подготовка к ЕГЭ. Тригонометрические уравнения. Способы решения. метод решения. Одна из самых сложных для абитуриентов. Тригонометрические урав нения встречаются в части с вариантов егэ, а также в заданиях вступительных экзаменов в вузы
 Скачать 250.31 Kb.
|
|
, . . http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений и методах их решения. Эта тема — одна из самых сложных для абитуриентов. Тригонометрические урав- нения встречаются в части С вариантов ЕГЭ, а также в заданиях вступительных экзаменов в ВУЗы. Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) явля- ются универсальными, то есть применяются и в других разделах математики. Другие являются специфическими именно для тригонометрии, и о них, как правило, рассказывает абитуриенту репетитор. Необходимых формул по тригонометрии не так уж и много. Их нужно знать наизусть. Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к простейшим, то есть к уравнениям вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a. Простейшие тригонометрические уравнения мы уже умеем решать. Теперь — сами методы. Замена переменной и сведение к квадратному уравнению Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях — степенных, показательных, тригонометрических, логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравне- ние нужно сначала преобразовать. 1. Рассмотрим уравнение 2 cos 2 x + 5 sin x = 5. Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество: 2(1 − sin 2 x) + 5 sin x = 5, 2 sin 2 x − 5 sin x + 3 = 0. Заменяя sin x на t, приходим к квадратному уравнению: 2t 2 − 5t + 3 = 0. Решая его, получим: t 1 = 3 2 , t 2 = 1. Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит нас к уравнению sin x = 3 2 . Оно не имеет решений, поскольку −1 6 sin x 6 1. Второй корень даёт простейшее уравнение sin x = 1. Решаем его: x = π 2 + 2πn, n ∈ Z. Это и есть ответ. 2. Решить уравнение 3 + cos 2x + 3 √ 2 cos x = 0. Здесь нужно применить формулу косинуса двойного угла. Какую именно? Судя по уравнению — ясно, что ту, которая с косинусом! 3 + 2 cos 2 x − 1 + 3 √ 2 cos x = 0, 2 cos 2 x + 3 √ 2 cos x + 2 = 0. 1 Теперь замена t = cos x и. . . дальше вы знаете. 3. Бывает, что оба рассмотренных выше метода нужно комбинировать. Например: 2 cos 2x − 3 cos 2 x − 2 sin x = 0. Здесь всё подчиняется синусу. Именно через него выражаем косинус двойного угла, а cos 2 x выражаем из основного тригонометрического тождества: 2(1 − 2 sin 2 x) − 3(1 − sin 2 x) − 2 sin x = 0. Дальше понятно. Разложение на множители Очень хорошо, если уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых. 1. Начнём с уравнения sin 2x = cos x. Применяем формулу синуса двойного угла: 2 sin x cos x = cos x. Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что cos x обратится в нуль, и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель — за скобки: 2 sin x cos x − cos x = 0, cos x(2 sin x − 1) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: cos x = 0 и 2 sin x − 1 = 0. Решаем каждое из них и берём объединение множества решений. Ответ: x 1 = π 2 + πn, x 2 = (−1) n π 6 + πn, n ∈ Z. 2. Рассмотрим уравнение sin 3x + sin 7x = 2 sin 5x. Применим формулу суммы синусов: 2 sin 5x cos 2x = 2 sin 5x. Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче: 2 sin 5x cos 2x − 2 sin 5x = 0, 2 sin 5x(cos 2x − 1) = 0. Решаем уравнение sin 5x = 0: x = πn 5 , n ∈ Z. (1) Решаем уравнение cos 2x − 1 = 0: x = πn, n ∈ Z. (2) 2 Ну что, перечисляем обе серии ( 1 ) и ( 2 ) в ответе через запятую? Нет! Серия ( 2 ) является в данном случае частью серии ( 1 ). Действительно, если в формуле ( 1 ) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии ( 2 ). Поэтому ответ: x = πn 5 , n ∈ Z. 3. Бывает, что перед разложением суммы или разности тригонометрических функций в про- изведение надо проделать обратную процедуру: превратить произведение в сумму (разность). Решим уравнение: sin 2x sin 6x = cos x cos 3x. Домножаем обе части на 2, преобразуем левую часть в разность косинусов, а правую часть — в сумму косинусов: 2 sin 2x sin 6x = 2 cos x cos 3x, cos 4x − cos 8x = cos 2x + cos 4x, cos 2x + cos 8x = 0, 2 cos 5x cos 3x = 0. Ответ: x 1 = π 10 + πn 5 , x 2 = π 6 + πn 3 , n ∈ Z. 4. Ещё пример, где финальное разложение на множители поначалу замаскировано: sin 2 2x + sin 2 3x = 1. Здесь используем формулу понижения степени: sin 2 α = 1 − cos 2α 2 (которая является ни чем иным, как переписанной в другом виде формулой косинуса двойного угла). Получаем: 1 − cos 4x 2 + 1 − cos 6x 2 = 1, cos 4x + cos 6x = 0, и дальше ясно. 5. Многие оказываются в ступоре при виде следующего уравнения: sin 3x = cos 5x. Переносим косинус влево и применяем формулу приведения cos α = sin π 2 − α : sin 3x − cos 5x = 0, sin 3x − sin π 2 − 5x = 0. Дальше — дело техники. 6. А в этом примере нужны совсем другие манипуляции: sin 2x − cos x + 2 sin x = 1. Раскладываем синус двойного угла, всё собираем в левой части и группируем: 2 sin x cos x − cos x + 2 sin x − 1 = 0, cos x(2 sin x − 1) + (2 sin x − 1) = 0, (2 sin x − 1)(cos x + 1) = 0. Цель достигнута. 3 Однородные уравнения Рассмотрим уравнение: sin 2 x + 2 sin x cos x − 3 cos 2 x = 0. Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене a 2 + 2ab − 3b 2 степень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей). Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на cos 2 x. Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю? Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений. Предположим, что cos x = 0. Тогда в силу уравнения и sin x = 0, что противоречит основ- ному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию cos x 6= 0, и мы можем поделить обе его части на cos 2 x. В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тан- генса: tg 2 x + 2 tg x − 3 = 0, и дальнейший ход решения трудностей не представляет. 1. Рассмотрим уравнение 10 sin 2 x + 5 sin x cos x + cos 2 x = 3. Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение 3(sin 2 x + cos 2 x): 10 sin 2 x + 5 sin x cos x + cos 2 x = 3(sin 2 x + cos 2 x), 7 sin 2 x + 5 sin x cos x − 2 cos 2 x = 0, и дело сделано. 2. Неожиданным образом сводится к однородному следующее уравнение: 3 cos x + 2 sin x = 1. Казалось бы, где тут однородность? Переходим к половинному углу! 3 cos 2 x 2 − sin 2 x 2 + 4 sin x 2 cos x 2 = cos 2 x 2 + sin 2 x 2 , 4 sin 2 x 2 − 4 sin x 2 cos x 2 − 2 cos 2 x 2 = 0, 2 tg 2 x 2 − 2 tg x 2 − 1 = 0, tg x 2 = 1 ± √ 3 2 , откуда x = 2 arctg 1 ± √ 3 2 + 2πn, n ∈ Z. (3) Мы не случайно довели это уравнение до ответа. В следующем разделе оно будет решено другим методом, и ответ окажется внешне непохожим на этот. 4 Введение дополнительного угла Этот метод применяется для уравнений вида a cos x + b sin x = c. Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30 ◦ , 45 ◦ или 60 ◦ 1. Рассмотрим уравнение √ 3 sin x + cos x = 2. Делим обе части на 2: √ 3 2 sin x + 1 2 cos x = 1. Замечаем, что √ 3 2 = cos π 6 , 1 2 = sin π 6 : cos π 6 sin x + sin π 6 cos x = 1. В левой части получили синус суммы: sin x + π 6 = 1, откуда x + π 6 = π 2 + 2πn и x = π 3 + 2πn, n ∈ Z. 2. Другой пример: cos x + sin x = 1. Делим обе части на √ 2: 1 √ 2 cos x + 1 √ 2 sin x = 1 √ 2 Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности: cos π 4 cos x + sin π 4 sin x = 1 √ 2 , cos x − π 4 = 1 √ 2 , x − π 4 = ± π 4 + 2πn, x 1 = π 2 + 2πn, x 2 = 2πn, n ∈ Z. 3. Рассмотрим теперь общий случай — уравнение a cos x + b sin x = c. Делим обе части на √ a 2 + b 2 : a √ a 2 + b 2 cos x + b √ a 2 + b 2 sin x = c √ a 2 + b 2 (4) Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице: a √ a 2 + b 2 2 + b √ a 2 + b 2 2 = 1. 