теория нечетных чисел. реферат математика. Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации
 Скачать 39.37 Kb.
|
|
Введение. Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки. Традиционные компьютерные вычисления «слишком точны» для реального мира. Человечество столкнулось с проблемами, для решения которых невозможно получить полную информацию или определение которых недостаточно полно. Казалось бы ситуация безвыходная, но благодаря развитию и совершенствованию так называемых нечетких и гибридных систем в настоящее время уже довольно обыденно воспринимаются «интеллектуальные» стиральные машины и бытовые автоматы, гиперзвуковые самолеты и самонаводящиеся ракеты и многое другое. В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Именно это делает эту тему актуальной и интересной для изучения. Смещение центра исследований нечетких систем в сторону практических приложений привело к постановке целого ряда проблем таких, как новые архитектуры компьютеров для нечетких вычислений, элементная база нечетких компьютеров и контроллеров, инструментальные средства разработки, инженерные методы расчета и разработки нечетких систем управления и многое другое. В последние 5-7 лет началось использование новых методов и моделей в промышленности. И хотя первые применения нечетких систем управления состоялись в Европе, наиболее интенсивно внедряются такие системы в Японии. Спектр приложений их широк: от управления процессом отправления и остановки поезда метрополитена, управления грузовыми лифтами и доменной печью до стиральных машин, пылесосов и СВЧ-печей. При этом нечеткие системы позволяют повысить качество продукции при уменьшении ресурсо и энергозатрат и обеспечивают более высокую устойчивость к воздействию мешающих факторов по сравнению с традиционными системами автоматического управления. Математическая теория нечетких множеств, предложенная Л.Заде более четверти века назад, позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности. Цель данной работы – изучение возможности применения нечеткой логики как инструмента для принятия решений. Предметом изучения работы является теория нечетких множеств. Объект изучения работы – методы теории нечетких множеств, применяемые для решения различных задач. Таким образом, задачи моей работы: 1) Дать теоретическое описание нечетких множеств; 2) Рассмотреть пример описания неопределенности с помощью нечеткого множества; 3) Дать описание методов принятия решений с помощью нечетких множеств; 4) Рассмотреть принятие решений на основе теории нечетких множеств на примере задач. Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. Понятие множества. Понятие множества было введено в научный оборот как часть системы математических знаний еще в 1872 году известным немецким математиком Георгом Кантором и заняло надлежащее место в общей структуре этой системы. Теория множеств не только существенно расширила возможности применения математических методов и помогла постановке и решению новых классов важных теоретических и прикладных задач, но и заставила в определенной мере пересмотреть методологические основы самой математики. Однако, по мнению некоторых математиков, понятие множества не способствовало успешному решению ни одной задачи, которая могла бы быть решена в рамках традиционной постановки. Однако с помощью теории множеств удалось формализовать, а следовательно, и обеспечить возможность решения многих задач, которые без такого представления вообще не могли даже рассматриваться как объекты классической математики. Г. Кантор определял множество "как объединение в одно целое объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью". Французские математики Р. Фор, А. Кофман и М. Дени-Папен очень кстати замечают по этому поводу, что приведенное выше определение множества, сформулированное Г. Кантором, "с самого начала исключает из рассмотрения в математике множества, объекты которых плохо "определены". Так, по их мнению, "невозможно говорить о множестве идей (в прошлом или в будущем...). Кроме того, в определении требуется, чтобы объекты множества различались между собой". Именно последнее обстоятельство играет определяющую роль, например в том, что нейтроны невозможно отличить между собой, и в реакциях столкновения нейтрона с ядром атома считается, что из ядра вылетает тот же самый нейтрон, который и столкнулся с ним в начальной фазе нейтронно-физической реакции. Вообще же значительное число интересных и важных теоретических и практических проблем, если они и не могут быть решены с помощью теории множеств, то по крайней мере, могут быть более четко сформулированы. А ведь не зря принято считать, что правильная постановка и формализация задачи почти наполовину определяет возможность успешного ее решения. Подчеркнем, что в любой абстрактной или прикладной задаче, использующей теорию множеств, описание множества требует, прежде всего, определениях характеристического свойства его элементов, в соответствии с которым они и могут быть объединены в это множество. 