окружность. Окружность. Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной
![]()
|
Пример: Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основаниями а и Ь. ![]() Решение: Площадь трапеции можно найти по формуле ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований. Полезно запомнить! Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями ![]() ![]() ![]() Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника Теорема. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю. Рис. 143 ![]() Доказательство: 1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то ![]() 2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD ![]() Опишем около треугольника ABD окружность. В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство: «Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки ![]() Обобщенная теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Действительно, из подобия указанных треугольников ![]() ![]() ![]() Пример: Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() Формула Эйлера для окружностей Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами ![]() ![]() ![]() Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150). ![]() Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом. Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() А теперь найдем d по формуле Эйлера: ![]() ![]() ![]() Запомнить: Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: ![]() Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле ![]() Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны 180°. И обратно. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны между собой. И обратно. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле ![]() Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника. ![]() На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка ![]() ![]() ![]() Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() На рисунке 299 изображен произвольный треугольник ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры ![]() ![]() Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке. Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон. Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. ![]() На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности. Точка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность. Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() На рисунке 301 изображен произвольный треугольник ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов ![]() ![]() Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке. Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис. Пример: Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение: В треугольнике ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отрезок ![]() ![]() Так как точка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |