Основы-системного-анализа. Модуль основы системного анализа и моделирование экосистем
 Скачать 0.69 Mb.
|
|
3.5.2. Задачи линейного программирования Методы математического программирования базируются на хорошо разработанной теории математического программирования и позволяют решать широкий спектр задач отыскания экстремума функции (т.е. максимума или минимума), как правило, при нали- чии ограничений по использованию ресурсов. Наибольшее распространение получили методы линейного программирования, имеющие большое число разнообразных мето- дов, реализованных на компьютерах. Все методы характеризуются линейной записью целевой функции, а также всех ограничений. К задаче линейного программирования можно свести задачу борьбы с сельскохо- зяйственными вредителями, которая строится на основе модели хищник–жертва. Пусть x – численность вредителей в момент времени t; y t – хищник (воробьи, голуби); u t – управление, заключающееся в изменении концентрации ядохимикатов, умень- шающих коэффициенты k 1 и k 2 – воспроизводство (функции k 1 и k 2 монотонно убы- вают), то модель можно записать в следующем виде Пусть – ущерб, наносимый одной особью жертвы; – одной особью хищника. Тогда суммарный ущерб в момент времени t будет = x t + y t . Предполагая, что ущерб суммируется, можно поставить задачу выбора такого управления u t на каждом шаге, при котором суммарный ущерб за Т минимизировался бы, т.е. Результат решения такой модели отнюдь не тривиален. Если увеличивать концент- рацию ядохимикатов, то, начиная с некоторого u*, большое количество яда убьет не только жертвы, но и хищников, количество жертв начнет увеличиваться в геометри- ческой прогрессии, и суммарный ущерб станет колоссален. В каких ситуациях можно модель "хищник–жертва" свести с задачей ли- нейного программирования? Будет ли решение такой задачи тривиаль- ным? y )) u ( k 1 ( y , y x x )) u ( k 1 ( x t t 2 1 t t t t t 1 1 t T 1 t t t ) y x ( min. Второе высшее образование 27 3.6. МЕТОДЫ МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ Статистические методы прогнозирования базируются на использовании накоплен- ной статистической информации об изменении показателей, характеризующих анали- зируемый объект или процесс. Задание 3.6.1. Подготовьте данные для статистической обработки раз- личными методами. Обработайте данные с использованием компьютер- ных программ и сделайте анализ полученных результатов. Для анализа с использованием статистических методов необходимо, чтобы число наблюдений было достаточно большим, не менее 20–30, иначе достоверность выводов существенно снижается. При исследовании взаимосвязей между признаками на основе статистического ана- лиза обычно решают следующие задачи: Существует ли связь между результатом и выбранными для анализа факторами; Какова количественная мера связи; Какова аналитическая форма выражения связи; Какова надежность найденной закономерности и возможности использования пара- метров уравнения для решения оптимизационных моделей. Ответ на первый вопрос дают дисперсионный и корреляционный анализ. Коли- чественную меру зависимости определяют с помощью регрессионного анализа. Для выбора общей формы зависимости у от х можно построить график. В этом случае форма зависимости выявляется визуально. Можно подобрать форму зависи- мости с использованием стандартных программ и выбора наилучшей формы с по- мощью перебора получившихся результатов. На практике исследования чаще всего начинают с анализа линейной зависимости. Для случая двух переменных у и х линейная зависимость имеет вид: где у – значения результативного признака; х – значения факторного признака; а и b – коэффициенты уравнения (а 0 – свободный член уравнения; на графике он соответст- вует точке пересечения уравнения регрессии с осью ординат; математическое начало отсчета; a 1 – коэффициент регрессии, который показывает, на сколько единиц в сред- нем изменится результативный признак у при изменении факторного признака х на 1 ед.). Кроме линейной, наиболее часто используют следующие виды зависимостей (табл. 3.1). На основе полученного уравнения регрессии можно получить прогнозируемое зна- чение результативного показателя, задавая значения факторов. Кроме того, анализ уравнения регрессии позволяет оценить роль факторного признака в формировании результативного. Доля фактора в общей изменчивости может быть измерена с помощью дисперсион- ного