1.2. Множества и способы их представления. В соответствии с известным определением множества, предложенным группой французских математиков, обычно выступающих под коллективным псевдонимом Н. Бурбаки, "множество образуется из n-элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств". Будучи, по мнению Р. Фора, А. Кофмана и М. Дени-Паиена, "совершенно ясным для математиков, это предложение вызывает резкую критику со стороны логиков, которые выступают против использования антропологического понятия свойства (качества)". Тот факт, что элемент х принадлежит базовому множеству X, принято обозначать символом , то есть . Когда же элемент x не принадлежит множеству Y, этот факт обозначается формулой . Например, число 3 принадлежит множеству N натуральных чисел, то есть . В то же время число 2,7 не принадлежит этому множеству, то есть . Можно представить себе множество, в состав которого не входит ни один элемент. Наглядным его примером может служить множество двузначных чисел из интервала [1,9]. Такое множество называется пустым и обычно обозначается символом Ø. Те объекты, сущности или элементы, которые образуют данное множество, принято обозначать строчными латинскими буквами: или или одной буквой с нижним индексом: .Сами множества обычно принято обозначать прописными латинскими буквами: Если множество содержит конечное число элементов, его называют конечным, в противном случае множество называют бесконечным. Некоторая часть множества , образованная элементами, обладающими еще одним свойством, отличным от остальных его элементов, называется подмножеством множества . Итак, множество как некоторое подмножество базового множества X представляет собой совокупность таких элементов этого множества , которые объединяются наличием у них некоторого характеристического свойства. Можно также представить себе множество, в состав которого не входит ни один элемент из базового множества . Такое множество, как было показано выше, принято называть пустым и обозначать символом Ø. Перейдем теперь к вопросам о формах и способах представления множеств и о хорошо известных операциях над множествами. При этом будем считать, что множество определяет как сами элементы, так и порядок расположения элементов. В литературе обычно утверждается, что существует пять следующих основных форм представления множеств: обычное перечисление всех элементов, которые в своей совокупности и образуют соответствующее множество. Одним из наглядных примеров использования этого способа является список студентов в журнале некоторой учебной группы. словесное или математическое описание множества с помощью характеристического свойства его общего элемента. Такая форма является наиболее принятой для числовых множеств. Характеристическое свойство обычно записывается в виде определенной формулы или алгоритма, по которым осуществляется вычисление любого элемента в зависимости от его порядкового номера в множестве. Примером может служить описание множества нечетных чисел с помощью формулы , где число определяет номер элемента в этом множестве. Действительно, первым из этих чисел является единица, поскольку при его можно вычислить как . лингвистический (словесный) способ описания характеристического свойства общего элемента множества в соответствии с которым его и относят к этому множеству. Примерами могут служить следующие описания: -"множество студентов третьего курса специальности "Программное обеспечение автоматизированных систем управления"; "множество стульев, находящихся в данной аудитории; "множество чисел, делящихся без остатка на три" и т.п. графическое представление множества с помощью определенного базового множества (существуют различные варианты использования этого способа). Простейшим примером может служить график, приведенный на рис. 1, который представляет множество , содержащее квадраты чисел, являющихся элементами базового множества действительных чисел. 