Лекция(Как найти обратную матрицу). Некоторые свойства операций над матрицами. Матричные выражения

• Название: Некоторые свойства операций над матрицами. Матричные выражения
• Дата: 12.10.2021
• Размер: 150.08 Kb.
• Имя файла: Лекция(Как найти обратную матрицу).docx
• Тип: Решение; #246010

Некоторые свойства операций над матрицами.
Матричные выражения

Вернёмся к действиям с матрицами. Можно ли к матрице прибавить число?

Например:  . Ну, или наоборот:  Нет. К матрице можно прибавить только другую матрицу, причём точно такого же размера.

Матрицу можно умножить на число. Но сложить их нельзя. Следует отметить, что допустимо сложение определителя матрицы с числом:

Результат вычисления определителя – число (справедливо и для разности).

Как возвести матрицу в квадрат? Операция определена только для квадратных матриц – «два на два», «три на три» и т.д.

Возвести квадратную матрицу   в квадрат – это значит, умножить её саму на себя:


Пример 1

Возвести в квадрат матрицу 

Решение:

– последовательно (слева направо) перебираем столбцывторой матрицы и «пристраиваем» их к каждой строке первой матрицы.

Ответ: 

Немного о некоммутативности матричного умножения и единичной матрице

Коммутативность = Перестановочность.

Обычные числа переставлять можно , а матрицы в общем случае не перестановочны: . Рассмотрим некоторые исключения из правила, которые потребуются для выполнения практических задач.

Справедливо следующее свойство: если произвольную матрицу умножить слева или справа на единичную матрицу подходящих размеров, то в результате получится исходная матрица:

Коммутативность числового множителя относительно умножения матриц

Для матриц и действительного числа справедливо следующее свойство:


То есть числовой множитель можно (и нужно) вынести вперёд. Правило остаётся справедливым, если перемножаются три либо большее количество матриц.

Пример 2 Вычислить произведение

Решение:


(1) Согласно свойству перемещаем числовой множитель вперёд. Сами матрицы переставлять нельзя!

(2) – (3) Выполняем матричное умножение.

(4) Здесь можно поделить каждое число 10, но тогда среди элементов матрицы появятся десятичные дроби, что не есть хорошо. Однако замечаем, что все числа матрицы делятся на 5, поэтому умножаем каждый элемент на .

Окончательный ответ лучше оставить в виде , хотя, в принципе, годится и внесение дроби: . Ответ: 

Как умножить три матрицы?

Произведение трёх матриц можно вычислить двумя способами:

1) найти , а затем домножить на матрицу «цэ»: ;

2) либо сначала найти , потом выполнить умножение .

Результаты обязательно совпадут, и в теории данное свойство называют ассоциативностью матричного умножения:

Пример 3 Перемножить матрицы двумя способами

Алгоритм решения двухшаговый: находим произведение двух матриц, затем снова находим произведение двух матриц.

1) Используем формулу . Действие первое:


Действие второе:


2) Используем формулу . Действие первое:


Действие второе:


Ответ:

Как возвести матрицу в куб и более высокие степени?

Данные операции также определены только для квадратных матриц. Чтобы возвести квадратную матрицу в куб, нужно вычислить произведение:

Фактически это частный случай умножения трёх матриц, по свойству ассоциативности матричного умножения: . А матрица, умноженная сама на себя – это квадрат матрицы: Таким образом, получаем рабочую формулу:

Пример 4 Возвести матрицу в куб.

Решение: Сначала возведём матрицу в квадрат:

Возведём матрицу в куб:

Возведём матрицу в четвёртую степень двумя способами:


Ответ:

Матричные выражения

Рассмотрим матричное выражение , где – некоторые матрицы. В данном матричном выражении три слагаемых и операции сложения/вычитания выполняются в последнюю очередь.

В первом слагаемом сначала нужно транспонировать матрицу «бэ»: , потом выполнить умножение и внести «двойку» в полученную матрицу. Операция транспонирования имеет более высокий приоритет, чем умножение. Скобки, как и в числовых выражениях, меняют порядок действий: – тут сначала выполняется умножение , потом полученная матрица транспонируется и умножается на 2.

Во втором слагаемом в первую очередь выполняется матричное умножение , и обратная матрица находится уже от произведения. Если скобки убрать: , то сначала необходимо найти обратную матрицу , а затем перемножить матрицы: . Нахождение обратной матрицы также имеет приоритет перед умножением.

С третьим слагаемым всё очевидно: возводим матрицу в куб и вносим «пятёрку» в полученную матрицу.

Если матричное выражение имеет смысл, то результат его вычисления является матрицей.

Пример 5 Вычислить значение матричного многочлена , если . Решение:
1)
2)
3)
4)
5) Ответ:
Примечание: выражение можно было вычислить и по-другому – предварительно раскрыть скобки:

Как найти обратную матрицу?

Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: . С матрицами всё похоже! Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице, которая является матричным аналогом числовой единицы. Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители. Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними.

Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
с помощью алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований.

Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу  можно найти по следующей формуле: , где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения: обратная матрица обозначается надстрочным индексом

Пример 6: Найти обратную матрицу для матрицы  Решаем.

1) Сначала находим определитель матрицы.

Если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

В рассматриваемом примере , а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров . Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае  . Возвращаемся к нашей матрице
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:
Как найти его минор? А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:
Рассматриваем следующий элемент матрицы  : Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент: То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений . Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел: – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ. Вспоминаем нашу формулу Таким образом, обратная матрица: . Как проверить решение?

Необходимо выполнить матричное умножение либо

Проверка:

Получена единичная матрица– это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Пример7:

Найти обратную матрицу для матрицы

Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

1) Находим определитель матрицы.


Здесь определитель раскрыт по первой строке. – обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров . Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел. Рассмотрим несколько миноров:

Рассмотрим следующий элемент матрицы: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»
Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить:
минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

необходимо вычислить девять определителей «два на два». Найдем еще один минор в картинках:
Остальные миноры вычислить самостоятельно.

Окончательный результат: решаем самостоятельно– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов:
В данном случае: – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений  .

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ:



Проверка: