эконометрика. Московская финансовопромышленная академия Кафедра Математических методов принятия решений
 Скачать 1.01 Mb.
|
|
Тема 6. Модели временных рядов Элементы временного ряда. Идентификация структуры временного ряда. Автокорреляционная и частная автокорреляционная функции. Аддитивная и мультипликативная модели. Модели Бокса-Дженкинса. Задачи изучения темы: научиться выделять основные компоненты временного ряда, научиться определять автокорреляционную функцию временного ряда и использовать ее для исследования ряда. научиться строить мультипликативную и аддитивную модели временного ряда и использовать их для прогнозирования, получить представление о методологии исследования временных рядов Бокса-Дженкинса. Теоретический материал Компоненты уровней ряда динамики. Основная тенденция развития (тренд) ( ) – результат влияния постоянно действующих факторов. Сезонная составляющая ( ) – результат влияния периодически действующих факторов. Случайная компонента (ошибка) ( ) – результат влияния случайных факторов. Общая модель временных рядов. Уровень ряда представляет собой функцию от указанных компонент: . Виды моделей временных рядов. В зависимости от вида функции различают следующие виды моделей временных рядов: Аддитивная модель: ; Мультипликативная модель: . Каждому виду модели соответствует свои методы определения составляющих компонент. Изучение тренда. Виды трендов. Тенденция среднего уровня – детерминированная составляющая явления Тенденция дисперсии – характеризует динамику отклонений между эмпирическими уровнями и детерминированной компонентой ряда Тенденция автокорреляции – характеризует тенденцию изменения связи между отдельными уровнями ряда динамики. Этапы изучения тренда. Тестирование ряда динамики на наличие тренда Выделение тренда (выравнивание временного ряда). Проверка на наличие тренда. Метод средних: o Ряд разбивается на интервалы (обычно на два). o Проверяется гипотеза о равенстве средних: Критерий Кокса и Стюарта: o Ряд разбивают на три части o Сравнивают средние уровни крайних групп. Фазочастотный критерий знаков первой разности (Валлиса и Мура): o Вычисляют абсолютные цепные приросты o Наличие тренда утверждается, если ряд не содержит или мало содержит фазы – изменение знака абсолютных цепных приростов (первых разностей). Метод серий: o Уровни относят к двум классам в зависимости от сравнения с медианой. o Определяется число серий – последовательностей уровней одного класса. Число серий – нормально с параметрами: и , если тенденции нет. o Рассчитывается доверительный интервал с заданной вероятностью. o Тенденция считается существующей, если число серий выходит за пределы этого интервала. Методы выделения тренда. Метод укрупнения интервалов. Определяютсязначения уровней по укрупненным периодам времени Метод скользящей средней. Вычисляется последовательность значений средних уровней из определенного числа уровней ряда, начиная с первого, второго, третьего и т.д. Метод аналитического выравнивания. Определяется функциональная зависимость значений уровней ряда от времени. o Метод конечных разностей: , где , и т.д. – конечные разности. o Метод наименьших квадратов с использованием функций вида: , (в частности, ) или . Использование модели тренда для оценки случайной компоненты Колеблемость уровней около тренда служит мерой воздействия остаточных факторов. Для ее измерения используются следующие показатели Стандартная ошибка. Коэффициент вариации. Анализ сезонных колебаний. Модель сезонной волны. Модель сезонной волны – система индексов сезонности ( - число сезонов в году). Индексы сезонности. Индексы сезонности – отношения фактических внутригодовых уровней к среднему уровню. Методы определения индексов сезонности. Метод постоянной средней – в случае отсутствия тренда среднего уровня: или , . - среднее значение уровней по одноименному сезону , рассчитанное за несколько лет. Метод переменной средней – учетом основной тенденции развития среднего уровня: или , . - число лет при усреднении по одноименным сезонам, - значение переменной средней, соответствующее -му сезону в -м году. Построение моделей временных рядов. Алгоритм построения модели. Выравнивание исходного ряда методом скользящего среднего. Расчет значений сезонной компоненты S. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных ( или ). Аналитическое выравнивание уровней или и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда. Расчет полученных по модели значений или . Расчет абсолютных и/ или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, то ряд ошибок Е можно использовать в дальнейшем для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов. Использование моделей для прогнозирования. Сравнение моделей: (аддитивной, мультипликативной, модели экспоненциального сглаживания). Мультипликативная модель. Для мультипликативной модели характерна относительно высокая изменчивость частоты колебаний значений исследуемого показателя. Аддитивная модель. Автокорреляция уровней ряда и выявление его структуры Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Автокорреляция уровней ряда измеряется с помощью коэффициента автокорреляции. Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, назывется лагом. Последовательность коэффициентов автокорреляции называется автокорреляционной функцией временного ряда. Свойства автокорреляционной функции. Характеризует тесноту линейной связи, поэтому можно судить о наличии линейной тенденции, он может быть равен нулю для нелинейной тенденции. По знаку нельзя судить о направлении монотонности тенденции. График зависимости корреляционной функции от величины лага называется коррелограммой. Анализ автокорреляционной функции позволяет выделить лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями наиболее тесная, т.е. можно выявить структуру ряда. Если наиболее высоким оказался коэффициент первого порядка, то ряд содержит только тенденцию Если наиболее высоким оказался коэффициент k-го порядка, то ряд содержит циклические (сезонные) колебания с периодом k. Если ни один из коэффициентов не является значимым, то ряд либо не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру случайной компоненты, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой требуется дополнительный анализ. Поэтому автокорреляционная функция широко используется при анализе временных рядов для выявления тренда и циклических (сезонных) колебаний. Прогнозирование. Основой распространения тенденции на будущее является свойство инерционности социально-экономических явлений, состоящее в том, что закономерность развития, действующая в прошлом, сохранится и в прогнозируемом будущем, т.е. прогноз базируется на перспективной экстраполяции. Чем короче срок экстраполяции, тем более надежны и точны результаты прогнозирования. В общем виде экстраполяцию можно представить в виде функции вида: , где - прогнозируемый уровень, - текущий уровень прогнозируемого ряда, - период прогноза, - параметр уравнения тренда. Методы экстраполяции. Метод среднего абсолютного прироста – при условии стабильности абсолютных приростов: , – средний абсолютный прирост. Метод среднего темпа роста – при условии развития изучаемого явления по экспоненте: , – средний темп роста, – последний уровень ряда. Метод использования аналитического выравнивания – прогнозируемое значение получают с учетом модели тренда при . При этом в качестве интервальной оценки прогноза используют доверительный интервал в виде: , где - расчетное значение прогнозируемого уровня, - средняя квадратическая ошибка тренда, - табличное значение распределения Стьюдента при заданной доверительной вероятности . Вопросы для самопроверки Чем отличаются модели временных рядов от регрессионных моделей? Каковы основные виды моделей временных рядов? В чем состоит суть компонентного анализа временных рядов? Каков алгоритм построения аддитивной модели временного ряда? Каков алгоритм построения мультипликативной модели временного ряда? Каков алгоритм исследования тренда? Каков алгоритм исследования сезонной компоненты? Каковы методы изучения случайной компоненты? Что такое автокорреляционная функция временного ряда? Каков алгоритм определения построения автокорреляционной функции данного временного ряда? Какова суть методологии Бокса-Дженкинса? Дополнительная литература Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: Юнити, 2001. – 430 с. (глава 3). Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: ИНФРА – М, 2009. – 465 с. (Глава 3). Елисеева И.И. Эконометрика: Учебник / под. ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 344 с. (глава 6-15). Интернет-ресурсы http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/index.htm http://subscribe.ru/archive/science.humanity.econometrika/200007/17050500.html http://www.statsoft.ru/home/textbook/glossary/default.htm Дополнительная литература по дисциплине Айвазян С.А. Иванова С.С. Эконометрика. Краткий курс: учеб. пособие. – М.: Маркет ДС, 2007. – 104 с. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: Юнити, 2001. – 430 с. (глава 1, глава 2, п.2.1). Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: ИНФРА – М, 2009. – 465 с. Елисеева И.И. Эконометрика: Учебник / под. ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 344 с. Интернет-ресурсы http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/index.htm http://subscribe.ru/archive/science.humanity.econometrika/200007/17050500.html http://www.statsoft.ru/home/textbook/glossary/default.htm |