теория для сессии по математическому анализу за 1ый курс. новая абсолютная теория Матан для телефона. Модуль 1 Элементарные функции и пределы
 Скачать 0.79 Mb.
|
|
∗ 𝑄(𝑥), 𝑄(𝑥)−? 𝑓(𝑥) запишем в следующем виде 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + (𝑥−𝑎) 1! 𝑓 ′ (𝑎) + ⋯ + (𝑥−𝑎) 𝑛 𝑛! 𝑓 (𝑛) (𝑎) + (𝑥−𝑎) 𝑛+1 (𝑛+1)! ∗ 𝑄(𝑥) Рассмотрим вспомогательную функцию, где 𝑥, 𝑎 - фиксированные. Вместо 𝑎 подставляем 𝑡: 𝐹(𝑡) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑡) − (𝑥−𝑡) 1! 𝑓 ′ (𝑡) − ⋯ − (𝑥−𝑡) 𝑛 𝑛! 𝑓 (𝑛) (𝑡) − (𝑥−𝑡) 𝑛+1 (𝑛+1)! ∗ 𝑄 𝐹 ′ (𝑡) = −𝑓 ′(𝑡) − (−1) 1! 𝑓 ′ (𝑡) − (𝑥−𝑡) 1! 𝑓 ′′ (𝑡) − 2(𝑥−𝑡)(−1) 2! 𝑓 ′′ (𝑡) − (𝑥−𝑡) 2 2! 𝑓 ′′′ (𝑡) − 3(𝑥−𝑡) 2 (−1) 3! 𝑓 ′′′ (𝑡) − … − 𝑛(𝑥−𝑡) 𝑛−1 (−1) 𝑛! 𝑓 (𝑛) (𝑡) − (𝑥−𝑡) 𝑛 𝑛! 𝑓 (𝑛+1) (𝑡) − (𝑛+1)(𝑥−𝑡) 𝑛 (−1) (𝑛+1)! 𝑄 После сокращений остаётся выражение 𝐹 ′ (𝑡) = − (𝑥−𝑡) 𝑛 𝑛! 𝑓 (𝑛+1) (𝑡) + (𝑥−𝑡) 𝑛 𝑛! 𝑄 𝐹(𝑡) дифференцируема в (𝑎, 𝑥); 𝐹(𝑎) = 0; 𝐹(𝑥) = 0 ⇒ (По теореме Ролля) ⇒ существует точка 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑥); 𝐹 ′ (𝜉) = 0 𝐹 ′ (𝜉) = − (𝑥−𝜉) 𝑛 𝑛! 𝑓 (𝑛+1) (𝜉) + (𝑥−𝜉) 𝑛 𝑛! 𝑄 = 0 ⇔ 𝑄 = 𝑓 (𝑛+1) (𝜉) Таким образом 𝑅 𝑛 (𝑥) = 𝑓 (𝑛+1) (𝜉) (𝑛+1)! (𝑥 − 𝑎) 𝑛+1 16. Необходимое и достаточное условия возрастания/убывания дифференцируемой функции. Условие возрастания. Необходимость Достаточность Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑎, 𝑏) и для ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 𝑓 ′ (𝑥) > 0, то функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) возрастает в этом интервале. Пусть по условию 𝑓 ′ (𝑥) > 0 для ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Возьмём ∀ 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ (𝑎, 𝑏) такие, что 𝑥 1 < 𝑥 2 . По условию 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑎, 𝑏) ⇒ 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑥 1 , 𝑥 2 ], 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑥 1 , 𝑥 2 ) ⇒ (По теореме Лагранжа) ⇒ 𝑓(𝑥 2 ) − 𝑓(𝑥 1 ) = 𝑓 ′ (𝑐)(𝑥 2 − 𝑥 1 ), где 𝑐 ∈ (𝑥 1 , 𝑥 2 ); 𝑥 2 − 𝑥 1 > 0; 𝑓 ′ (𝑐) > 0 по условию, так как 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) ⇒ 𝑓(𝑥 2 ) − 𝑓(𝑥 1 ) > 0 ⇔ 𝑓(𝑥 1 ) < 𝑓(𝑥 2 ) при 𝑥 1 < 𝑥 2 опр. ⇒ 𝑦 = 𝑓(𝑥) возрастает в (𝑎, 𝑏). Условие убывания. Необходимость Достаточность Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑎, 𝑏) и для ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 𝑓 ′ (𝑥) < 0, то функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) убывает в этом интервале. Пусть по условию 𝑓 ′ (𝑥) < 0 для ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Возьмём ∀ 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ (𝑎, 𝑏) такие, что 𝑥 1 < 𝑥 2 . По условию 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑎, 𝑏) ⇒ 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑥 1 , 𝑥 2 ], 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑥 1 , 𝑥 2 ) ⇒ (По теореме Лагранжа) ⇒ 𝑓(𝑥 2 ) − 𝑓(𝑥 1 ) = 𝑓 ′ (𝑐)(𝑥 2 − 𝑥 1 ), где 𝑐 ∈ (𝑥 1 , 𝑥 2 ); 𝑥 2 − 𝑥 1 > 0; 𝑓 ′ (𝑐) < 0 по условию, так как 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) ⇒ 𝑓(𝑥 2 ) − 𝑓(𝑥 1 ) < 0 ⇔ 𝑓(𝑥 1 ) > 𝑓(𝑥 2 ) при 𝑥 1 < 𝑥 2 опр. ⇒ 𝑦 = 𝑓(𝑥) убывает в (𝑎, 𝑏). 