анализа. Для этого общую дисперсию, которая характеризует общую изменчи- вость результативного признака, раскладывают на дисперсию, обусловленную влияни- ем заложенного в модель фактора (факторная) и дисперсию, вызываемую случайной у = а 0 +a 1 х, Модуль 3 28 компонентой (остаточную). Соотношение факторной дисперсии к общей получило на- звание отношения детерминации а корень квадратный из этого отношения – коэффициент детерминации (так как ост 2 факт 2 общая 2 ). Этот показатель является универсальным измерителем тесноты связи между признаками и изменяется от 0 до 1. (Коэффициент сохраняет свои свойства и при нелинейной связи между признаками). Учитывая, что в анализе экономических процессов особое значение имеет влияние производственных факторов на выход продукции, развитие получил один из классов корреляционно-регрессионных моделей – производственные функции. Производственные функции выражают взаимосвязь факторов с результатами производства. Их задачей является исследование количественной меры влияния про- изводственных факторов на конечные результаты. Производственные функции могут быть одно- и многофакторными, линейными и нелинейными. Наиболее важной характеристикой производственной функции является показатель средней производительности (или эффективности) ресурсных факторов. Средняя про- изводительность i-го ресурса показывает, на сколько единиц увеличится результат про- изводства при увеличении соответствующего фактора на 1 ед. (В уравнении регрессии средней производительности соответствует коэффициент a i ). При анализе темпов прироста продукции используют коэффициенты эластич- ности, которые показывают, на сколько процентов увеличится результат при увели- чении фактора на 1%. Сумма коэффициентов эластичности показывает экономическую эффективность производства. Если сумма >1, то выход продукции растет более Таблица 3.1 Наиболее часто используемые виды зависимостей Зависимость Математическое выражение Линейная y = a 0 + a 1 x Квадратичная y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 Гиперболическая y = a 0 + a 1 /x Экспоненциальная y = a 0 + x 1 a e Логарифмическая y = a 0 + log(a 1 x) Степенная (чаще всего с показателем n=0,5) y = a 0 + a 1 x n общая 2 факт 2 2 , общая 2 ост 2 1 Второе высшее образование 29 быстрыми темпами, чем факторы. В противном случае – прирост производства отстает от прироста факторов. При анализе экономических показателей коэффициенты эластичности используют для анализа возможного замещения одного ресурса другим (например, замена ручного труда машинным). Какие задачи могут быть решены с помощью методов математико-ста- тистического прогнозирования? 3.7. МЕТОДЫ АНАЛИЗА СОЦИАЛЬНО-ЭКОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ Обычно при исследовании сложных систем используют методы, основанные на анализе и математической обработке показателей связи между отдельными элемен- тами и параметрами системы. Среди них – расчет коэффициентов корреляции, регрес- сионный, факторный и дисперсионный и другие анализы. На основе применения этих методов исследователь пытается сформировать свои представления о функциониро- вании системы. Однако существует множество примеров, когда присутствует ярко вы- раженная сильная связь между признаками, а коэффициент корреляции при этом ра- вен нулю и наоборот. Задание 3.7.1. Познакомьтесь с основами теории графов и возможнос- тями ее применения к системному анализу и прогнозированию социально- экологических систем Традиционно используемые методы связи – это чисто вероятностные статисти- ческие характеристики. Вопросы, которые можно решить на основе их использования, весьма ограничены. Несомненно, понятие величины связи должно использоваться при анализе сложных систем. Однако содержание этого понятия должно быть другим. Связь должна быть мерой упорядоченности элементов в системе по сравнению с их полной беспоря- доченностью, когда они находятся вне какой-либо системы; она должна определять энергетические или информационные затраты, возникающие при вхождении эле- ментов в систему. Такой подход к пониманию связи позволяет глубже понять внут- ренний механизм сложной системы, поскольку он основан на анализе взаимодействия между элементами, в то время как традиционный анализ обычно ограничен исследо- ванием совокупности состояний этих элементов. Переход от анализа состояний к анализу взаимодействий