln(1+x), (Формула Маклорена – Разложение по формуле Маклорена основных элементарных функций e x – 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑓 ′′ (𝑥) = ⋯ = 𝑓 (𝑛) (𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓(0) = 𝑓 ′ (0) = ⋯ = 𝑓 (𝑛) (0) = 1 𝑓(𝑥) = 1 + 1 1! 𝑥 + 𝑥 2 2! + 𝑥 3 3! + ⋯ + 𝑥 𝑛 𝑛! + 𝑅 𝑛 (𝑥), где 𝑅 𝑛 (𝑥) = 𝑒 𝜃𝑥 (𝑛+1)! ∗ 𝑥 𝑛+1 , 0 < 𝜃 < 1 sin x – 𝑓(𝑥) = sin 𝑥; 𝑓(0) = 0 𝑓 ′ (𝑥) = cos 𝑥 = sin (𝑥 + 𝜋 2 ); 𝑓 ′ (0) = 1 𝑓 ′′ (𝑥) = − sin 𝑥 = sin (𝑥 + 2 𝜋 2 ); 𝑓 ′′ (0) = 0 𝑓 ′′′ (𝑥) = − cos 𝑥 = sin (𝑥 + 3 𝜋 2 ); 𝑓 ′′′ (0) = −1 𝑓 (2𝑘+1) (𝑥) = sin (𝑥 + (2𝑘 + 1) ∗ 𝜋 2 ) = (−1) 𝑘 cos 𝑥; 𝑓 (2𝑘+1) (0) = (−1) 𝑘 𝑓 (2𝑘+2) (𝑥) = sin (𝑥 + (2𝑘 + 2) ∗ 𝜋 2 ) = (−1) 𝑘+1 sin 𝑥; 𝑓 (2𝑘+2) (0) = 0 sin 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 3 3! + 𝑥 5 5! − 𝑥 7 7! + ⋯ + (−1) 𝑛 𝑥 2𝑛+1 (2𝑛+1)! + 𝑅 𝑛 (𝑥), где 𝑅 𝑛 (𝑥) = 𝑥 2𝑛+2 (2𝑛+2)! ∗ sin (𝜃𝑥 + (2𝑛 + 2) ∗ 𝜋 2 ), 0 < 𝜃 < 1 cos x – 𝑓(𝑥) = cos 𝑥; 𝑓(0) = 1 𝑓 ′ (𝑥) = − sin 𝑥 = cos (𝑥 + 𝜋 2 ); 𝑓 ′ (0) = 0 𝑓 ′′ (𝑥) = − cos 𝑥 = cos (𝑥 + 2 𝜋 2 ); 𝑓 ′′ (0) = −1 𝑓 ′′′ (𝑥) = sin 𝑥 = cos (𝑥 + 3 𝜋 2 ); 𝑓 ′′′ (0) = 0 𝑓 (2𝑘) (𝑥) = cos (𝑥 + 2𝑘 ∗ 𝜋 2 ) = (−1) 𝑘 ∗ cos 𝑥; 𝑓 (2𝑘) (0) = (−1) 𝑘 𝑓 (2𝑘+1) (𝑥) = cos (𝑥 + (2𝑘 + 1) ∗ 𝜋 2 ) = (−1) 𝑘+1 ∗ sin 𝑥; 𝑓 (2𝑘+1) (0) = 0 cos 𝑥 = 1 − 𝑥 2 2! + 𝑥 4 4! − 𝑥 6 6! + ⋯ + (−1) 𝑛 𝑥 2𝑛 (2𝑛)! + 𝑅 𝑛 (𝑥) где 𝑅 𝑛 (𝑥) = 𝑥 2𝑛+1 (2𝑛+1)! ∗ cos (𝜃𝑥 + (2𝑛 + 1) ∗ 𝜋 2 ), 0 < 𝜃 < 1 ln(1+x) – 𝑓(𝑥) = ln(1 + 𝑥); 𝑓(0) = 0 𝑓 ′ (𝑥) = 1 1+𝑥 ; 𝑓 ′ (0) = 1 𝑓 ′′ (𝑥) = − 1 (1+𝑥) 2 ; 𝑓 ′′ (0) = −1 𝑓 ′′′ (𝑥) = − (−2) (1+𝑥) 3 ; 𝑓 ′′′ (0) = 2! 𝑓 𝐼𝑉 (𝑥) = 2(−3) (1+𝑥) 4 ; 𝑓 𝐼𝑉 (0) = −3! 𝑓 (𝑛) (𝑥) = (−1) 𝑛−1 (𝑛−1)! (1+𝑥) 𝑛 ; 𝑓 𝑛 (0) = (−1) 𝑛−1 (𝑛 − 1)! 𝑓 (𝑛+1) (𝑥) = (−1) 𝑛 (𝑛)! (1+𝑥) 𝑛+1 ; 𝑓 (𝑛+1) (0) = (−1) 𝑛 (𝑛)! ln(1 + 𝑥) = 1 1! 𝑥 − 1 2! 𝑥 2 + 2! 3! 𝑥 3 − 3! 4! 𝑥 4 + ⋯ + (−1) 𝑛−1 (𝑛−1)! 𝑛! 𝑥 𝑛 + 𝑅 𝑛 (𝑥) = = 𝑥 − 𝑥 2 2 + 𝑥 3 3 − 𝑥 4 4 + ⋯ + (−1) 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛 + 𝑅 𝑛 (𝑥), где 𝑅 𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛+1 ∗(−1) 𝑛 ∗𝑛! (𝑛+1)(1+θ𝑥) 𝑛+1 , 0 < 𝜃 < 1 (1+x) a – 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥) 𝛼 ; 𝑓(0) = 1 𝑓 ′ (𝑥) = 𝛼(1 + 𝑥) 𝛼−1 ; 𝑓 ′ (0) = 𝛼 𝑓 ′′ (𝑥) = 𝛼(𝛼 − 1)(1 + 𝑥) 𝛼−2 ; 𝑓 ′′ (0) = 𝛼(𝛼 − 1) 𝑓 (𝑛) (𝑥) = 𝛼(𝛼 − 1) … (𝛼 − (𝑛 − 1))(1 + 𝑥) 𝛼−𝑛 ; 𝑓 (𝑛) (0) = 𝛼(𝛼 − 1) … (𝛼 − (𝑛 − 1)) 𝑓 (𝑛+1) (𝑥) = 𝛼(𝛼 − 1) … (𝛼 − 𝑛)(1 + 𝑥) 𝛼−(𝑛+1) (1 + 𝑥) 𝛼 = 1 + 𝛼 1! 𝑥 + 𝛼(𝛼−1) 2! 𝑥 2 + 𝛼(𝛼−1)(𝛼−2) 3! 𝑥 3 + ⋯ + 𝛼(𝛼−1)…(𝛼−(𝑛−1)) 𝑛! 𝑥 𝑛 + 𝑅 𝑛 (𝑥), где 𝑅 𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛+1 𝛼(𝛼−1)…(𝛼−𝑛)(1+𝜃𝑥) 𝛼−(𝑛+1) (𝑛+1)! , 0 < 𝜃 < 1 21. Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания дифференцируемой функции формулировка. Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания дифференцируемой функции формулировка) – Возрастание – Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑎, 𝑏) и для ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 𝑓 ′ (𝑥) > 0, то функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) возрастает в этом интервале Пусть по условию 𝑓 ′ (𝑥) > 0 для ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Возьмём ∀ 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ (𝑎, 𝑏) такие, что 𝑥 1 < 𝑥 2 . По условию 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑎, 𝑏) ⇒ 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑥 1 , 𝑥 2 ], 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑥 1 , 𝑥 2 ) ⇒ (По теореме Лагранжа) ⇒ 𝑓(𝑥 2 ) − 𝑓(𝑥 1 ) = 𝑓 ′ (𝑐)(𝑥 2 − 𝑥 1 ), где 𝑐 ∈ (𝑥 1 , 𝑥 2 ); 𝑥 2 − 𝑥 1 > 0; 𝑓 ′ (𝑐) > 0 по условию, так как 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) ⇒ 𝑓(𝑥 2 ) − 𝑓(𝑥 1 ) > 0 ⇔ 𝑓(𝑥 1 ) < 𝑓(𝑥 2 ) при 𝑥 1 < 𝑥 2 опр. ⇒ 𝑦 = 𝑓(𝑥) возрастает в (𝑎, 𝑏) Убывание – Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑎, 𝑏) и для ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 𝑓 ′ (𝑥) < 0, то функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) убывает