17. Достаточное условие локального экстремума функции по ее первой производной. Формулировка Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна в 𝑈(𝑥 0 ) и дифференцируема в Ů(𝑥 0 ), кроме, быть может, самой точки 𝑥 0 , 𝑥 0 - критическая точка функции, и 𝑓 ′ (𝑥) > 0 для ∀ 𝑥 ∈ 𝑈 − (𝑥 0 ), 𝑓 ′ (𝑥) < 0 для ∀ 𝑥 ∈ 𝑈 + (𝑥 0 ) (𝑓 ′ (𝑥) меняет знак сна- при переходе через точку 𝑥 0 ) (𝑓 ′ (𝑥) < 0 для ∀ 𝑥 ∈ 𝑈 − (𝑥 0 ), 𝑓 ′ (𝑥) > 0 для ∀ 𝑥 ∈ 𝑈 + (𝑥 0 ) (𝑓 ′ (𝑥) меняет знак сна+ при переходе через точку 𝑥 0 )), то 𝑥 0 - точка локального максимума (минимума) 𝑓(𝑥) 4) Пусть по условию 𝑓 ′ (𝑥) > 0 при 𝑥 < 𝑥 0 и 𝑓 ′ (𝑥) < 0 при 𝑥 > 𝑥 0 5) По условию 𝑥 0 - критическая точка функции опр. ⇒ 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 0 или 𝑓 ′ (𝑥 0 ) ∄ (= ∞). Возьмём ∀ 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝑈(𝑥 0 ) такие, что 𝑥 1 < 𝑥 0 < 𝑥 2 6) По условию 𝑓(𝑥) непрерывна в 𝑈(𝑥 0 ) и дифференцируема в Ů(𝑥 0 ) кроме, быть может, самой точки 𝑥 0 ⇒ 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑥 1 , 𝑥 0 ] и [𝑥 0 , 𝑥 2 ], 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑥 1 , 𝑥 0 ) и (𝑥 0 , 𝑥 2 ) ⇒ (По теореме Лагранжа) ⇒ ⇒ 𝑓(𝑥 1 ) − 𝑓(𝑥 0 ) = 𝑓 ′ (𝑐 1 )(𝑥 1 − 𝑥 0 ), 𝑓(𝑥 2 ) − 𝑓(𝑥 0 ) = 𝑓 ′ (𝑐 2 )(𝑥 2 − 𝑥 0 ), где 𝑐 1 ∈ (𝑥 1 , 𝑥 0 ), 𝑐 2 ∈ (𝑥 0 , 𝑥 2 ). Рассмотрим 𝑈 − (𝑥 0 ): по условию 𝑓 ′ (𝑐 1 ) > 0, 𝑥 1 − 𝑥 0 < 0 ⇒ 𝑓(𝑥 1 ) − 𝑓(𝑥 0 ) < 0 ⇔ 𝑓(𝑥 1 ) < 𝑓(𝑥 0 ) для ∀ 𝑥 1 ∈ 𝑈 − (𝑥 0 ); рассмотрим 𝑈 + (𝑥 0 ): по условию 𝑓 ′ (𝑐 2 ) < 0, 𝑥 2 − 𝑥 0 > 0 ⇒ 𝑓(𝑥 2 ) − 𝑓(𝑥 0 ) < 0 ⇔ 𝑓(𝑥 2 ) < 𝑓(𝑥 0 ) для ∀ 𝑥 2 ∈ 𝑈 + (𝑥 0 ) ⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥 0 ) для ∀ 𝑥 ∈ 𝑈(𝑥 0 ) опр. ⇒ 𝑥 0 - точка локального максимума. Аналогично для точки локального минимума 18. Достаточное условие локального экстремума функции по ее второй производной. Формулировка Если в стационарной точке 𝑥 0 функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дважды дифференцируема и 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) > 0 (𝑓 ′′ (𝑥 0 ) < 0), то 𝑥 0 - точка локального минимума (максимума) 𝑓(𝑥) Пусть по условию 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) > 0 ⇒ функция 𝑓 ′ (𝑥) возрастает в 𝑈(𝑥 0 ), 𝑥 0 - стационарная точка по условию ⇒ 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 0 ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) < 0 при 𝑥 < 𝑥 0 , 𝑓 ′ (𝑥) > 0 при 𝑥 > 𝑥 0 ⇒ (По первому достаточному условию экстремума) ⇒ 𝑥 0 - точка локального минимума. Аналогично для точки локального максимума 19. Достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой функции. Необходимость Достаточность Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дважды дифференцируема в (𝑎, 𝑏) и 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 (𝑓 ′′ (𝑥) > 0) для ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), то график функции имеет выпуклость, направленную вверх (вниз) в (𝑎, 𝑏) По условию 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑎, 𝑏) ⇒ существует касательная к кривой в точках (𝑎, 𝑏). Пусть по условию 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 для ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Возьмём ∀ 𝑥 0 ∈ (𝑎, 𝑏). Докажем, что график функции лежит под касательной, проведённой к кривой в точке (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )). Уравнение касательной 𝑦 кас. − 𝑓(𝑥 0 ) = 𝑓 ′ (𝑥 0 )(𝑥 − 𝑥 0 ), 𝑦 кас. = 𝑦̅. Вычитаем из 𝑦 = 𝑓(𝑥): 𝑦 − 𝑦̅ = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 0 ) − 𝑓 ′ (𝑥 0 )(𝑥 − 𝑥 0 ). Функция 𝑓(𝑥) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа ⇒ 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 0 ) = 𝑓 ′ (𝑐 1 )(𝑥 − 𝑥 0 ), где 𝑐 1 ∈ (𝑥, 𝑥 0 ) ⇒ 𝑦 − 𝑦̅ = 𝑓 ′ (𝑐 1 )(𝑥 − 𝑥 0 ) − 𝑓 ′ (𝑥 0 )(𝑥 − 𝑥 0 ) ⇔ ⇔ 𝑦 − 𝑦̅ = (𝑥 − 𝑥 0 )(𝑓 ′ (𝑐 1 ) − 𝑓 ′ (𝑥 0 )). Функция 𝑓 ′ (𝑥) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа ⇒ 𝑓 ′ (𝑐 1 ) – 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 𝑓 ′′ (𝑐 2 )(𝑐 1 − 𝑥 0 ), где 𝑐 2 ∈ (𝑐 1 , 𝑥 0 ) ⇒ 𝑦 − 𝑦̅ = 𝑓 ′′ (𝑐 2 )(𝑐 1 − 𝑥 0 )(𝑥 − 𝑥 0 ). 3) Рассмотрим 𝑈 − (𝑥 0 ): 𝑥 < 𝑥 0 ⇒ 𝑥 < 𝑐 1 < 𝑐 2 < 𝑥 0 . 𝑥 − 𝑥 0 < 0; 𝑐 1 − 𝑥 0 < 0; по условию 𝑓 ′′ (𝑐 2 ) < 0 ⇒ 𝑦 − 𝑦̅ < 0 для 𝑥 < 𝑥 0 4) Рассмотрим 𝑈 + (𝑥 0 ): 𝑥 > 𝑥 0 ⇒ 𝑥 > 𝑐 1 > 𝑐 2 > 𝑥 0 . 𝑥 − 𝑥 0 > 0; 𝑐 1 − 𝑥 0 > 0; по условию 𝑓 ′′ (𝑐 2 ) < 0 ⇒ 𝑦 − 𝑦̅ < 0 для 𝑥 > Таким образом 𝑦 − 𝑦̅ < 0 для ∀ 𝑥 ∈ 𝑈(𝑥 0 ) ⇔ 𝑦 − 𝑦 кас. < 0 ⇒ график функции находится под касательной, проведённой в точке (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )) опр. ⇒ график функции имеет выпуклость, направленную вверх в точке (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )), атак как 𝑥 0 ∈ (𝑎, 𝑏) ⇒ график функции имеет выпуклость, направленную вверх в (𝑎, 𝑏). Аналогично для 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 20. Необходимое и достаточное условие для существования точек перегиба графика функции. Необходимость Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дважды дифференцируема в Ů(𝑥 0 ), кроме, быть может, самой точки 𝑥 0 и (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )) - точка перегиба графика функции, то 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) = 0 или 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) ∄ (= ∞). 3) Пусть по условию 𝑓(𝑥) дважды дифференцируема в точке 𝑥 0 . Предположим, что 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) ≠ 0 (𝑓 ′′ (𝑥 0 ) > 0 или 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) < 0) ⇒ (По достаточному условию выпуклости функции) ⇒ график функции имеет определённое направление выпуклости в 𝑈(𝑥 0 ), что противоречит условию теоремы, так как по условию (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )) - точка перегиба ⇒ 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) = 0 4) По условию 𝑓(𝑥) не является дважды дифференцируема в точке 𝑥 0 ⇒ 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) ∄ (= ∞) Достаточность Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна в точке 𝑥 0 и дважды дифференцируема