элементов системы воз- можен лишь на основе нетрадиционной системологики – техники анализа системы обработки связи. Последовательность этапов анализа системы в этом случае следую- щая: 1) на основе многомерного массива экспериментальных данных, характеризую- щих систему и ее элементы, определяют величины связи между элементами и пара- метрами исследуемой системы; 2) определяют направления связей и выявляют ба- зисные подсистемы – тройки результатов, где два из них рождают третий эмерджент- ный результат; 3) определяют цель последовательных результатов подсистем. Если традиционные математико-статистические методы приспособлены для ана- лиза переменных, удовлетворяющих нормальному закону распределения, то указанная информационная технология позволяет обрабатывать естественные распределения Модуль 3 30 переменных, неявно отображенные в массивах экспериментальных данных, получен- ных в результате наблюдений за общим поведением системы. Основой решения многокомпонентных задач являются ориентированные графы ( орграфы). Начало теории графов было положено Л.Эйлером в 1736 г., но как само- стоятельная дисциплина она сформировалась в 30-е годы ХХ в. При решении много- компонентных задач большое внимание уделяется системе обратных связей, присут- ствующих в любой сложной системе. Наглядность и простота метода делает его до- ступным для использования специалистами, не обладающими широкими познаниями в области прикладной математики. Геометрически ориентированный граф можно представить в виде набора вершин, обозначаемых кружками, и дуг, соединяющих эти вершины. Дуга – задает направление от одной вершины к другой. На рис. 3.6 показан орграф из четырех вершин. Рис. 3.6. Пример ориентированного графа Путем в орграфе называется такая конечная последовательность дуг, в кото- рой начало каждой последующей дуги совпадает с концом предыдущей. Дуги можно обозначить парой вершин, которые она соединяет. Например, от вершины 1 к вершине 2 ведут два пути – первый путь {(1/2)} и второй путь {(1.3); (3.2)}. Путь можно записать в виде последовательности вершин, через которые он проходит. Например, второй путь можно записать так {1, 3, 2}. Контуром называется путь, начальная вершина которого совпадает с конечной. На рис. 3.6 изображен орграф без контура. На рис. 3.7 представлен орграф с контуром, проходящим через вершины 2, 4 и 3. Рис. 3.7. Пример орграфа с контуром 1 2 3 4 1 2 3 4 Второе высшее образование 31 Вершины, в которые не заходят дуги, называются начальными, из которых не выхо- дит ни одна дуга – конечными. Что такое ориентированный граф? Матрицей смежности вершин орграфа называется квадратная матрица, каждый элемент которой равен единице, если есть дуга, идущая от вершины i к вершине j. Если такой дуги нет, то элемент (ij) матрицы смежности равен нулю. При решении мно- гокомпонентных задач используют орграфы, в которых любые вершины i и j может со- единять только одна дуга. В табл. 3.2 показана матрица смежности для орграфа, пред- ставленного на рис. 3.7. В многокомпонентных задачах в качестве вершин орграфа используют показатели, а дуги показывают влияние изменения одного показателя на изменение другого. На рис. 3.8 представлен орграф, отражающий проблему состояния окружающей среды и развития крупного промышленного центра. Рис. 3.8. Знаковый орграф изучения развития промышленного центра и состояния окружающей природной среды Таблица 3.2 Показатель i Показатель j 1 2 3 4 1 0 1 1 0 2 0 0 0 1 3 0 1 0 0 4 0 0 1 0 Число пред- приятий Состояние окружающей среды Население Число рабочих мест + + + + Модуль 3 32 Дугам орграфа можно приписать знаки плюс или минус. Знак плюс ставится в том случае, если при увеличении показателя, от которого идет дуга, показатель, к которому дуга приходит, увеличивается. Знак минус ставится в противном случае. Основа многокомпонентных задач – импульсные процессы. Сущность импульс- ного процесса состоит в том, что какой-либо вершине задается определенное изме- нение. Эта вершина актуализирует всю систему показателей, поэтому ее называют активной. Таких вершин может быть несколько – обычно исследователь сам задает активные вершины. После этого можно рассчитать значения показателей во всех вер- шинах, зная начальное значение и шаг приращения. Полученные расчеты можно изобразить в виде таблицы или графика. Во всех рассматриваемых моделях контуры обеспечивают моделирование