в этом интервале Пусть по условию 𝑓 ′ (𝑥) < 0 для ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Возьмём ∀ 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ (𝑎, 𝑏) такие, что 𝑥 1 < 𝑥 2 . По условию 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑎, 𝑏) ⇒ 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑥 1 , 𝑥 2 ], 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑥 1 , 𝑥 2 ) ⇒ (По теореме Лагранжа) ⇒ 𝑓(𝑥 2 ) − 𝑓(𝑥 1 ) = 𝑓 ′ (𝑐)(𝑥 2 − 𝑥 1 ), где 𝑐 ∈ (𝑥 1 , 𝑥 2 ); 𝑥 2 − 𝑥 1 > 0; 𝑓 ′ (𝑐) < 0 по условию, так как 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) ⇒ 𝑓(𝑥 2 ) − 𝑓(𝑥 1 ) < 0 ⇔ 𝑓(𝑥 1 ) > 𝑓(𝑥 2 ) при 𝑥 1 < 𝑥 2 опр. ⇒ 𝑦 = 𝑓(𝑥) убывает в (𝑎, 𝑏) 22. Понятие экстремума. Формулировка необходимого условия существования экстремума дифференцируемой функции. Формулировка достаточного условия существования экстремума функции по ее первой производной. Формулировка достаточного условия существования экстремума функции по ее второй производной. Понятие экстремума - Тогда существуют такие значение функции f (x), которые по сравнению с другими соседними значения являются наибольшими или наименьшими. Такие значения называют соответственно максимумами и минимумами. Точка X 0 , в которой функция f (x) достигает максимума f (X 0 ), называется точкой максимума. Точка X 0 , в которой функция f (x) достигает минимума f (X 0 ), называется точкой минимума. Максимумы и минимумы вместе называют экстремумами. Функция может иметь внутри интервала (a, b) несколько экстремумов. Формулировка необходимого условия существования экстремума дифференцируемой функции - Формулировка достаточного условия существования экстремума функции по ее первой производной – Формулировка Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна в 𝑈(𝑥 0 ) и дифференцируема в Ů(𝑥 0 ), кроме, быть может, самой точки 𝑥 0 , 𝑥 0 - критическая точка функции, и 𝑓 ′ (𝑥) > 0 для ∀ 𝑥 ∈ 𝑈 − (𝑥 0 ), 𝑓 ′ (𝑥) < 0 для ∀ 𝑥 ∈ 𝑈 + (𝑥 0 ) (𝑓 ′ (𝑥) меняет знак сна- при переходе через точку 𝑥 0 ) (𝑓 ′ (𝑥) < 0 для ∀ 𝑥 ∈ 𝑈 − (𝑥 0 ), 𝑓 ′ (𝑥) > 0 для ∀ 𝑥 ∈ 𝑈 + (𝑥 0 ) (𝑓 ′ (𝑥) меняет знак сна+ при переходе через точку 𝑥 0 )), то 𝑥 0 - точка локального максимума (минимума) 𝑓(𝑥) Доказательство 1) Пусть по условию 𝑓 ′ (𝑥) > 0 при 𝑥 < 𝑥 0 и 𝑓 ′ (𝑥) < 0 при 𝑥 > 𝑥 0 2) По условию 𝑥 0 - критическая точка функции опр. ⇒ 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 0 или 𝑓 ′ (𝑥 0 ) ∄ (= ∞). Возьмём ∀ 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝑈(𝑥 0 ) такие, что 𝑥 1 < 𝑥 0 < 𝑥 2 3) По условию 𝑓(𝑥) непрерывна в 𝑈(𝑥 0 ) и дифференцируема в Ů(𝑥 0 ) кроме, быть может, самой точки 𝑥 0 ⇒ 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑥 1 , 𝑥 0 ] и [𝑥 0 , 𝑥 2 ], 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑥 1 , 𝑥 0 ) и (𝑥 0 , 𝑥 2 ) ⇒ (По теореме Лагранжа) ⇒ ⇒ 𝑓(𝑥 1 ) − 𝑓(𝑥 0 ) = 𝑓 ′ (𝑐 1 )(𝑥 1 − 𝑥 0 ), 𝑓(𝑥 2 ) − 𝑓(𝑥 0 ) = 𝑓 ′ (𝑐 2 )(𝑥 2 − 𝑥 0 ), где 𝑐 1 ∈ (𝑥 1 , 𝑥 0 ), 𝑐 2 ∈ (𝑥 0 , 𝑥 2 ). Рассмотрим 𝑈 − (𝑥 0 ): по условию 𝑓 ′ (𝑐 1 ) > 0, 𝑥 1 − 𝑥 0 < 0 ⇒ ⇒ 𝑓(𝑥 1 ) − 𝑓(𝑥 0 ) < 0 ⇔ 𝑓(𝑥 1 ) < 𝑓(𝑥 0 ) для ∀ 𝑥 1 ∈ 𝑈 − (𝑥 0 ); рассмотрим 𝑈 + (𝑥 0 ): по условию 𝑓 ′ (𝑐 2 ) < 0, 𝑥 2 − 𝑥 0 > 0 ⇒ 𝑓(𝑥 2 ) − 𝑓(𝑥 0 ) < 0 ⇔ 𝑓(𝑥 2 ) < 𝑓(𝑥 0 ) для ∀ 𝑥 2 ∈ 𝑈 + (𝑥 0 ) ⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥 0 ) для ∀ 𝑥 ∈ 𝑈(𝑥 0 ) опр. ⇒ 𝑥 0 - точка локального максимума. Аналогично для точки локального минимума Формулировка достаточного условия существования экстремума функции по ее второй производной - Формулировка Если в стационарной точке 𝑥 0 функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дважды дифференцируема и 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) > 0 (𝑓 ′′ (𝑥 0 ) < 0), то 𝑥 0 - точка локального минимума (максимума) 𝑓(𝑥) Доказательство Пусть по условию 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) > 0 ⇒ функция 𝑓 ′ (𝑥) возрастает в 𝑈(𝑥 0 ), 𝑥 0 - стационарная точка по условию ⇒ 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 0 ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) < 0 при 𝑥 < 𝑥 0 , 𝑓 ′ (𝑥) > 0 при 𝑥 > 𝑥 0 ⇒ (По первому достаточному условию экстремума) ⇒ 𝑥 0 - точка локального минимума. Аналогично для точки локального максимума. Понятие выпуклой (вверх, вниз) функции (ее графика. Формулировка достаточного условия выпуклости дважды дифференцируемой функции. Понятие выпуклой (вверх, вниз) функции (ее графика) – Выпуклая вниз некотором интервале в том случае, когда ее график располагается не ниже касательной к нему в любой точке этого интервала. Выпуклая вверх на некотором интервале в том случае, если график данной функции располагается не выше касательной к нему в любой точке этого интервала. Формулировка достаточного условия выпуклости дважды дифференцируемой функции – Формулировка Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дважды дифференцируема в (𝑎, 𝑏) и 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 (𝑓 ′′ (𝑥) > 0) для ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), то график функции имеет выпуклость, направленную вверх (вниз) в (𝑎, 𝑏) Доказательство По условию 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑎, 𝑏) ⇒ существует касательная к кривой в точках (𝑎, 𝑏). Пусть по условию 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 для ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Возьмём ∀ 𝑥 0 ∈ (𝑎, 𝑏). Докажем, что график функции лежит под касательной, проведённой к кривой в точке (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )). Уравнение касательной 𝑦 кас. − 𝑓(𝑥 0 ) = 𝑓 ′ (𝑥 0 )(𝑥 − 𝑥 0 ), 𝑦 кас. = 𝑦̅. Вычитаем из 𝑦 = 𝑓(𝑥): 𝑦 − 𝑦̅ = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 0 ) − 𝑓 ′ (𝑥 0 )(𝑥 − 𝑥 0 ). Функция 𝑓(𝑥) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа ⇒ 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 0 ) = 𝑓 ′ (𝑐 1 )(𝑥 − 𝑥 0 ), где 𝑐 1 ∈ (𝑥, 𝑥 0 ) ⇒ 𝑦 − 𝑦̅ = 𝑓 ′ (𝑐 1 )(𝑥 − 𝑥 0 ) − 𝑓 ′ (𝑥 0 )(𝑥 − 𝑥 0 ) ⇔ 𝑦 − 𝑦̅ = (𝑥 − 𝑥 0 )(𝑓 ′ (𝑐 1 ) − 𝑓 ′ (𝑥 0 )). Функция 𝑓 ′ (𝑥) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа ⇒ 𝑓 ′ (𝑐 1 ) – 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 𝑓 ′′ (𝑐 2 )(𝑐 1 − 𝑥 0 ), где 𝑐 2 ∈ (𝑐 1 , 𝑥 0 ) ⇒ 𝑦 − 𝑦̅ = 𝑓 ′′ (𝑐 2 )(𝑐 1 − 𝑥 0 )(𝑥 − 𝑥 0 ). 1) Рассмотрим 𝑈 − (𝑥 0 ): 𝑥 < 𝑥 0 ⇒ 𝑥 < 𝑐 1 < 𝑐 2 < 𝑥 0 . 𝑥 − 𝑥 0 < 0; 𝑐 1 − 𝑥 0 < 0; по условию 𝑓 ′′ (𝑐 2 ) < 0 ⇒ 𝑦 − 𝑦̅ < 0 для 𝑥 < 𝑥 0 2) Рассмотрим 𝑈 + (𝑥 0 ): 𝑥 > 𝑥 0 ⇒ 𝑥 > 𝑐 1 > 𝑐 2 > 𝑥 0 . 𝑥 − 𝑥 0 > 0; 𝑐 1 − 𝑥 0 > 0; по условию 𝑓 ′′ (𝑐 2 ) < 0 ⇒ 𝑦 − 𝑦̅ < 0 для 𝑥 > Таким образом 𝑦 − 𝑦̅ < 0 для ∀ 𝑥 ∈ 𝑈(𝑥 0 ) ⇔ 𝑦 − 𝑦 кас. < 0 ⇒ график функции находится под касательной, проведённой в точке (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )) опр. ⇒ график функции имеет выпуклость, направленную вверх в точке (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )), атак как 𝑥 0 ∈ (𝑎, 𝑏) ⇒ график функции имеет выпуклость, направленную вверх в (𝑎, 𝑏). Аналогично для 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 24. Определение точек перегиба функции. Формулировка необходимого и достаточного условий для точек перегиба функции. Определение точек перегиба функции - это точка M(x 0 ; f(x 0 )), в которой существует касательная к графику функции, при условии существования производной в окрестности точки x 0 , где с левой и правой стороны график функции принимает разные направления выпуклости. Формулировка необходимого и достаточного условий для точек перегиба функции - Необходимое Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дважды дифференцируема в Ů(𝑥 0 ), кроме, быть может, самой точки 𝑥 0 и (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )) - точка перегиба графика функции, то 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) = 0 или 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) ∄ (= ∞). 