в Ů(𝑥 0 ), кроме, быть может, самой точки 𝑥 0 и 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) = 0 или 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) ∄ (= ∞) и существует касательная к графику функции в точке (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )) и 𝑓 ′′ (𝑥) меняет знак при переходе через точку 𝑥 0 , то (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )) - точка перегиба 3) По условию 𝑓 ′′ (𝑥) меняет знак. Пусть, например, 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 для 𝑥 < 𝑥 0 ; 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 для 𝑥 > 𝑥 0 ⇒ кривая выпукла вверх в 𝑈 − (𝑥 0 ) и кривая выпукла вниз в 𝑈 + (𝑥 0 ) ⇒ (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )) - точка перегиба. 4) Аналогично при 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 для 𝑥 < 𝑥 0 ; 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 для 𝑥 > 𝑥 0 Всякая всячина. 1. Число a называется пределом последовательности {𝑥 𝑛 }, если для любого сколь угодно малого положительного 𝜀 существует номер 𝑁 = 𝑁(𝜀) такой, что для всех номеров 𝑛 ≥ 𝑁 выполняется неравенство |𝑥 𝑛 − 𝑎| < 𝜀. ( lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 = 𝑎) ≡ (для ∀ 𝜀 > 0 ∃ 𝑁 = 𝑁(𝜀): для ∀ 𝑛 > 𝑁(𝜀) ⇒ |𝑥 𝑛 − 𝑎| < 𝜀 2. Пример предела по Коши (lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏) ≡ (для ∀ 𝜀 > 0 ∃ 𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0: для ∀ 𝑥 ∈ Ů 𝛿 (𝑎) ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑏| < 𝜀) Пример предела по Гейне: (lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐴) ≡ (для ∀ {𝑥 𝑛 }: lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 = 𝑎 для ∀ 𝑛 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑓(𝑥 𝑛 ) = 𝐴) 3. Окрестностью 𝑈(𝑥) точки 𝑥 называют любой интервал, содержащий эту точку. окрестностью точки 𝑥 (при положительном 𝜀) называют интервал (𝑥 − 𝜀, 𝑥 + 𝜀) 4. Окрестностью точки +∞ называют интервал вида (𝑀, +∞), где 𝑀 - произвольное действительное сколь угодно большое число. Окрестностью точки −∞ называют интервал вида (−∞, −𝑀), где 𝑀 - произвольное действительное сколь угодно большое число. Окрестностью точки ∞ называют объединение двух бесконечных интервалов вида (−∞, −𝑀) ∪ (𝑀, +∞), где 𝑀 - произвольное действительное сколь угодно большое число. 5. Если предел числовой последовательности существует и конечен, то он называется сходящейся. Числовая последовательность {𝑥 𝑛 } называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу. Числовая последовательность {𝑥 𝑛 } называется возрастающей, если 𝑥 1 < 𝑥 2 < ⋯ < 𝑥 𝑛 < ⋯. Числовая последовательность {𝑥 𝑛 } называется убывающей, если 𝑥 1 > 𝑥 2 > ⋯ > 𝑥 𝑛 > ⋯. Числовая последовательность {𝑥 𝑛 } называется невозрастающей, если 𝑥 1 ≥ 𝑥 2 ≥ ⋯ ≥ 𝑥 𝑛 ≥ ⋯. Числовая последовательность {𝑥 𝑛 } называется неубывающей, если 𝑥 1 ≤ 𝑥 2 ≤ ⋯ ≤ 𝑥 𝑛 ≤ ⋯. Невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными. Последовательность {𝑥 𝑛 } называется фундаментальной, если для любого 𝜀 > 0 существует номер 𝑁 = 𝑁(𝜀) такой, что при любых 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁 выполняется неравенство |𝑥 𝑚 − 𝑥 𝑛 | < 𝜀. 6. Функция 𝛼(𝑥) называется бесконечно малой при 𝑥 → 𝑎, если lim 𝑥→𝑎 𝛼(𝑥) = 0. Функция 𝑓(𝑥) называется бесконечно большой при 𝑥 → 𝑎, если lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = ∞. 