5) описание множества с помощью функции принадлежности элемента к данному множеству. Для иллюстрации этого способа представим некоторое универсальное множество в виде . Пусть в нем существует подмножество , которое образуют элементы универсального множества, имеющие нечетный индекс. Другими словами, В соответствии с предложенным способом описания это множество можно представить в виде всей совокупности элементов универсального множества X с соответствующим значением так называемой функции принадлежности, равной единице, если элемент принадлежит множеству , и нулю - в противном случае. Таким образом, для элементов с нечетными индексами она будет равна единице, а с четными - нулю. Тогда множество принимает вид Этот способ представления множеств может показаться не совсем обычным и даже несколько экзотическим и громоздким. Однако в реальной действительности он является достаточно удобным. Основная особенность и глубинная сущность этого способа заключается в своеобразном "маркировании" именно тех элементов, которые образуют рассматриваемое множество , означающей их принадлежность к нему. В реальной жизни также существует достаточно много подобных подходов. Например, форма, в которую одевают военных или работников милиции, предназначена для того, чтобы выделять представителей этих социальных институтов из множества всех других людей. Дальнейшим развитием этой "маркировки" выступают знаки различия, соответствующие воинским званиям, эмблемы рода войск и т.п., которые как бы выделяют отдельные подмножества из общих множеств военных или работников милиции. Именно этот способ и создает в дальнейшем удобные предпосылки для перехода к понятию нечетких множеств. 1.3. Операции над множествами. Над множествами, как и над другими математическими объектами, определяется некоторая совокупность операций. Рассмотрим основные из них. Подмножеством А некоторого универсального множества называют множество, все элементы которого принадлежат этому универсальному множеству и обладают еще каким-либо особым ограничительным свойством. Включением В в А для двух множеств из универсального множества X называют случай, когда все элементы множества В принадлежат множеству А. Употребляют также термины "В содержится в А", или "А содержит В", или "В представляет собой часть А". Для обозначения включения используют запись или Например, множество Р четных числе содержится в множестве натуральных числе N, то есть представляет собой его подмножество Объединением множеств А и В из некоторого универсального множества X называется множество из этого же универсального множества X, элементами которого являются все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих исходных множеств, то есть принадлежат множеству А или множеству В. Пусть, например, на базовом множестве заданы множества и .Тогда их объединением будет множество Пересечением множеств А и В из универсального множества X называется множество из этого же универсального множества Х элементами которого являются все элементы, принадлежащие одновременно как множеству А так и множеству В. Пусть, например, на том же базовом множестве Х что рассматривалось в предыдущем примере, то есть на заданы те же множества и . Тогда их пересечением будет множество . Таким образом, пересечение множеств А и В состоит из их общих элементов. Если общих элементов эти множества не содержат, то , и такие множества называют непересекающимися. Вполне очевидно, что и для объединения, и для пересечения множеств справедливы свойства коммутативности, то есть и ассоциативности, то есть (A B) (A B) Дополнением множества А из некоторого универсального множества X называется множество , которое образовано всеми теми элементами этого универсального множества, которые не входят в состав множества A. Возьмем универсальное множество и заданное на нем множество из предыдущих примеров. Заметим, что в этом случае можно говорить о том, что А представляет собой некоторое подмножество множества X. Тогда дополнение множества А до универсального множества X будет иметь следующий вид: . Представляется вполне очевидным, что объединением множества A на универсальном множестве X с его дополнением к этому множеству будет само универсальное множество Х, то есть . Также очевидно, что пересечением множества А на универсальном множестве X с его дополнением к этому множеству будет пустое множество, то есть . Кроме того, несложно проверить, что дополнением на множестве X к дополнению произвольного множества А будет само же это множество, то есть . Представляются вполне очевидными следующие утверждения: пустое множество Ø может рассматриваться как подмножество любого множества А, то есть любое множество А может рассматриваться как подмножество самого себя, то есть . Поскольку же одновременно A = A, то для подобных случаев вводится обозначение ⊆. Другими словами, . Основные свойства, которыми обладают операции объединения, пересечения и дополнения множеств, приведем для удобства в виде таблицы .
