многочлены. Курсовая яна. Нод и нок многочленов

• Название: Нод и нок многочленов
• Анкор: многочлены
• Дата: 03.04.2023
• Размер: 96.48 Kb.
• Имя файла: Курсовая яна.docx
• Тип: Курсовая; #1034849
• страница: 4 из 7

2.2 Наименьшее общее кратное

Пусть даны многочлены и над полем .

Определение 1. Многочлен называется общим кратным многочленов и , если и .

Определение 2. Наибольшим общим кратным (НОК) многочленов и называется такое их общее кратное, на которое делится любое общее кратное этих многочленов.

Замечание. Наибольшим общим кратным (НОК) многочленов и обозначается НОК ( , ) или НОК или .

Теорема 1. НОК многочленов и вычисляется по формуле:

(1.6)

Таким образом, НОК двух многочленов есть частное от деления произведения этих многочленов на их НОД.

Доказательство. Пусть НОД многочленов , тогда и . Поставим в формулу 1.6 вместо его значение, получим:



Следовательно, .

В равенстве 1.6 подставим вместо его значение, получим:



Следовательно, .

Итак, многочлен является общим кратным многочленов и . Пусть есть наименьшее общее кратное многочленов и . Требуется доказать, что . Так как – общее кратное и , то и . Пусть и . Будем иметь, что . Делим обе части последнего равенства на и получаем:



Многочлены и делятся на свой НОД , в частном получим взаимно простые многочлены и . Многочлен будет делиться на . Подставляя значение в равенство , будем иметь:



Итак, любое любое общее кратное многочленов и ) делится на ). Следовательно, ) есть НОК многочленов и ). Теорема доказана. [1,2,11]

Пример 1. Найти НОК многочленов.



Решение:

1. 
   Найдем НОД
   

А) . Получаем, что ;

Б) . Получаем, что ;

Итак, НОД .

2. 
   
   
3. 
   
   

По схеме Горнера



Ответ: .