Случайные величины. Неубывающая функция
 Скачать 367.86 Kb.
|
|
Случайные величины Случайные величины (св) – численное значение, появляющееся в результате опыта, и принимающее произвольное значение из заранее определенного множества. Существует два типа случайных величин дискретные и непрерывные. Дискретные случайные величины принимают в результате испытания одно из изолированного дискретного множества значений. Примеры дискретных случайных величин оценка, полученная на экзамене, число попаданий в мишень в серии из 10 выстрелов и т. п. Функция, связывающая значения дискретной случайной величины сих вероятностями, называется ее распределением законом распределения. Обычно закон распределения записывается в виде таблицы вида Х x 1 x 2 … x n … Р p 1 p 2 … p n … Пример Пусть Х – число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта св. распределена по закону Х 1 2 3 4 5 6 Р 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Непрерывные случайные величины в результате испытания могут принимать любые значения из некоторого интервала. Примеры непрерывных случайных величин спортивный результат в беге или прыжках, рост и масса тела человека, сила мышц и др. Функция распределения Рассмотрим вероятность того, что случайная величина X окажется меньше или равной некоторому заданному числу х, те) Свойства функции распределения совпадает со свойствами эмпирической функции распределения (см. 2.3.4) 1. F(x) неубывающая функция. 2. 3. Плотность распределения вероятностей Для непрерывных случайных величин вводится понятие плотность распределения вероятностей, или "плотность вероятностей, играющее исключительно важную роль при их описании. Плотность вероятностей — это производная от функции распределения непрерывной случайной величины, те. Числовые характеристики случайных величин Распределение случайной величины, заданное в виде функции распределения или плотности вероятностей, полностью ее характеризует. Однако такая исчерпывающая характеристика случайной величины сложна и далеко не всегда необходима. Для решения многих практических задач ненужно знать распределение случайной величины, а достаточно иметь лишь некоторые обобщающие числовые характеристики этого распределения. Пусть имеется дискретная случайная величина X с возможными значениями и вероятностями этих значений Выборочное среднее арифметическое Математическое ожидание обозначает как M(X). Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме всех ее возможных значений, умноженных на вероятности этих значений Для непрерывных случайных величин математическое ожидание определяется с помощью плотности вероятностей по формуле Свойства математического ожидания 1. M(C)=C, 2. M(CX)=CM(X). 3. M(X+Y)= M(X)+M(Y), 4. M(X×Y)= M(X)M(Y), если X и Y – независимые C.B. 3. Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания (сравните с определением п. 3.4.2). Дисперсия обозначается как Х, или Для дискретных случайных величин Для непрерывных случайных величин 4. Положительный корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим (стандартным) отклонением случайной величины. Эта величина обозначается, как Свойства дисперсии 1. D(C)=0, 2. D(CX)= C 2 D(X). 3. D(X+Y)= если X и Y – независимые св. Биномиальное распределение. Пусть вероятность некоторого события А равна Р(А), тогда вероятность события противоположного q=1-P(A). Пусть испытание проводится n раз. Биномиальный закон позволяет рассчитать вероятность того, что среди n испытаний событие А произойдет m раз. Задача Лечение заболевания приводит к выздоровлению в 80%. Лечилось пятеро животных. Каковы вероятности того, что 1. выздоровят все пятеро, 2. выздоровят четверо, 3. не выздоровит ни один, Дано Р(А)=0.8 n=5 m 1= 5 m 2= 4 m 3= 0 P 5,5 =? P 5,4 =? P 5,0 =? Решение Применяют биномиальный закон распределения. m n m m n n m m n A P A P C P m m n n n n C )) ( 1 )( ( ! ) 1 )...( 2 )( 1 ( , 1. Рассчитывают число сочетаний С 5 = 1 5 4 3 2 1 1 2 3 Находят вероятность того, что выздоровят все пятеро животных P 5,5 =1 0.8 5 (1-0.8) 0 =0.8 5 =0.327 2. Рассчитывают число сочетаний С 4 = 5 4 3 2 1 2 3 Находят вероятность того, что выздоровят четверо животных P 5,4 =5 0.8 4 (1-0.8) 1 =5 0.8 4 0.2 =0.409 3. Рассчитывают число сочетаний С 0 =1 Находят вероятность того, что не выздоровит ни одно животное P 5,0 =1 0.8 0 (1-0.8) 5 =0.2 5 =3.19 10 -4 Ответ P 5,5 =0.327; P 5,4 =0.409; P 5,0 = 3.19 10 -4 Распределение Пуассона. Когда вероятностьсобытия очень мала (Р) и исчисляется сотыми и тысячными долями единицы, то для описания такого рода распределений редких событий служит формула Пуассона. Закон Пуассона позволяет рассчитать вероятность того, что при n испытаниях нужное нам событие выпадает m раз. Где =n p -ожидаемое среднее значение частота ожидаемого события в n независимых испытаний e=2,7183 -основание натуральных логарифмов факториал или произведение натуральных чисел m!= 1 2 3 4...m. Задача Предположим, что редкое заболевание встречается у 0.02% большой популяции. Из популяции производят случайную выборку в 10000 человек, которых проверяют на это заболевание. Каково ожидаемое число людей с заболеванием в этой выборке Какова вероятность, что заболевание окажется у трёх человек Дано Р n=10000 m=3 =? Р Решение Так как вероятность очень мала (Р, применяем закон Пуассона , ! ! ) ( m m P m m m n 1. Рассчитаем ожидаемое количество больных в данной выборке =n P =10000 0.0002=2 2. Найдём вероятность того, что в этой выборке окажется трое больных. Р 0 3 2 1 7 2 8 ! 3 2 2 Ответ =2; Р Нормальный закон распределения. Для непрерывной случайной величины функция плотности вероятности рассчитывается по формуле 2 2 2 ) ( 2 График нормального распределения непрерывной случайной величины имеет вида Вероятность того, что случайная величина лежит в интервале от до численно равнаплощади фигуры, заключенной между осью абсцисс и кривой, отвечающей нормальному закону. С помощью методов интегрального исчисления можно вычислить эту площадь. Площадь фигуры равна определенному интегралу от до от функции плотности вероятности. Тогда, вероятность того, что случайная величина лежит в интервале от до можно определить по формуле dx 2 1 ) ( 2 Вычисления упрощаются, если определенный интеграл от до от функции плотности вероятности представить как разность двух F функций, те Значения функций определяются по таблице №1 (Значения интеграла вероятностей для разных значений t). Задача Систолическое давление у женщин, страдающих гипертонической болезнью, имеет, согласно оценкам, среднее 158 мм. рт.ст. и стандартное отклонение 15 мм. рт.ст. В предположении, что систолическое давление является нормальной случайной величиной, оцените вероятность того, что давление находится между 141 и 177 мм.рт.ст. Какое количество женщин из 1000 имеет давление в этом интервале ? Решение Дано X 158 мм.рт.ст =141 мм.рт.ст =177 мм.рт.ст n=1000 =15 мм.рт.ст Р X 177)=? Строят график нормального закона. f(x) * * * * * * x i 113 128 143 158 173 188 203 1. Вероятность того, что случайная величина находится в интервале от 141 до 177мм.рт. ст. находят по формуле Р x 177)=F ( 15 158 177 ) – F( 15 158 141 )=F(1.27)+F(1.13)=0.3980+0.3708=0.7688 2. Чтобы найти, какое количество женщин имеет давление в этом интервале, используют формулу Риз которой находят m=n P m=1000 0.7688=768.8 769 Ответ Р m=769 |