Отметим, что свойство идемпотентности операций объединения и пересечения множеств предопределяет возможность записывать математические и логические формулы, которые содержат знаки объединения и пересечения одинаковых множеств, без коэффициентов и показателей степени. 1.4. Диаграммы Эйлера-Венна. Для наглядного представления множеств и более глубокого понимания сущности и свойств операций над ними в теории множеств нашла широкое применение геометрическая интерпретация указанных свойств операций над множествами. Чрезвычайно удобным и простым инструментарием для этого оказались так называемые диаграммы Эйлера-Венна. Так, на рис. точки области, ограниченной квадратом, можно рассматривать как некоторое базовое, или универсальное множество X. Тогда область, ограниченная окружностью, представляет собой подмножество А этого универсального множества. Рис.2 При такой геометрической интерпретации множеств те точки квадрата, которые не принадлежат подмножеству А, то есть лежащие вне круга, в заштрихованной части квадрата, представляют собой дополнение подмножества А до универсального множества X. Здесь четко видно, что о дополнении до А можно действительно говорить только относительно некоторого универсального множества. На последующих двух рисунках приведена геометрическая интерпретация операций соответственно объединения (рис. 3) и пересечения (рис. 4) множеств А и В. рис.3 рис.4 Здесь множества, получаемые в результате указанных операций, представлены точками заштрихованных областей в поле квадрата универсального множества. Одновременно следует обратить внимание на то, что внешняя по отношению к результатам соответствующих операций, то есть незаштрихованая часть квадрата представляет собой дополнение до объединения множеств А и В на рис. 3 и дополнение до их пересечения на рис. 4. С помощью приведенных рисунков можно наглядно убедиться в том, что операции объединения и пересечения множеств действительно обладают следующими свойствами: 1) . 2) . которые известны также под названиями соответственно первой и второй теорем де Моргана. С использованием диаграмм Эйлера-Венна оказывается удобным ввести и еще две операции над множествами, результатами которых являются соответственно понятия разности множеств А и В и их дизъюнктивной суммы. Если В ⊂ А, то разностью множеств А и В называется множество С=А\В, которое состоит из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Наглядно это понятие легко представить и осознать с помощью рис. 5, на котором точки, принадлежащие разности С=А\В, представляют собой заштрихованную область. Рис.5 Использование диаграммы, приведенной на рис. 5, облегчает понимание и способа нахождения разности множеств А и В с помощью формулы С = А/В = A∩ . Дизъюнктивной суммой множеств А и В принято называть множество элементов, принадлежащих либо исключительно множеству А, либо исключительно множеству В. Эта операция обычно обозначается формулой S = А В. С помощью геометрической интерпретации этой операции путем использования диаграмм Эйлера-Венна нетрудно убедиться в том, что А В = (А∩ ) ( ∩В) = (А В)∩ Действительно, на рис. 6 вертикальная штриховка определяет область , а наклонная – область А В Рис.6 Таким образом, та часть площади квадрата, которая заштрихована двумя способами, и представляет собой область, принадлежащую дизъюнктивной сумме множеств А и В, то есть эта сумма действительно равна Отметим, что операция дизъюнктивной суммы множеств обладает многочисленными свойствами. В частности, для нее справедливы следующие соотношения: А В = В А, отражающее свойство коммутативности дизъюнктивной суммы, (А В) С = А (В С) отражающее свойство ассоциативности дизъюнктивной суммы, и А Ø = Ø А, отражающее существование нейтрального для дизъюнктивной суммы элемента, в качестве которого выступает пустое множество. Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ. 2.1. Основные понятие нечетких множеств. В описании множества обычно должен содержаться некоторый четкий критерий, который позволяет делать обоснованный вывод о принадлежности или, наоборот, о непринадлежности каждого рассматриваемого элемента х к этому множеству. Однако часто при попытках математического описания, например, сложных систем социально-экономического, политического, технико-экономического и даже иногда сугубо технического характера язык теории обычных множеств оказывается недостаточно гибким. Располагаемая информация о подобных системах чаще всего бывает сформулирована с использованием нечетких с точки зрения математики понятий естественного языка, которые невозможно или очень сложно математически формализовать с помощью аппарата обычных множеств. В качестве примера можно представить себе ситуацию, когда некоторые рабочие