Контрольная работа 2. Нормальное распределение
 Скачать 96.5 Kb.
|
|
Шарафудинов Игорь Андреевич гр. з-421П8-3 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2 Вариант №15 Задача 1. Тема: «Нормальное распределение». Еженедельный выпуск продукции на заводе приблизительно распределен по нормальному закону со средним значением, равным 134786 ед. продукции в неделю, и стандартным отклонением 13000 ед. Найдите вероятность того, что еженедельный выпуск продукции отклонится от среднего не больше чем на 15000 ед. в данную неделю. Решение. Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превзойдет некоторого положительного числа δ, то есть |X- a| < δ, определяется так: Ответ: 0.754 Задача 2. Тема: «Интервальные оценки». Коммерческий банк, изучая возможности предоставления долгосрочных кредитов населению, опрашивает своих клиентов для определения среднего размера такого кредита. Из 9706 клиентов банка опрошено 1000 человек. Среднее значение необходимого клиенту кредита в выборке составило 6750 у.е. со стандартным отклонением 1460 у.е. Найдите границы 95%-ого доверительного интервала для оценки неизвестного среднего значения кредита в генеральной совокупности. Решение. Доверительный интервал для генерального среднего. Поскольку n>30, то определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа. В этом случае 2Ф(tkp) = γ Ф(tkp) = γ/2 = 0.95/2 = 0.475 По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.475 tkp(γ) = (0.475) = 1.96 у.е. (6750 - 271.022;6750 + 271.022) = (6478.98;7021.02) С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение кредита при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала. Задача 3. Тема: «Проверка статистических гипотез» Производитель некоторого вида продукции утверждает, что 95% выпускаемой продукции не имеют дефектов. Случайная выборка 100 изделий показала, что только 92 из них свободны от дефектов. Проверьте справедливость утверждения производителя продукции на уровне значимости α = 0.05. Решение. H0: p=p0=0.95 - неизвестная генеральная доля p равна заданному значению p0=0.95. H1: p ≠ p0. При такой альтернативной гипотезе критическая область будет двусторонней. Выборочная доля p=92/100=0.92 Наблюдаемое значение статистики K вычислим при заданных значениях: Критическое значение находим по таблице функции Лапласа из равенства: Ф(Kkp)=1/2-α=0.5-0.05=0.45 По таблице функции Лапласа найдем, при каком Kkp значение Ф(Kkp) = 0.45 Kkp = 1.65 Критическая область – двусторонняя: (-∞ ;-Kkp)U(Kkp; +∞). Экспериментальное значение критерия Kнабл не попало в критическую область |Kнабл| > Kkp, поэтому нулевую гипотезу следует принять. Генеральная и выборочная доли равны. 95% выпускаемой продукции не имеют дефектов. Задача 4. Тема: «Критерий согласия Пирсона». С помощью критерия согласия Пирсона на уровне значимости α = 0,05 выяснить, можно ли считать случайную величину X, заданную в виде сгруппированного статистического ряда, нормально распределенной с параметрами х и s, рассчитанными по выборке.  Решение. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона. где pi — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа где s = 0.4, xср = 2.9 Таблица для расчета показателей.
Средняя взвешенная (выборочная средняя) Дисперсия Среднее квадратическое отклонение. Теоретическая (ожидаемая) частота равна fi = fpi, где f = 32
Критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞). Её границу Kkp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры xcp и s оценены по выборке). Kkp = χ2(6-2-1;0.05) = 7.81473; Kнабл = 0.85 Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение. Задача 5. Тема: «Ранговая корреляция». По заданной таблице рангов найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверить значимость полученного результата при α = 0.05. Восемь годовых консолидированных балансов проранжированы по двум признакам: X — объем продаж, Y — цена товара.  Решение.
По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Связь между признаком Y (цена товара) и фактором X (объем продаж) умеренная и прямая Задача 6. Тема: «Линейная корреляция и регрессия». Компания, занимающаяся продажей радиоаппаратуры, установила на клавиатуру определенной модели цену, дифференцированную по регионам. Исследуйте зависимость объема продаж (Y, шт.) от цены (X, руб.) по выборочным данным из 8 регионов.  Решение. Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a Система нормальных уравнений. a*n + b*∑x = ∑y a*∑x + b*∑x2 = ∑y*x Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)
Для наших данных система уравнений имеет вид 8a + 4500*b = 3240 4500*a + 2570000*b = 1806000 Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -0.4258, a = 644.5161 Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии): y = -0.4258 x + 644.5161 Параметры уравнения регрессии. Выборочные средние. Выборочные дисперсии: = Среднеквадратическое отклонение Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно: Коэффициент корреляции. Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле: Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1. Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока: 0.1 < rxy < 0.3: слабая; 0.3 < rxy < 0.5: умеренная; 0.5 < rxy < 0.7: заметная; 0.7 < rxy < 0.9: высокая; 0.9 < rxy < 1: весьма высокая; В нашем примере связь между признаком Y (объем продаж) и фактором X (цена) весьма высокая и обратная. Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b: Уравнение регрессии может вычислено таким образом: = Возможна экономическая интерпретация параметров модели - увеличение цена на 1 руб. приводит к уменьшению объема продаж в среднем на 0.426 шт. |