5 Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого уг- ла ϕ: a √ a 2 + b 2 = cos ϕ, b √ a 2 + b 2 = sin ϕ. Соотношение ( 4 ) тогда приобретает вид: cos ϕ cos x + sin ϕ sin x = c √ a 2 + b 2 , или cos(x − ϕ) = c √ a 2 + b 2 Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол ϕ. 4. Снова решим уравнение 3 cos x + 2 sin x = 1. Делим обе части на √ 3 2 + 2 2 = √ 13: 3 √ 13 cos x + 2 √ 13 sin x = 1 √ 13 Существует угол ϕ такой, что cos ϕ = 3 √ 13 , sin ϕ = 2 √ 13 . Например, ϕ = arccos 3 √ 13 . Получаем: cos ϕ cos x + sin ϕ sin x = 1 √ 13 , cos(x − ϕ) = 1 √ 13 , x − ϕ = ± arccos 1 √ 13 + 2πn, x = ϕ ± arccos 1 √ 13 + 2πn, x = arccos 3 √ 13 ± arccos 1 √ 13 + 2πn, n ∈ Z. В предыдущем разделе мы решили это уравнение, сведя его к однородному, и получили в качестве ответа выражение ( 3 ). Сравните с полученным только что выражением. А ведь это одно и то же множество решений! Универсальная подстановка Запомним две важные формулы: sin x = 2 tg x 2 1 + tg 2 x 2 , cos x = 1 − tg 2 x 2 1 + tg 2 x 2 Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки. Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при x = π + 2πn, n ∈ Z. Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно. 6 1. Решим уравнение sin 2x + tg x = 2. Выражаем sin 2x, используя универсальную подстановку: 2 tg x 1 + tg 2 x + tg x = 2. Делаем замену t = tg x: 2t 1 + t 2 + t = 2. Получаем кубическое уравнение: t 3 − 2t 2 + 3t − 2 = 0, (t − 1)(t 2 − t + 2) = 0. Оно имеет единственный корень t = 1. Стало быть, tg x = 1, откуда x = π 4 + πn, n ∈ Z. Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало tg x. 2. Рассмотрим уравнение 6 + 6 cos x + 5 sin x cos x = 0. А вот здесь использование универсальной подстановки сужает ОДЗ. Поэтому сначала непо- средственно подставляем x = π + 2πn в уравнение и убеждаемся, что это — решение. Теперь обозначаем t = tg x 2 и применяем универсальную подстановку: 6 + 6 1 − t 2 1 + t 2 + 10t(1 − t 2 ) (1 + t 2 ) 2 = 0. После простых алгебраических преобразований приходим к уравнению: 5t 3 − 6t 2 − 5t − 6 = 0, (t − 2)(5t 2 + 4t + 3) = 0, t = 2. Следовательно, tg x 2 = 2 и x = 2 arctg 2 + 2πn. Ответ: x 1 = π + 2πn, x 2 = 2 arctg 2 + 2πn, n ∈ Z. Метод оценок В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки −1 6 sin x 6 1, −1 6 cos x 6 1. 3. Рассмотрим уравнение sin 5x + sin 9x = 2. Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в том случае, когда они равны единице одновременно: ( sin 5x = 1, sin 9x = 1. Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства: 5x = π 2 + 2πn 9x = π 2 + 2πk ⇔ x = π 10 + 2πn 5 , x = π 18 + 2πk 9 , n, k ∈ Z. 7 Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объ- единении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем: π 10 + 2πn 5 = π 18 + 2πk 9 Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π: 9 + 36n = 5 + 20k, 20k = 36n + 4, 5k = 9n + 1. Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5m, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где m ∈ Z. Для того, чтобы 9n + 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1. Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x: x = π 10 + 2πn 5 = π 10 + 2π(5m + 1) 5 = π 2 + 2πm. Ответ: x = π 2 + 2πm, m ∈ Z. 4. Рассмотрим уравнение sin 2x sin 5x = 1. Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений. Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов: 2 sin 2x sin 5x = 2, cos 3x − cos 7x = 2. Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему: ( cos 3x = 1, cos 7x = −1. Имеем: ( 3x = 2πn 7x = π + 2πk ⇔ x = 2πn 3 , x = π 7 + 2πk 7 , n, k ∈ Z. Ищем пересечение: 2πn 3 = π 7 + 2πk 7 Умножаем на 21 и сокращаем на π: 14n = 3 + 6k. 8 Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное. Ответ: решений нет. 5. Страшное с виду уравнение sin 5 x + cos 8 x = 1 также решается методом оценок. В самом деле, из неравенств | sin x| 6 1, | cos x| 6 1 следует, что sin 5 x 6 sin 2 x, cos 8 x 6 cos 2 x. Следовательно, sin 5 x + cos 8 x 6 sin 2 x + cos 2 x = 1, причём равенство возможно в том и только в том случае, когда ( sin 5 x = sin 2 x, cos 8 x = cos 2 x. Остаётся решить полученную систему. Это не сложно. Учёт тригонометрических неравенств Рассмотрим уравнение: √ 5 cos x − cos 2x + 2 sin x = 0. Перепишем его в виде, пригодном для возведения в квадрат: √ 5 cos x − cos 2x = −2 sin x. Тогда наше уравнение равносильно системе: ( 5 cos x − cos 2x = 4 sin 2 x, sin x 6 0. Решаем уравнение системы: 5 cos x − (2 cos 2 x − 1) = 4(1 − cos 2 x), 2 cos 2 x + 5 cos x − 3 = 0, cos x = 1 2 cos x = −3. Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии: x 1 = π 3 + 2πn, x 2 = − π 3 + 2πn, n ∈ Z. Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством sin x 6 0. Серия x 1 не удовлетворяет этому неравенству, а серия x 2 удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия x 2 Ответ: x = − π 3 + 2πn, n ∈ Z. Специальные приёмы В этом разделе рассматриваются некоторые типы уравнений, приёмы решения которых нужно знать обязательно. 1. Рассмотрим уравнение cos 2x = cos x + sin x. 9 Это сравнительно редкий случай, когда используется исходная формула косинуса двойного угла: cos 2 x − sin 2 x = cos x + sin x, (cos x − sin x)(cos x + sin x) = cos x + sin x, (cos x + sin x)(cos x − sin x − 1) = 0, " cos x + sin x = 0, cos x − sin x = 1. Каждое из уравнений полученной совокупности мы решать умеем. 2. Теперь рассмотрим такое уравнение: sin 2x = cos x + sin x + 1. Метод решения будет совсем другим. Сделаем замену t = cos x + sin x. Как выразить sin 2x через t? Имеем: t 2 = cos 2 x + 2 cos x sin x + sin 2 x = 1 + sin 2x, откуда sin 2x = t 2 − 1. Получаем: t 2 − 1 = t + 1, t 2 − t − 2 = 0, t 1 = −1, t 2 = 2, " cos x + sin x = −1, cos x + sin x = 2. Как действовать дальше, мы знаем. 3. Надо обязательно помнить формулы косинуса и синуса тройного угла (чтобы не изобретать их на экзамене): cos 3α = 4 cos 3 α − 3 cos α, sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α. Вот, например, уравнение: sin 3x + 2 cos 2x = 2. Оно сводится к уравнению относительно sin x: 3 sin x − 4 sin 3 x + 2(1 − 2 sin 2 x) = 2, 4 sin 3 x + 4 sin 2 x − 3 sin x = 0, sin x(4 sin 2 x + 4 sin x − 3) = 0. Дальше всё понятно. 4. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса? Рассмотрим уравнение sin 4 x + cos 4 x = 5 8 10 Выделяем полный квадрат! sin 4 x + cos 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x − 2 sin 2 x cos 2 x = 5 8 , (sin 2 x + cos 2 x) 2 − 2 sin 2 x cos 2 x = 5 8 , 1 − 1 2 sin 2 2x = 5 8 , sin 2 2x = 3 4 , sin 2x = ± √ 3 2 , 2x = ± π 3 + πn, x = ± π 6 + πn 2 , n ∈ Z. 5. А как быть с суммой шестых степеней? Рассмотрим такое уравнение: sin 6 x + cos 6 x = 1 4 Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ). Получим: (sin 2 x + cos 2 x)(sin 4 x − sin 2 x cos 2 x + cos 4 x) = 1 4 , sin 4 x − sin 2 x cos 2 x + cos 4 x = 1 4 С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться. Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база. В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях. 11 |