обрат- ной связи. Обратная связь может быть положительной или отрицательной. Контур, ко- торый увеличивает тенденцию отклонения от начального состояния, называют конту- ром положительной обратной связи. Контуры, которые подавляют тенденцию отклоне- ния от начального состояния, называют контурами отрицательной обратной связи. По графическому изображению можно определить положительные и отрицательные кон- туры. Если контур содержит четное число дуг со знаком минус – это контур положи- тельной обратной связи и наоборот. Наличие в модели многих контуров, усиливающих отклонение, предполагает неус- тойчивость. В то же время наличие многих контуров, противодействующих отклонению, также может приводить к неустойчивости за счет увеличения колебаний. Если колебания показателей затухают и система приходит в определенное состояние, ха- рактеризующееся определенным уровнем показателей, то данная система устойчива. В чем состоит сущность импульсного процесса? Сфера применения орграфов еще больше расширяется, если использовать не знаковые, а взвешенные орграфы. Во взвешенном орграфе каждой дуге присваи- вается не знак, а коэффициент, больший или меньший единицы со своим знаком. Особенностью многокомпонентных задач является то, что с помощью орграфов удается объединить в модели различные показатели: социальные, экологические, эко- номические. Часть этих показателей может иметь статистическую базу, часть может оцениваться качественно. Но метод позволяет оценить тенденцию развития системы. А после уточнения модели можно сформировать количественный прогноз изменения показателей системы, а также найти различные варианты воздействия на изучаемую систему с целью получения лучшего варианта. При изучении экосистем важно определить, в какие сроки система достигнет того или иного состояния. В этом случае каждой дуге следует поставить в соответствие коэффициент, определяющий влияние одного показателя на другой и задержку реали- зации изменения одного показателя в ответ на изменение другого. Если задержка равна нулю, то изменения происходят мгновенно. Если же указан определенный интер- вал времени, то изменения произойдут по его истечении. На рис. 3.9 показаны весовые коэффициенты и время задержки воздействия одного показателя на другой, выражен- ное в годах. Второе высшее образование 33 Рис. 3.9. Взвешенный орграф с временными задержками для изучения развития промышленного центра и состояния окружающей среды Чем отличается знаковый орграф от взвешенного? Какие задачи можно решать с их использованием? 3.7.1. Моделирование сетей питания и экосистемы "хищник-жертва" Моделирование систем "хищник–жертва" является основой решения разнообраз- ных эколого-экономических задач. База для построения таких моделей – разработка сетей питания. В сети питания вершины графа (обозначаемые кружками) отображают объекты моделирования; дуги (обозначаемые стрелками) проводят от хищника к жертве. На рис. 3.10 показана сеть питания для пяти участников. Рис. 3.10. Сеть питания для пяти живых организмов Задание 3.7.2. Приведите пример и постройте сеть питания для сис- темы "хищник–жертва" на основе теории графов. Птицы Лисы Зайцы Число пред- приятий Состояние окружающей среды Население Число рабочих мест + + + + l= –0,7 =1 l=+0,2 =0 l =1,2 =1 l=0,9 =0 l= –0,4 =1 l+0,3 =1 Насекомые Трава Модуль 3 34 Любой живой организм определяется некоторыми показателями, характеризую- щими нормальное для этого вида состояние окружающей среды. В качестве таких показателей можно использовать температуру, влажность, давление, пищу и т.д. Область, ограниченная определенными диапазонами изменения показателя, при которых конкретный живой организм существует, называется экологической ни- шей. Экологические ниши выделяются в экологическом фазовом пространстве, опре- деляемом набором анализируемых показателей. Никакие два вида не имеют в фазо- вом пространстве одинаковых ниш. Два вида живых организмов конкурируют в том и только в том случае, если их экологические ниши перекрываются. Если же они облада- ют достаточным сходством, то соответствующие им виды не могут существовать сов- местно. Это соображение известно под названием принципа конкурирующего исключе- ния или принципа Гаузе. Для ответа на вопрос, каков минимальный набор показателей для построения эко- логического фазового пространства, отражающего явления конкуренции, можно по- строить |