Лекция № 12, математика Выражения, уравнения, неравенства. Выражения. Уравнения. Неравенства
 Скачать 110 Kb.
|
|
Лекция № 12 по математике Тема: «Выражения. Уравнения. Неравенства» План: 1. Введение 2. Выражения и их тождественные преобразования 3. Числовые равенства и неравенства 4. Уравнения с одной переменной 5. Неравенства с одной переменной 1.Введение Наряду с изучением операций и их свойств в алгебре изучают такие понятия, как выражение, уравнение, неравенство. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальном курсе математики. Вводятся они, как правило, без строгих определений, чаще всего остенсивно, что требует от учителя не только большой аккуратности в употреблении терминов, обозначающих эти понятия, но и знания ряда их свойств. Поэтому главная задача, которую мы ставим, приступая к изучению материала данного параграфа, - это уточнить и углубить знания о выражениях (числовых и с переменными), числовых равенствах и числовых неравенствах, уравнениях и неравенствах. Изучение данных понятий связано с использованием математического языка, он относится к искусственным языкам, которые создаются и развиваются вместе с той или иной наукой. Как и любой другой, математический язык имеет свой алфавит. В нашем курсе он будет представлен частично в связи с необходимостью больше внимания уделить взаимосвязи алгебры с арифметикой. В этот алфавит входят: 1) цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; с их помощью по специальным правилам записываются числа; 2) знаки операций +, -, ∙, : ; 3) знаки отношений <, >, = ,  ;4) строчные буквы латинского алфавита, их применяют для обозначения чисел; 5) скобки (круглые, фигурные и др.), их называют техническими знаками. Используя этот алфавит, в алгебре образуют слова, называя их выражениями, а из слов получаются предложения - числовые равенства, числовые неравенства, уравнения, неравенства с переменными. 2. Выражения и их тождественные преобразования Как известно, записи 3 + 7, 24:8, 3∙2-4, (25 + 3) ∙2-17 называются числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Если выполнить все действия, укачанные в выражении, получим число, которое называется значением числового выражения. Так, значение числового выражения 3∙2-4 равно 2. Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла. Например, выражение 8: (4 - 4) смысла не имеет, поскольку его значение найти нельзя: 4 - 4 = 0, а деление на нуль невозможно. Не имеет смысла и выражение 7-9, если рассматривать его на множестве натуральных чисел, так как на этом множестве значения выражения 7-9 найти нельзя. Рассмотрим запись 1а + 3. Она образована из чисел, знаков действий и буквы а. Если вместо а подставлять числа, то будут получаться различные числовые выражения: если а=7, то 2∙7 + 3; если а = 0, то 2∙0 + 3; если а = - 4, то 2∙ (-4) + 3. В записи 1а + 3 такая буква а называется переменной, а сама запись 2а + 3 - выражением с переменной. Переменную в математике, как правило, обозначают любой строчной буквой латинского алфавита. В начальной школе для обозначения переменной кроме букв используются другие знаки, например . Тогда запись выражения с переменной имеет вид: 2∙+ 3. Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения. Например, область определения выражения 5:(х-7) состоит из всех действительных чисел, кроме числа 7, так как при х - 7 выражение 5: (7 - 7) смысла не имеет. В математике рассматривают выражения, содержащие одну, две и больше переменных. Например, 2а + 3 - это выражение с одной переменной, а(3х+8y) ∙z - это выражение с тремя переменными. Чтобы из выражения с тремя переменными получить числовое выражение, надо вместо каждой переменной подставить числа, принадлежащие области определения выражения. Итак, мы выяснили, как образуются из алфавита математического языка числовые выражения и выражения с переменными. Если провести аналогию с русским языком, то выражения - это слова математического языка. Но используя алфавит математического языка, можно образовать и такие, например, записи: (3 + 2)) - 12 или 3х - у:+)8, которые нельзя назвать ни числовым выражением, ни выражением с переменной. Эти примеры свидетельствуют о том, что описание - из каких законов алфавита математического языка образуются выражения числовые и с переменными, не является определением этих понятий. Дадим определение числового выражения (выражение с переменными определяется аналогично). Определение. Если f и g - числовые выражения, то (f)+(g), (f)-(g), (f)∙(g) (f):(g) числовые выражения. Считают, что каждое число является числовым выражением. Если точно следовать этому определению, то пришлось бы писать слишком много скобок, например, (7) + (5) или (6) : (2). Для сокращения записи условились не писать скобки, если несколько выражений складываются или вычитаются, причем эти операции выполняются слева направо. Точно так же не пишут скобок и тогда, когда перемножаются или делятся несколько чисел, причем эти операции выполняются по порядку слева направо. Например, пишут так: 37-12 + 62-17+13 или 120:15 ∙ 7:12. Кроме того, условились сначала выполнять действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание). Поэтому выражение (12 ∙ 4:3)+ (5 ∙ 8:2 ∙ 7) записывают так: 12 ∙ 4:3 + 5 ∙ 8 : 2 ∙ 7. Задача. Найти значение выражения 3х(х-2) + 4(х-2) при х = 6. Решение. 