1) Пусть по условию 𝑓(𝑥) дважды дифференцируема в точке 𝑥 0 . Предположим, что 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) ≠ 0 (𝑓 ′′ (𝑥 0 ) > 0 или 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) < 0) ⇒ (По достаточному условию выпуклости функции) ⇒ график функции имеет определённое направление выпуклости в 𝑈(𝑥 0 ), что противоречит условию теоремы, так как по условию (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )) - точка перегиба ⇒ 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) = 0 2) По условию 𝑓(𝑥) не является дважды дифференцируема в точке 𝑥 0 ⇒ ⇒ 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) ∄ (= ∞) Достаточное Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна в точке 𝑥 0 и дважды дифференцируема в Ů(𝑥 0 ), кроме, быть может, самой точки 𝑥 0 и 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) = 0 или 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) ∄ (= ∞) и существует касательная к графику функции в точке (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )) и 𝑓 ′′ (𝑥) меняет знак при переходе через точку 𝑥 0 , то (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )) - точка перегиба 1) По условию 𝑓 ′′ (𝑥) меняет знак. Пусть, например, 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 для 𝑥 < 𝑥 0 ; 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 для 𝑥 > 𝑥 0 ⇒ кривая выпукла вверх в 𝑈 − (𝑥 0 ) и кривая выпукла вниз в 𝑈 + (𝑥 0 ) ⇒ (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )) - точка перегиба. 2) Аналогично при 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 для 𝑥 < 𝑥 0 ; 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 для 𝑥 > 𝑥 0 25. Асимптоты функции. Вывод уравнения наклонной асимптоты. Асимптоты функции - прямая, расстояние от которой до точки кривой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви кривой на бесконечность. Вертикальная асимптота для кривой y=f(x) имеет вид x=a где a - точка разрыва города функции f(x), для которой хотя бы один односторонний предел существует и равен бесконечности. Горизонтальная асимптота для кривой y=f(x) имеет вид y=b где b - конечный предел функции f(x) на бесконечности b= lim(x) → ±∞ f(x), b ≠ ∞ Наклонная асимптота для кривой y=f(x) имеет вид y=kx+b k=lim(f(x)/x), k≠0, k≠∞ b=lim(f(x)-kx) Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты Прямая 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 есть правая (левая) наклонная асимптота графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) тогда и только тогда, когда существуют и конечны lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) 𝑥 = 𝑘 и lim 𝑥→+∞ (𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥) = 𝑏 ( lim 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) 𝑥 = 𝑘 и lim 𝑥→−∞ (𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥) = Необходимость По условию 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 - правая наклонная асимптота опр. ⇒ крив ас 0 при 𝑥 → +∞ ⇒ lim 𝑥→+∞ (𝑓(𝑥) − (𝑘𝑥 + 𝑏)) = 0 ⇒ lim 𝑥→+∞ 𝑥 ( 𝑓(𝑥) 𝑥 − 𝑘 − 𝑏 𝑥 ) = 0, где 𝑥 ≠ 0 ⇒ lim 𝑥→+∞ ( 𝑓(𝑥) 𝑥 − 𝑘 − 𝑏 𝑥 ) = 0 ⇒ lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) 𝑥 = 𝑘. Из первого предела 𝑏 = lim 𝑥→+∞ (𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥) Достатотчность: По условию существует и конечен lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) 𝑥 = 𝑘 ⇒ 𝑏 = lim 𝑥→+∞ (𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥) ⇔ lim 𝑥→+∞ (𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥 − 𝑏) = 0 ⇔ lim 𝑥→+∞ (𝑓(𝑥) − (𝑘𝑥 + 𝑏)) = 0 опр. ⇒ 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 - правая наклонная асимптота. Вывод уравнения наклонной асимптоты - Прямая - называется правосторонней наклонной асимптотой графика при, если, где -б.м.ф. при. Прямая- называется левосторонней наклонной асимптотой графика при, если, где -б.м.ф. при. Если, то двусторонняя наклонная асимптота. Теорема. Для того, чтобы y=kx+b была правосторонней (левосторонней) наклонной асимптотойy= при (при ) необходимо существование двух пределов: ; И достаточно существование Необходимость: Дано y=kx+b– правосторонняя наклонная асимптота. Доказать ; Док-во: , где- б.м.ф. ; . Т.к. И Достаточность Дано: Доказать: y=kx+b– правосторонняя наклонная асимптота. +Док-во. Т.к. существует предел , то- правосторонняя наклонная асимптота (из определения. Модуль 3 Итоговый контроль Теоремы с изложением доказательства 1. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Формулировка Если предел числовой последовательности существует и конечен, то он единственен. Доказательство Предположим, что существуют и конечны lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 = 𝑎 и lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 = 𝑏. Пусть 𝑎 < 𝑏, тогда интервалы (𝑎 − 𝜀; 𝑎 + 𝜀) и (𝑏 − 𝜀; 𝑏 + 𝜀), где, например, 𝜀 = |𝑏−𝑎| 3 должны одновременно содержать все члены числовой последовательности, кроме конечного их числа, что невозможно, так как эти интервалы не имеют общих точек. Предположение неверное ⇒ 𝑎 = 𝑏. 2. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел. Формулировка Если существует и конечен lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐴, то функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) - локально ограниченная Доказательство По условию существует и конечен lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐴 опр. ⇒ для ∀ 𝜀 > 0 ∃ Ů(𝑎): для ∀ 𝑥 ∈ Ů(𝑎) ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜀. Пусть 𝜀 = 1 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 1 для ∀ 𝑥 ∈ Ů(𝑎). |𝑓(𝑥)| − |𝐴| ≤ |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 1 для ∀ 𝑥 ∈ Ů(𝑎) ⇒ |𝑓(𝑥)| < 1 + |𝐴| = 𝑐 для ∀ 𝑥 ∈ Ů(𝑎) ⇒ 𝑓(𝑥) - локально ограниченная. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций. Формулировка Если функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) непрерывны в точке 𝑥 = 𝑎, то функции 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) , где в последнем 𝑔(𝑥) ≠ 0, непрерывны в точке 𝑥 = 𝑎 Доказательство По условию 𝑓(𝑥) непрерывна в точке 𝑥 = 𝑎 опр. ⇒ ∃ lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). По условию 𝑔(𝑥) непрерывна в точке 𝑥 = 𝑎 опр. ⇒ ∃ lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑎). 1) lim 𝑥→𝑎 (𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑎) ± 𝑔(𝑎) опр. ⇒ опр. ⇒ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) непрерывна в точке 𝑥 = 𝑎 2) lim 𝑥→𝑎 (𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)) = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ∗ lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑎) ∗ 𝑔(𝑎) опр. ⇒ опр. ⇒ 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) непрерывна в точке 𝑥 = 𝑎 3) lim 𝑥→𝑎 ( 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ) = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑔(𝑎) опр. ⇒ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) непрерывна при 𝑔(𝑥) ≠ 0 в точке 𝑥 = 𝑎 4. Теорема о пределе сложной функции. Формулировка Если существует и конечен lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑦 0 , причём 𝑓(𝑥) ≠ 𝑦 0 в Ů(𝑎) и существует и конечен lim 𝑦→𝑦 0 𝑔(𝑦) = 𝐴, то существует и конечен lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑓(𝑥)) = Доказательство По условию существуют и конечны lim 𝑦→𝑦 0 𝑔(𝑦) = 𝐴 опр. ⇒ для ∀ 𝜀 > 0 ∃ 𝛿 1 == 𝛿 1 (𝜀) > 0: для ∀ 𝑦: 0 < |𝑦 − 𝑦 0 | < 𝛿 1 ⇒ |𝑔(𝑦) − 𝐴| < 𝜀; lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑦 0 опр. ⇒ для ∀ 𝛿 1 > 0 ∃ 𝛿 2 = 𝛿 2 (𝛿 1 ) > 0: для ∀ 𝑥: 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 2 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑦 0 | < 𝛿 1 для ∀ 𝜀 ∃ → 𝛿 1 ∃ → 𝛿 2 . Для ∀ 𝜀 > 0 ∃ 𝛿 2 = 𝛿 2 (𝜀) > 0: для ∀ 𝑥: 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 2 ⇒ |𝑔(𝑓(𝑥)) − 𝐴| < 𝜀 опр. ⇒ lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝐴 5. Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел. Формулировка Если существует и конечен lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐴 и 𝐴 > 0 (𝐴 < 0), то ∃ Ů 𝛿 (𝑎) такая, что для ∀ 𝑥 ∈ Ů 𝛿 (𝑎) 𝑓(𝑥) > 0 (𝑓(𝑥) < Доказательство По условию существует и конечен lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐴 опр. ⇒ для 𝜀 > 0 ∃ Ů 𝛿 (𝑎): для ∀ 𝑥 ∈ Ů 𝛿 (𝑎) ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜀. 1) Пусть по условию 𝐴 > 0. Возьмём 𝜀 = 𝐴, тогда |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝐴; 0 < 𝑓(𝑥) < 2𝐴 для ∀ 𝑥 ∈ Ů 𝛿 (𝑎) 2) Пусть по условию 𝐴 < 0. Возьмём 𝜀 = −𝐴 (𝜀 > 0), тогда |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜀; 2𝐴 < 𝑓(𝑥) < 0 для ∀ 𝑥 ∈ Ů 𝛿 (𝑎) 6. Теорема о предельном переходе в неравенстве. Формулировка Если существуют и конечны lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐴 и lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝐵 и для ∀ 𝑥 ∈ Ů(𝑎) выполняется неравенство 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), то 𝐴 ≥ 𝐵 Доказательство По условию 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) для ∀ 𝑥 ∈ Ů(𝑎) ⇒ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ≥ 0 для ∀ 𝑥 ∈ Ů(𝑎) ⇒ (По теореме о сохранении знака своего предела) ⇒ lim 𝑥→𝑎 (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) ≥ 0 ⇔ lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) − lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ≥ 0 ⇔ lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ≥ lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ⇔ 𝐴 ≥ 𝐵. 7. Теорема о пределе промежуточной функции. Формулировка Если существуют и конечны lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐴 и lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝐴 и ∃ Ů(𝑎) такая, что для ∀ 𝑥 ∈ Ů(𝑎) выполняется неравенство 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), то lim 𝑥→𝑎 ℎ(𝑥) = 𝐴 Доказательство По условию существуют и конечны lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐴 опр. ⇒ для 𝜀 > 0 ∃ Ů 1 (𝑎): для ∀ 𝑥 ∈ Ů 1 (𝑎) ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝐴 − 𝜀; lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝐴 опр. ⇒ для 𝜀 > 0 ∃ Ů 2 (𝑎): для ∀ 𝑥 ∈ Ů 2 (𝑎) ⇒ 𝑔(𝑥) < 𝐴 + 𝜀. Рассмотрим Ů(𝑎) ⊂ Ů 1 (𝑎) ∩ Ů 2 (𝑎). Тогда для ∀ 𝑥 ∈ Ů(𝑎) выполняется неравенство 𝐴 − 𝜀 < 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) < 𝐴 + 𝜀 ⇔ 𝐴 − 𝜀 < ℎ(𝑥) < 𝐴 + 𝜀 для ∀ 𝑥 ∈ Ů(𝑎) ⇔ |ℎ(𝑥) − 𝐴| < 𝜀 для ∀ 𝑥 ∈ Ů(𝑎) опр. ⇒ lim 𝑥→𝑎 ℎ(𝑥) = 𝐴. 8. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Формулировка Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑢) дифференцируема в точке 𝑢 и функция 𝑢 = 𝜑(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥, то сложная функция 𝑦 = 𝑓(𝑢(𝑥)) дифференцируема в точке 𝑥 и 𝑦 ′ = 𝑓 𝑢 ′ ∗ 𝑢 𝑥 ′ = 𝑓 ′ (𝑢) ∗ Доказательство По условию 𝑢 = 𝜑(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥 опр. ⇒ существует конечный lim Δ𝑥→0 Δ𝑢 Δ𝑥 = 𝜑 ′ (𝑥); 𝑦 = 𝑓(𝑢) дифференцируема в точке 𝑢 опр. ⇒ существует конечный lim ∆𝑢→0 ∆𝑦 ∆𝑢 = 𝑦 ′ = 𝑓 ′ (𝑢). 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑦 𝑥 ′ опр. ⇒ lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦∆𝑢 ∆𝑢∆𝑥 = lim ∆𝑢→0 ∆𝑦 ∆𝑢 ∗ lim ∆𝑥→0 ∆𝑢 ∆𝑥 = 𝑦 𝑢 ′ ∗ 𝑢 𝑥 ′ = 𝑓 ′ (𝑢) ∗ 𝜑 ′ (𝑥), где из Δ𝑥 → 0 ⇒ (По определению непрерывности функции) ⇒ Δ𝑢 → 0. 9. Теорема о дифференцируемости обратной функции. Формулировка Если строго монотонная в 𝑈(𝑥) функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥, то обратная функция 𝑥 = 𝜑(𝑦) дифференцируема в точке 𝑦 и Доказательство По условию 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥 опр. ⇒ существует конечный lim Δx→0 Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑦 ′ (𝑥) 𝜑 ′ (𝑦) = 𝑥 𝑦 ′ опр. ⇒ lim Δ𝑦→0 Δ𝑥 Δ𝑦 = lim Δ𝑥→0 Δ𝑥 Δ𝑦 = 1 lim Δx→0 Δ𝑦 Δ𝑥 = 1 𝑦 𝑥 ′ , где Δ𝑥 → 0 ⇒ (По определению непрерывности функции) ⇒ Δ𝑦 → 0. 