7. Две бесконечно малые при 𝑥 → 𝑎 функции 𝛼(𝑥) и 𝛽(𝑥) называются бесконечно малыми одного порядка, если lim 𝑥→𝑎 𝛼(𝑥) 𝛽(𝑥) = 𝑐, где 𝑐 - 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑐 ≠ 0, 𝑐 ≠ ∞. Две бесконечно малые при 𝑥 → 𝑎 функции 𝛼(𝑥) и 𝛽(𝑥) называются небесконенимыми, если при 𝑥 → 𝑎 не существует ни конечного, ни бесконечного предела отношения Две бесконечно малые при 𝑥 → 𝑎 функции 𝛼(𝑥) и 𝛽(𝑥) называются эквивалентными бесконечно малыми, если lim 𝑥→𝑎 𝛼(𝑥) 𝛽(𝑥) = 𝛽(𝑥) 𝛼(𝑥) = 1. 8. Если 𝛼(𝑥) и 𝛽(𝑥) бесконечно малые при 𝑥 → 𝑎 функции и lim 𝑥→𝑎 𝛼(𝑥) (𝛽(𝑥)) 𝑘 = 𝑐, где 𝑐 - 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑐 ≠ 0, 𝑐 ≠ ∞, то функция 𝛼(𝑥) называется бесконечно малой функцией порядка 𝑘 относительно 𝛽(𝑥), а число 𝑘 - порядком малости. 9. Если 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) бесконечно большие при 𝑥 → 𝑎 функции и lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) (𝑔(𝑥)) 𝑘 = 𝑐, где 𝑐 - 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑐 ≠ 0, 𝑐 ≠ ∞, то функция 𝑓(𝑥) называется бесконечно большой функцией порядка 𝑘 относительно 𝑔(𝑥), а число 𝑘 - порядком роста. 10. Приращением функции называют ∆𝑓(𝑥 0 ) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 0 ) = 𝑓(𝑥 0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥 0 ). 11. Функция 𝑓(𝑥) называется непрерывной в точке 𝑥 = 𝑎, если 𝑓(𝑥) определена в точке 𝑥 = 𝑎 ив, существует lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). 12. Функция называется непрерывной на интервале (𝑎, 𝑏), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция называется непрерывной на отрезке [𝑎, 𝑏], если она непрерывна в интервале (𝑎, 𝑏) и непрерывна в точке 𝑥 = 𝑎 справа ив точке 𝑥 = 𝑏 слева. 13. Точка 𝑥 = 𝑥 0 называется точкой разрыва функции 𝑓(𝑥), если данная функция не является непрерывной в точке Точка 𝑥 = 𝑥 0 называется точкой устранимого разрыва функции 𝑓(𝑥), если предел lim 𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑥) существует, но функция не определена в этой точке или lim 𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥 0 ). Точка 𝑥 = 𝑥 0 называется точкой разрыва I рода, если 𝑥 0 - точка разрыва функции 𝑓(𝑥), и существуют конечные пределы lim 𝑥→𝑥 0 − 𝑓(𝑥) = 𝐴 ≠ lim 𝑥→𝑥 0 + 𝑓(𝑥) = 𝐵. Точка 𝑥 = 𝑥 0 называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует (в частности равен ∞). 14. Пусть функция 𝑓(𝑥) определена при 𝑥 > 𝑥 0 (𝑥 < 𝑥 0 ) , и пусть 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 + 𝛼(𝑥) при 𝑥 → +∞ ( 𝑥 → −∞), где 𝛼(𝑥) - бесконечно малая функция при 𝑥 → +∞ ( 𝑥 → −∞). Тогда прямая 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵 называется правой (левой) наклонной асимптотой графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). |