1 способ. Подставим число 6 вместо переменной в данное выражение: 3 ∙ 6 ∙ (6-2) + 4 ∙ (6-2). Чтобы найти значение полученного числового выражения, выполним все указанные действия: 3 ∙ 6 ∙ (6-2) + 4 ∙ (6-2)= 18 ∙ 4 + 4 ∙ 4 = 72+ 16 = 88. Следовательно, при х = 6 значение выражения 3x(x-2)+4(x-2) равно 88. 2 способ. Прежде чем подставлять число 6 в данное выражение, упростим его: 3х(х-2) + 4(х-2) = (x-2)(3x+4). И затем, подставив в полученное выражение вместо х число 6, выполним действия: (6-2) ∙ (3 ∙ 6 + 4) = 4 ∙ (18 + 4) = 4 ∙ 22 = 88. Обратим внимание на следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение заменяли другим. Например, выражение 18 ∙ 4+4 ∙ 4 заменяли выражением 72+16, а выражение 3х(х-2) + 4(х-2) - выражением (х - 2)(3х + 4), причем эти замены привели к одному и тому же результату. В математике, описывая решение данной задачи, говорят, что мы выполняли тождественные преобразования выражений. Определение. Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны. Примером тождественно равных выражений могут служить выражения 5(х+ 2) и 5х + 10, поскольку при любых действительных значениях х их значения равны. Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве. Например 5(х + 2) = 5х + 10 - тождество на множестве действительных чисел, потому что для всех действительных чисел значения выражения 5(х + 2) и 5х + 10 совпадают. Используя обозначение квантора общности, это тождество можно записать так: (  x R) 5(x + 2) = 5х + 10. Тождествами считают и верные числовые равенства.Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве. Так, заменив выражение 5(х + 2) на тождественно равное ему выражение 5х + 10, мы выполнили тождественное преобразование первого выражения. Но как, имея два выражения узнать, являются ли они тождественно равными или не являются? Находить соответствующие значения выражений, подставляя конкретные числа вместо переменных? Долго и не всегда возможно. Но тогда каковы те правила, которыми надо руководствоваться, выполняя тождественные преобразования выражений? Этих правил много, среди них - свойства алгебраических операций, определения понятий. Приведем пример тождественных преобразований выражения. Задача. Разложить на множители выражение ax-bx+ab-b2. Решение. Сгруппируем члены данного выражения по два (первый со вторым, третий с четвертым): ax-bx+ab-b2 = (ax-bx)+(ab-b2). Это преобразование возможно на основании свойства ассоциативности сложения действительных чисел. Вынесем в полученном выражении из каждой скобки общий множитель: (ax-bx) + (ab-b2) = x(a-b) + b(a-b)- это преобразование возможно на основании свойства дистрибутивности умножения относительно вычитания действительных чисел. В полученном выражении слагаемые имеют общий множитель, вынесем его за скобки: x(a-b)+b(a-b) = (a-b)(x-b). Основой выполненного преобразования является свойство дистрибутивности умножения относительно сложения. Итак, ax-bx+ab-b2 = (a-b)(x-b). В начальном курсе математики выполняют, как правило, только тождественные преобразования числовых выражений. Теоретической основой таких преобразований являются свойства сложения и умножения, различные правила: прибавления суммы к числу, числа к сумме, вычитания числа из суммы и др. Например, чтобы найти произведение 35-4, надо выполнить преобразования: 35-4 = (30 + 5)4 = 30-4+5-4 = 120 + 20 = 140. В основе выполненных преобразований лежит свойство дистрибутивности умножения относительно сложения; принцип записи чисел в десятичной системе счисления (35 = 30 + 5); правила умножения и сложения натуральных чисел. 3. Числовые равенства и неравенства Пусть f и g - два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим предложение f = g, которое называют числовым равенством. Возьмем, например, числовые выражения 3 + 2 и 6 - 1 и соединим их знаком равенства 3 + 2 = 6-1. Оно истинное. Если же соединить знаком равенства 3 + 2 и 7 - 3, то получим ложное числовое равенство 3 + 2 = 7-3. Таким образом, с логической точки зрения числовое равенство - это высказывание, истинное или ложное. Числовое равенство истинно, если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают. Напомним некоторые свойства истинных числовых равенств. 1. Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство. 2. Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство. Пусть f и g- два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или «<»). Получим предложение f > g (или f < g), которое называют числовым неравенством. Например, если соединить выражение 6 + 2 и 13-7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13-7. Если соединить те же выражения знаком «<», получим ложное числовое неравенство 6 + 2 < 13-7. Таким образом, с логической точки зрения числовое неравенство - это высказывание, истинное или ложное. Числовые неравенства обладают рядом свойств. Рассмотрим некоторые. 1. Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство. 2. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и положительное значение, то получим также истинное числовое неравенство. 3. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и отрицательное значение, а также поменяем знак неравенства на противоположный, то получим также истинное числовое неравенство. 