10. Теорема Ферма. Формулировка Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥 0 и точка 𝑥 0 - точка локального экстремума функции, то 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 0 Доказательство По условию функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥 0 опр. ⇒ существует конечный lim Δx→0 Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = lim Δ𝑥→0 𝑓(𝑥 0 +Δ𝑥)−𝑓(𝑥 0 ) Δ𝑥 . Пусть 𝑥 0 - точка локального максимума опр. ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥 0 ) для ∀ 𝑥 ∈ 𝑈 𝛿 (𝑥 0 ) ⇒ 𝑓(𝑥 0 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥 0 ) ≤ 0 (𝑥 0 + Δ𝑥 ∈ 𝑈 𝛿 (𝑥 0 )) 1) Пусть Δ𝑥 > 0. 𝑓(𝑥 0 +Δ𝑥)−𝑓(𝑥 0 ) Δ𝑥 ≤ 0 ⇒ (По теореме о предельном переходе в неравенстве) ⇒ lim Δ𝑥→0 𝑓(𝑥 0 +Δ𝑥)−𝑓(𝑥 0 ) Δ𝑥 = 𝑓 + ′ (𝑥 0 ) ≤ 0 2) Пусть Δ𝑥 < 0. 𝑓(𝑥 0 +Δ𝑥)−𝑓(𝑥 0 ) Δ𝑥 ≥ 0 ⇒ (По теореме о предельном переходе в неравенстве) ⇒ lim Δ𝑥→0 𝑓(𝑥 0 +Δ𝑥)−𝑓(𝑥 0 ) Δ𝑥 = 𝑓 − ′ (𝑥 0 ) ≥ 0 𝑓 + ′ (𝑥 0 ) = 𝑓 − ′ (𝑥 0 ), так как по условию 𝑓(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥 0 ⇒ 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 0 11. Теорема Ролля. Формулировка Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎, 𝑏], дифференцируема в (𝑎, 𝑏) и 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), то существует по крайней мере одна точка 𝑥 0 ∈ (𝑎, 𝑏), в которой 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 0 Доказательство По условию 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎, 𝑏] ⇒ (По второй теореме Вейерштрасса) ⇒ функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) достигает на этом отрезке свои минимальное и максимальное значения. 𝑀 = max 𝑓(𝑥); 𝑚 = min 𝑓(𝑥). Возьмём случаи 𝑚 = 𝑀 и 𝑀 > 𝑚. 1) 𝑚 = 𝑀 = 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) ⇒ 𝑓 ′ (𝑐) = 0 для ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 2) 𝑀 > 𝑚: a) 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) = 𝑚 ⇒ своё максимальное значение функция достигает в точке 𝑎 < 𝑥 0 < 𝑏 ⇒ 𝑥 0 - точка локального экстремума. По условию функция 𝑓(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥 0 ⇒ (По теореме Ферма) ⇒ 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 0 b) 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) = 𝑀 ⇒ своё минимальное значение функция достигает в точке 𝑎 < 𝑥 0 < 𝑏 ⇒ 𝑥 0 - точка локального экстремума. По условию функция 𝑓(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥 0 ⇒ (По теореме Ферма) ⇒ 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 0 c) 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) ≠ 𝑚 ≠ 𝑀 ⇒ своё минимальное и максимальное значения функция достигает внутри отрезка ⇒ 𝑥 1 , 𝑥 2 - точки локального экстремума. По условию функция 𝑓(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥 1 и 𝑥 2 ⇒ (По теореме Ферма) ⇒ 𝑓 ′ (𝑥 1 ) = 𝑓 ′ (𝑥 2 ) = 0 12. Теорема Лагранжа. Формулировка Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎, 𝑏] и дифференцируема в (𝑎, 𝑏), то существует хотя бы одна точка 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) такая, что 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓 ′ (𝑐)(𝑏 − 𝑎) Доказательство Обозначим 𝜆 = 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 и рассмотрим вспомогательную функцию 𝐹(𝑥) == 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) − 𝜆(𝑥 − 𝑎). 𝐹(𝑥) непрерывна на [𝑎, 𝑏], дифференцируема в (𝑎, 𝑏), 𝐹(𝑎) = 0, 𝐹(𝑏) = 0 ⇒ (По теореме Ролля) ⇒ существует хотя бы одна точка 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) такая, что 𝐹 ′ (𝑐) = 0. 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) − 𝜆; 𝐹 ′ (𝑐) = 𝑓 ′ (𝑐) − 𝜆 = 0; 𝑓 ′ (𝑐) = 𝜆 = 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 ⇒ 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓 ′ (𝑐)(𝑏 − 𝑎) 13. Теорема Коши. Формулировка Если функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) непрерывны на [𝑎, 𝑏], дифференцируемы в (𝑎, 𝑏) и 𝑔 ′ (𝑥) ≠ 0 для ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), то существует хотя бы одна точка 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) такая, что Доказательство Пусть 𝑔(𝑏) ≠ 𝑔(𝑎) так как если бы 𝑔(𝑏) = 𝑔(𝑎), то функция 𝑔(𝑥) удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля ⇒ существует точка 𝑥 0 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝑔 ′ (𝑥 0 ) = 0, что противоречит условию теоремы по условию 𝑔 ′ (𝑥) ≠ 0. Обозначим 𝜆 = 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎) и рассмотрим вспомогательную функцию 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) − 𝜆(𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)). 𝐹(𝑥) непрерывна на [𝑎, 𝑏], дифференцируема в (𝑎, 𝑏), 𝐹(𝑎) = 0, 𝐹(𝑏) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎) ∗ (𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)) = 0 ⇒ (По теореме Ролля) ⇒ существует хотя бы одна точка 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) такая, что 𝐹 ′ (𝑐) = 0. 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) − 𝜆 ∗ 𝑔 ′ (𝑥); 𝐹 ′ (𝑐) = 𝑓 ′ (𝑐) − 𝜆 ∗ 𝑔 ′ (𝑐) = 0 ⇒ 𝜆 = 𝑓 ′ (𝑐) 𝑔 ′ (𝑐) = 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎) 14. Теорема Бернулли – Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций. Формулировка Если функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) удовлетворяют условиям 1) Бесконечно малые при 𝑥 → 𝑎 (бесконечно большие при 𝑥 → 𝑎) 2) Дифференцируемы в Ů(𝑎), кроме, быть может, самой точки 𝑎 3) 𝑔 ′ (𝑥) ≠ 0 для ∀ 𝑥 ∈ Ů(𝑎), кроме, быть может, самой точки 𝑎 4) Существует lim то существует lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim Доказательство Пусть по условию lim 𝑥→𝑎 + 𝑓(𝑥) = 0, lim 𝑥→𝑎 + 𝑔(𝑥) = 0. Доопределим функцию до непрерывности в 𝑈 + (𝑎): [𝑎, 𝑥], 𝑥 > 𝑎. Пусть 𝑓(𝑎) = 0 и 𝑔(𝑎) = 0, тогда 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) непрерывны на [𝑎, 𝑥], дифференцируемы в (𝑎, 𝑥) ив) по условию ⇒ (По теореме Коши) ⇒ 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑔(𝑥)−𝑔(𝑎) = 𝑓 ′ (𝑐) 𝑔 ′ (𝑐) , где 𝑎 < 𝑐 < 𝑥, 𝑓(𝑎) = 0, 𝑔(𝑎) = 0 ⇒ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑐) 𝑔 ′ (𝑐) ; 𝑎 < 𝑐 < 𝑥 ⇒ если 𝑥 → 𝑎 + , то 𝑐 → 𝑎 + ; по условию существует lim 𝑥→𝑎 + 𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥) ⇒ lim 𝑥→𝑎 + 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 + 𝑓 ′ (𝑐) 𝑔 ′ (𝑐) = lim 𝑐→𝑎 + 𝑓 ′ (𝑐) 𝑔 ′ (𝑐) = lim 𝑥→𝑎 + 𝑓 ′ (𝑥) 𝑔 ′ (𝑥) 15. Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано ив форме Лагранжа. В форме Пеано. Формулировка: По теореме о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа 𝑅 𝑛 (𝑥) = 𝑓 (𝑛+1) (𝜉) (𝑛+1)! (𝑥 − 𝑎) 𝑛+1 , 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑥) или 𝜉 = 𝑎 + 𝜃(𝑥 − 𝑎), где 0 < 𝜃 < Доказательство Уменьшая 𝑈(𝑎) получим, что функция 𝑦 = 𝑓 (𝑛+1) (𝑥) непрерывна на [𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿] ⇒ По первой теореме Вейерштрасса) ⇒ 𝑓 (𝑛+1) (𝑥) ограничена на этом отрезке, то есть |𝑓 (𝑛+1) (𝑥)| ≤ 𝑀 𝑛 , где 𝑀 𝑛 - число, независящее от 𝑥, но зависящее от 𝑛. Тогда |𝑅 𝑛 (𝑥)| = |𝑓 (𝑛+1) (𝜉)| (𝑛+1)! |𝑥 − 𝑎| 𝑛+1 ≤ 𝑀 𝑛 (𝑛+1)! |𝑥 − 𝑎| 𝑛+1 . Исследуем 𝑅 𝑛 (𝑥) при 𝑥 → 𝑎: lim 𝑥→𝑎 𝑅 𝑛 (𝑥) (𝑥−𝑎) 𝑛 = lim 𝑥→𝑎 𝑀 𝑛 (𝑥−𝑎) 𝑛+1 (𝑛+1)!(𝑥−𝑎) 𝑛 = 𝑀 𝑛 (𝑛+1)! lim 𝑥→𝑎 (𝑥 − 𝑎) = 0 опр. ⇒ 𝑅 𝑛 (𝑥) = 𝑜((𝑥 − 𝑎) 𝑛 ) В форме Лангранжа. Формулировка Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет в 𝑈(𝑎) непрерывное производное до (𝑛 + го порядка, то для ∀ 𝑥 ∈ 𝑈(𝑎) существует точка 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑥) такая, что 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎) 1! (𝑥 − 𝑎) + ⋯ + 𝑓 (𝑛) (𝑎) 𝑛! (𝑥 − 𝑎) 𝑛 + 𝑓 (𝑛+1) (𝜉) (𝑛+1)! (𝑥 − Доказательство Обозначим 𝑅 𝑛 (𝑥) = 𝑓 (𝑛+1) (𝜉) (𝑛+1)! (𝑥 − 𝑎) 𝑛+1 = (𝑥−𝑎) 𝑛+1 (𝑛+1)! |