какого-то предприятия приобрели себе определенное количество его акций, однако продолжают работать на своих обычных рабочих местах. В этом случае при определении состава владельцев (акционеров) предприятия и его наемных работников к какой категории следует отнести указанных рабочих? Ведь с математической точки зрения они оказываются элементами, одновременно принадлежащими двум как будто бы различным множествам. Еще одна интересная и показательная ситуация складывается, когда выпускник средней школы начинает выбирать высшее учебное заведение, студентом которого он хотел бы стать. Из определенного базового их множества юноша, несомненно, сразу же исключит те, которые ему по каким-либо причинам не нравятся и не подходят, и только оставшиеся будет рассматривать в дальнейшем. Однако и из тех, что привлекают его внимание, выбрать наилучший вуз удается далеко не сразу. Действительно, в одном из них есть военная кафедра. Во второй подает заявление девушка, которая нравится этому парню. Третий вуз в свое время закончили его родители, которые, естественно, считают его наилучшим. В этих условиях задача рационального выбора вуза, в который юноша будет поступать, приобретает характер достаточно сложной проблемы. Попытки преодолеть отмеченные осложнения в подобных задачах и разработать математический аппарат для возможности формализованного описания и изучения подобных ситуаций, сложных систем и других важных для общественной практики явлений и вызвали появление и дальнейшее развитие теории нечетких множеств. Их несомненным достоинством следует считать не только возможность построения формализованных моделей в задачах, которые до этого с трудом поддавались или вообще не поддавались формализации. Использование аппарата теории нечетких множеств дало возможность получать строгие количественные оценки в задачах с нечеткими исходными условиями. В то же время сама природа нечеткости, особенно той, что обусловлена субъективностью оценок, предопределяет относительность точности и обоснованности результатов, получаемых при решении подобных задач. Однако это обстоятельство не должно считаться серьезным недостатком нечеткомножественного подхода, поскольку применение других подходов вообще не дает возможности получения обоснованного их решения. Для осознания сущности понятия нечеткого множества вспомним пятый способ представления обычных множеств с помощью, так называемой, функции принадлежности. Когда какой-либо элемент х некоторого универсального множества X принадлежит множеству А, ему в соответствие ставится значение этой функции, равное единице, а когда он не принадлежит этому множеству, ему ставится в соответствие ее значение, равное нулю. Исходя из этого, Л. Заде предложил так обобщить понимание функции принадлежности, чтобы она могла принимать не только указанные граничные значения 0 и 1, но и любые произвольные значения из интервала [0, 1], отражая возможность принадлежности какого-то элемента множеству А с некоторой степенью, меньшей единицы. Таким образом и появилось понятие нечетких множеств и начала развиваться их теория. Рассмотрим основные ее понятия и положения. С этой целью введем в рассмотрение некоторое универсальное множество X, которое будем обозначать символом , где х - его произвольный элемент. Определение 1. Нечетким множеством С на универсальном множестве X называется совокупность пар вида , где , а - функция принадлежности элемента х нечеткому множеству С, причем ∊ [0,1]. Численное значение функции для каждого конкретного элемента х определяет степень принадлежности этого элемента данному нечеткому множеству С. В качестве примера можно привести множество студентов некоторой группы третьего курса, среди которых есть и такие, кто имеет академическую задолженность за второй курс. Именно вследствие этого обстоятельства их фактическая степень принадлежности множеству студентов третьего курса является меньшей единицы, причем, чем больше задолженностей у студента, тем меньше значение функции его принадлежности этому множеству. Представляется очевидным, что одновременно этих студентов можно с некоторым значением функции принадлежности 0< <1считать также и студентами второго курса, по крайней мере до ликвидации ими имеющейся академической задолженности. Еще одним показательным примером, который достаточно наглядно объясняет сущность нечеткого множества и его природу, может служить множество моментов времени суток, которое образует день. При этом под днем можно условиться понимать светлое время суток. Здесь, во-первых, уже содержится субъективность определения, поскольку различные люди с разными мерками подходят к тому, что следует считать "светлым временем". Во-вторых, начало и окончание дня как светлого времени