4. Уравнения с одной переменной Возьмем два выражения с переменной: 4х и 5х + 2. Соединив их знаком равенства, получим предложение 4х = 5х + 2. Оно содержит переменную и при подстановке значений переменной обращается в высказывание. Например, при х = -2 предложение 4х = 5х + 2 обращается в истинное числовое равенство 4 ∙ (-2) = 5 ∙ (-2) + 2, а при х = 1 - в ложное 4 ∙ 1 =5 ∙ 1+2. Поэтому предложение 4х = 5х + 2 есть высказывательная форма. Ее называют уравнением с одной переменной. В общем виде уравнение с одной переменной можно определить так: Определение. Пусть f(x) и g(x) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказывательная форма видa f(x) = g(x) называется уравнением с одной переменной. Значение переменной х из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенства, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение - это значит найти множество его корней. Так, корнем уравнения 4х = 5х + 2, если рассматривать его на множестве R действительных чисел, является число -2. Других корней это уравнение не имеет. Значит множество его корней есть {-2}. Пусть на множестве действительных чисел задано уравнение (х - 1)(х + 2) = 0. Оно имеет два корня - числа 1 и -2. Следовательно, множество корней данного уравнения таково: {-2, -1}. Уравнение (3х+1) ∙ 2 = 6х + 2, заданное на множестве действительных чисел, обращается в истинное числовое равенство при всех действительных значениях переменной х: если раскрыть скобки в левой части, то получим 6х + 2 = = 6х + 2. В этом случае говорят, что его корнем является любое действительное число, а множеством корней множество всех действительных чисел. Уравнение (3х + 1) ∙ 2 = 6х + 1, заданное на множестве действительных чисел, не обращается в истинное числовое равенство ни при одном действительном значении х: после раскрытия скобок в левой части получаем, что 6х + 2 = 6х + 1, что невозможно ни при одном х. В этом случае говорят, что данное уравнение не имеет корней и что множество его корней пусто. Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными. Определение. Два уравнения f1(x) = g1(x) и f2(x) = g2(x) называются равносильными, если множества их корней совпадают. Например, уравнения х2- 9 = 0 и (2х + 6)(х- 3) = 0 равносильны, так как оба имеют своими корнями числа 3 и -3. Равносильны и уравнения (3х + 1) ∙ 2 = 6х + 1 и х2 + 1 = 0, так как оба не имеют корней, т.е. множества их корней совпадают. Выясним теперь, какие преобразования позволяют получать равносильные уравнения. Теорема 1. Пусть уравнение f (х) =g(x) задано на множестве и h(x)- выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнения f(x)=g(x) (1) и f(x) +h(x) = g(x) +h(x) (2) равносильны. Доказательство. Обозначим через Т1- множество решений уравнения (1), а через Т2- множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т1 = Т2. Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т1 является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Т2 является корнем уравнения (1). Пусть число а- корень уравнения (1). Тогда а Т1 и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f(a) =g(a), а выражение h(x) обращает в числовое выражение h(a), имеющие смысл на множестве X. Прибавим к обеим частям истинного равенства f(a) =g(a) числовое выражение h(a). Получим, согласно свойствам истинных числовых равенств, истинное числовое равенство f(a) + h(a) = g(a) + h(a), которое свидетельствует о том, что число а является корнем уравнения (2).Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е. Т1  Т2.Пусть теперь а - корень уравнения (2). Тогда а Т2, и при подстановке в уравнение (2) обращает его в истинное числовое равенство f(a) + h(a) =g(a) + h(a). Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выражение –h(a). Получим истинное числовое равенство f (а) = g(a), которое свидетельствует о том, что число а - корень уравнения (1).Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1), т.е. Т2 Т1.Так как Т1 Т2 и Т2 Т1, то по определению равных множеств T1=Т2, а значит, уравнения (1) и (2) равносильны.Доказанную теорему можно сформулировать иначе: если к обеим частям уравнения с областью определения X прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному. Из этой теоремы вытекают следствия, которые используются при решении уравнений: 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному. 2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному. Теорема 2. Пусть уравнение f (х) =g(x) задано на множестве X и h(x)- выражение, которое определено на том же множестве и не обращается в нуль ни при каких значениях х из множества X. Тогда уравнение f(x) =g(x) и f(x) ∙h(x)= g(x) ∙h(x) равносильны. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. Теорему 2 можно сформулировать иначе: если обе части уравнения с областью определения X умножить на одно и то же выражение, которое определено на том же множестве и не обращается на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному. Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то лее число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному. Решим уравнение  , х R, и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.