суток существенно зависят от погоды, поскольку в облачный день темнеет заметно раньше. В-третьих, начало и окончание дня оказываются в еще более существенной зависимости от времени года. Действительно, в июне длительность дня почти вдвое больше, чем в декабре. Оставляя несколько в стороне эти соображения, представим, что день начинается в восемь часов утра и заканчивается в восемнадцать. Покажем на рис , как этому временному интервалу соответствует постоянное значение функции принадлежности множества моментов времени, соответствующих дню, = 1, Будем считать также, что ночь начинается в двадцать часов и заканчивается в шесть часов утра. Другими словами, на временных интервалах от 0 до 6 часов и от 20 до 24 часов значение функции принадлежности множества моментов времени, соответствующих дню, . От шести же до восьми часов утра, как и от восемнадцати до двадцати часов значения функции принадлежности соответствующих моментов времени к множеству "день" будут лежать в интервале 0< Следует подчеркнуть, что такое определение имеет очевидное практическое предназначение, например, для регулирования систем автоматического управления внешним освещением улиц города, для организации работы городского транспорта и для многих других систем жизнеобеспечения города. Определение 2. Нечеткое множество 0 называется пустым, если его функция принадлежности равна нулю на всем универсальном множестве X. Иными словами, нечеткое множество будет пустым, если ни один из элементов множества X не принадлежит рассматриваемому нечеткому множеству с положительным значением ,то есть . Воспользовавшись содержательным аспектом примера из предыдущего определения, отметим, что нечеткое множество студентов рассматриваемой группы третьего курса, которые одновременно принадлежат и к числу студентов второго курса, превращается в пустое множество, когда все эти студенты ликвидируют: все свои академические долги за второй курс. Определение 3. Носителем suppA нечеткого множества А называется обычное множество, которое удовлетворяет следующим условиям: supp А= , то есть носителем нечеткого множества А является такое подмножество универсального множества X, для элементов которого значения функции принадлежности > 0 . В качестве примера рассмотрим универсальное множество X возможных значений толщины листов металлического проката в диапазоне от 9,8 до 11,2 мм. Тогда нечеткое множество А, которое соответствует нечеткому понятию "малая толщина листа", может быть представлено в следующем виде: В этом случае его носителем выступает четкое множество значений толщины листа проката в диапазоне от 9,8 до 10,7 мм, то есть suppA={9,8; 9,9;...10,7}. В качестве абстрактного примера рассмотрим нечеткое множество . В соответствии с определение, его носителем будет обычное множество supp В ={х1, х3, х4, х6, х7, х8,} Определение 4. Нечеткое множество А называется нормальным, если для его функции принадлежности выполняется следующее условие: , где . Отметим, что в отличие от четких множеств, где условием включения множества В в множество А выступала только принадлежность всех элементов В множеству А, для нечетких множеств этого недостаточно. Здесь условие включения является более строгим. В противном случае нечеткое множество А принято считать субнормальным. Определение 5. Говорят, что нечеткое множество А включает в себя нечеткое множество В, то есть или , если выполняется неравенство для любого . 2.2. Операции над нечеткими множествами. Поскольку нечеткие множества по определению представляют собой определенное обобщение понятия обычных (четких) множеств, операции над ними также могут рассматриваться как соответствующее обобщение понятий операций над обычными множествами. При этом, естественно, наиболее характерным отличием здесь выступает необходимость определения правил вычисления функции принадлежности для результата каждой конкретной операции над нечеткими множествами по заданным функциям принадлежности исходных множеств. Для того, чтобы ввести понятия операций, в дальнейшем будем рассматривать два нечетких множества А и В на универсальном множестве X с заданными соответственно их функциями принадлежности, равными соответственно и . Объединением нечетких множеств А и В на универсальном множестве X называется такое нечеткое множество , функция принадлежности которого имеет следующий вид . Замечание 1. Операцию объединения нечетких множеств нетрудно обобщить на случай произвольного числа п этих множеств Ai с функциями принадлежности . Действительно, для функция принадлежности может быть получена как . Замечание 2. Наряду с приведенным выше определением операции объединения нечетких множеств, в литературе встречается и иногда используется и другой его вариант, в