Так как все преобразования, которые мы выполняли, решая данное уравнение, были равносильными, то можно утверждать, что 2 - корень этого уравнения. Если же в процессе решения уравнения не выполняются условия теорем 1 и 2, то может произойти потеря корней или могут появиться посторонние корни. Поэтому важно, осуществляя преобразования уравнения с целью получения более простого, следить за тем, чтобы они приводили к уравнению, равносильному данному. Рассмотрим, например, уравнение х(х - 1) = 2х, х R. Разделим обе части на х, получим уравнение х - 1 = 2, откуда х = 3, т.е. данное уравнение имеет единственный корень - число 3. Но верно ли это? Нетрудно видеть, что если в данное уравнение вместо переменной х подставить 0, оно обратится в истинное числовое равенство 0 ∙ (0 - 1) = 2 ∙0. А это означает, что 0 - корень данного уравнения, который мы потеряли, выполняя преобразования. Проанализируем их. Первое, что мы сделали, - это разделили обе части уравнения на х, т.е. умножили на выражение  , но при х - 0 оно не имеет смысла. Следовательно, мы не выполнили условие теоремы 2, что и привело к потере корня.Чтобы убедиться в том, что множество корней данного уравнения состоит из двух чисел 0 и 3, приведем другое его решение. Перенесем выражение 2х из правой части в левую: х(х -1)-2х = 0. Вынесем в левой части уравнения за скобки л: и приведем подобные члены: х(х - 3) = 0. Произведение двух множителей равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы один из них равен нулю, поэтому х = 0 или х - 3 = 0. Отсюда получаем, что корни данного уравнения - 0 и 3. В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и результатами действий. Например, решение уравнения (х ∙9):24 = 3 обосновывается следующим образом. Так как неизвестное находится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное: х ∙9 = 24 ∙3, или х ∙9 =72. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х =72:9, или х = 8. следовательно, корнем данного уравнения является число 8. 5. Неравенства с одной переменной Предложения 2х + 1 > 10-х, х2 + 7x<2, (x + 2)(2x-3) > 0 называют неравенствами с одной переменной. В общем виде это понятие определяют так: Определение. Пусть f(x) и g(x) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f (х) >g(x) или f(x) Значение переменной х из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство - это значит найти множество его решений. Так, решением неравенства 2х + 7 > 10 -х, х R, является число х = 5, так как 2∙5 + 7 > 10 - 5 - истинное числовое неравенство. А множество его решений - это промежуток (1, ∞), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2х+ 7> 10-х => 3х>3 => х>1.В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности. Определение. Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны. Например, неравенства 2х + 7> 10 и 2х>3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток (  , ∞).Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств. Теорема 3. Пусть неравенство f(x) >g(x) задано на множестве X и h(x) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f (х) > g(x) и f(x) + h(x) = g(x) + h(x) равносильны на множестве X. Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств: 1) Если к обеим частям неравенства f(x) > g(x) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(x) + d > g(x) + d, равносильное исходному. 2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному. Теорема 4. Пусть неравенство f (х) > g(x) задано на множестве X и h(x) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества X выражение h(x) принимает положительные значения. Тогда неравенства f (х) > g(x) и f(x) ∙h(x) > g(x) ∙h(x) равносильны на множестве X. Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (х) > g(x) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство f(x)-d> g(x) ∙d, равносильное данному. Теорема 5. Пусть неравенство f (х) > g(x) задано на множестве X и h(x)- выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h(x) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f (х) > g(x) и f(x) ∙h(x) < g(x) ∙h(x) равносильны на множестве X. Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(x) > g(x) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(x) ∙d < g(x) ∙d, равносильное данному. Решим неравенство 5x-5<2x-16, x R, и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.
Решением неравенства х < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5х- 5 < 2х + 16 является промежуток (-∞, 7). |