соответствии с которым объединением нечетких множеств А и В на универсальном множестве X называют нечеткое множество с функцией принадлежности, правило вычисления которой имеет следующий вид: Пересечением нечетких множеств А и В на универсальном множестве X называется нечеткое множество с функцией принадлежности, которая вычисляется в соответствии со следующим правилом: . Замечание 1. Операцию пересечения нечетких множеств нетрудно обобщить на случай произвольного числа п этих множеств Ai с функциями принадлежности Действительно, для функция принадлежности может быть получена как Замечание 2. Как и для случая операции объединения двух нечетких множеств, наряду с приведенным выше определением пересечения нечетких множеств, в литературе иногда встречается и находит свое практическое применение и другой его вариант, согласно которому пересечением нечетких множеств А и В на универсальном множестве X называют такое нечеткое множество , правило вычисления функции принадлежности для которого имеет следующий вид: . Дополнением нечеткого множества А на универсальном множестве X называется нечеткое множество А с функцией принадлежности, которая вычисляется в соответствии со следующим правилом: . x Разностью нечетких множеств А и В на некотором универсальном множестве называется такое нечеткое множество С = А\В, функция принадлежности которого вычисляется в соответствии с правилом, имеющим следующий вид: Декартовым произведением нечетких множеств на множествах называется нечеткое множество А на декартовом произведении , элементами которого являются наборы , а функция их принадлежности имеет вид Смысл такого определения функции принадлежности декартова произведения нечетких множеств состоит в том, что фактическая возможность принятия решения определяется наименьшей из возможностей элементов данного набора. Например, если студент-троечник женится на девушке-отличнице, то в ситуации, к какой категории в смысле успеваемости отнести их семью, оценка будет осуществляться по более низкому значению получаемых ими баллов. И никому не придет в голову мысль считать их отличниками. Другой пример можно получить в ситуации выбора рационального варианта необходимого человеку товара, когда он в пространстве параметров "цена-качество" обычно исходит из располагаемых финансовых ресурсов. Выпуклой комбинацией нечетких множеств на множестве X называется нечеткое множество A, функция принадлежности которого имеет вид где . Понятие выпуклой комбинации нечетких множеств используется в задачах принятия решений в условиях нескольких нечетких ограничений. Следует отметить, что для обычных множеств понятие выпуклой комбинации не имеет смысла. Операции концентрирования CON и растяжения DIL нечеткого множества A определяются следующим образом: CON А= DILA = , где α >1 - коэффициент концентрации (или, соответственно, растяжения), а функции принадлежности соответствующих нечетких множеств имеют вид Cмысл состоит в том, что операция концентрирования CON А снижает степень нечеткости описания множества A, а операция растяжения DIL А повышает степень его нечеткости. В реальных задачах принятия решений применение операции концентрирования может означать, что в распоряжение эксперта или лица, принимающего решение, поступила некоторая дополнительная информация о ситуации, и эта информация позволяет частично снять имеющуюся неопределенность и дает возможность более четко описать данное нечеткое множество возможных альтернатив. Операция сжатия, напротив, используется для моделирования ситуаций связанных с потерей информации или отсутствием своевременного ее обновления, что увеличивает степень нечеткости ситуации, а, следовательно, и неопределенности принятия решения. Глава 3. Практическое применение теории нечетких множеств. Многокритериальный выбор методом максиминной свертки в сфере банковского кредитования. Рассмотрим применение метода принятия решений, основанного на теории нечетких множеств в области кредитования, позволяющего повысить обоснованность принимаемых решений и обеспечить выбор наиболее рационального варианта из множества допустимых. В рассматриваемой задаче предприятия являются альтернативами, из которых предстоит сделать выбор лучшей. Альтернативы обозначим через а1, ...,a4. Для оценки кредитоспособности предприятий-заемщиков используем данные их бухгалтерской отчетности (табл. 1). Таблица 1 Данные бухгалтерской отчетности
На основании этих данных рассчитываются финансовые коэффициенты, характеризующие кредитоспособность заемщиков: коэффициент абсолютной ликвидности (F1), промежуточный коэффициент покрытия (F2), общий коэффициент покрытия (F3), коэффициент финансовой независимости (F4) коэффициент рентабельности продукции (F5). Перечисленные коэффициенты являются критериями качества кредитоспособности предприятий и рассчитываются по следующим формулам: Рассчитанные значения критериев качества для рассматриваемых предприятий приведены в табл. 2. Там же даны нормативные значения критериев. Анализ расчетных и нормативных значений критериев показывает, что все предприятия могут претендовать на получение кредита. Таблица 2 Расчетные и нормативные значения критериев качества предприятий
Обработка полученной исходной информации с применением математического аппарата теории нечетких множеств проводится в три этапа. Этап 1. Построение функций принадлежности, соответствующих понятиям "предпочтительный коэффициент абсолютной ликвидности", "желаемый промежуточный коэффициент покрытия", "наилучший коэффициент рентабельности" и т. д. (рис. 1). Построение таких функций проводят эксперты, располагающие знаниями в области кредитования предприятий различного функционального назначения. Этап 2. Определяются конкретные значения функции принадлежности по критериям качества F1, ..., F5. На рис. 1 показаны значения функций принадлежности, соответствующие рассматриваемым альтернативам. Нечеткие множества для пяти рассматриваемых критериев, включающие четыре анализируемые альтернативы, имеют следующий вид: = 0,61/0,154 + 0,41/0,102 + 0,33/0,084 + 0,46/0,140; = 1,0/1,297 + 0,71/0,71 + 0,59/0,59 + 0,57/0,57; = 1,0/2,78 + 0,91/2,27 + 0,75/1,86 + 0,51/1,27; = 1,0/0,75 + 0,96/0,72 + 0,94/0,71 + 0,90/0,68; = 0,93/0,28 + 0,38/0,115 + 0,5/0,15 + 0,4/0,12. Этап 3. Производится свертка имеющейся информации в целях выявления лучшей альтернативы. Множество оптимальных альтернатив В определяется путем пересечения нечетких множеств, содержащих оценки альтернатив по критериям выбора. Если критерии, по которым осуществляется выбор вариантов, имеют одинаковую важность для ЛПР, то правило выбора лучшего варианта имеет вид: В = F1 F2 F3 F4 F5. Оптимальной считается альтернатива с максимальным значением функции принадлежности к множеству В. Операция пересечения нечетких множеств соответствует выбору минимального значения для j-й альтернативы: Для рассматриваемой задачи множество оптимальных альтернатив будет формироваться следующим образом: В = min { 0,61; 1,0; 1,0; 1,0; 0,93 } min { 0,41; 0,71; 0,91; 0,96; 0,38 } min { 0,33; 0,59; 0,75; 0,94; 0,50 } min { 0,46; 0,57; 0,51; 0,90; 0,40 }. Результирующий вектор приоритетов альтернатив имеет следующий вид: Таким образом, лучшей альтернативой является а1, которой соответствует значение 0,61. На втором, третьем и четвертом местах находятся соответственно а4 0,4, а2 0,38, а3 0,33. Заключение. Немногие задумываются, насколько ощутимую помощь могут оказать методы нечеткой логики в экономике. Ввиду вышеуказанных исследований можно сделать следующие выводы: Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности. Анализ нечетких методов принятия решений позволяет сформулировать требования к дальнейшим разработкам в этой области. Это развитие теоретических подходов к описанию сложных взаимоотношений между критериями, более широкое применение интеллектуальных методов на основе нечеткой логики. Методы принятия решений на нечетких моделях позволяют удобно и достаточно объективно производить оценку альтернатив по отдельным критериям. В отличие от других методов добавление новых альтернатив не изменяет порядок ранее ранжированных наборов. При оценке альтернатив по критериям возможна как лингвистическая оценка, так и оценка на основе точечных оценок с использованием функций принадлежности критериев. Список литературы. Борисов А. Н., Кроумберг О. А., Федоров И. П. Принятие решений на основе нечетких моделей: примеры использования. – Рига: Зинатве, 1990. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств/Пер, с франц. М,: Радио и связь, 1982. Орлов А.И. Основания теории нечетких множеств (обобщение аппарата Заде). Случайные толерантности. – В сб.: Алгоритмы многомерного статистического анализа и их применения. - М.: Изд-во ЦЭМИ АН СССР, 1975. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Меркурьева Г.В. и др. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. – М: Радио и связь. 1989. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981. Мелихов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. М.: Наука, 1990. Орлов А.И. Теория принятия решений. Учебное пособие / А.И.Орлов.- М.: Издательство «Экзамен», 2005. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Меркурьева Г.В. и др. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. – М: Радио и связь. 1989. Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений.- В кн.: Математика сегодня. - М.: Знание, 1974, с.5-49. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||