окружность. Окружность. Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной

• Название: Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной
• Анкор: окружность
• Дата: 22.04.2022
• Размер: 1.66 Mb.
• Имя файла: Окружность.docx
• Тип: Документы; #491187
• страница: 4 из 4

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.



Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле   Пусть в трапеции ABCD основания   — боковые стороны,   — высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда   . Известно, что в равнобедренной трапеции   (можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем:  Отсюда  Ответ: 
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями   боковой стороной с, высотой h, средней линией   и радиусом   вписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:



Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143


Доказательство:

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то   как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD   то около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки   » . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

 Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике   проведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику   (рис. 148). Тогда теорема Пифагора   может звучать так: сумма квадратов гипотенуз  треугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если  - соответствующие линейные элемен­ты   то можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:




Действительно, из подобия указанных треугольников   откуда 



Пример:

Пусть   (см. рис. 148). Найдем   По обобщенной теореме Пифагора   отсюда 
Ответ:   = 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами   и расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера





Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).



Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки  , и   — лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). Тогда — расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой   где b — боковая сторона,   — высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим   Радиус вписанной окружности   Так как   то   Искомое расстояние 
А теперь найдем d по формуле Эйлера: 

 откуда   Как видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

1. 
   Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
   
2. 
   Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
   
3. 
   Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: 
   
4. 
   Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле 
   
5. 
   Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
   
6. 
   Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
   
7. 
   Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле   где   — полупериметр,   — радиус вписанной окружности.
   

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.



На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка   — центр окружности, описанной около треугольника  , поэтому  .

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника   существует точка  , равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка   будет центром описанной окружности, а отрезки  ,   и   — ее радиусами.



На рисунке 299 изображен произвольный треугольник  . Проведем серединные перпендикуляры   и   сторон   и   соответственно. Пусть точка   — точка пересечения этих прямых. Поскольку точка   принадлежит серединному перпендикуляру  , то  . Так как точка   принадлежит серединному перпендикуляру  , то  . Значит,  , т. е. точка   равноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры   и   (рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.



На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка   (рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника  , отрезки  ,  ,   — радиусы, проведенные в точки касания,  . Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника   существует точка  , удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка   будет центром окружности радиуса г, которая касается сторон  .



На рисунке 301 изображен произвольный треугольник  . Проведем биссектрисы углов   и  ,   — точка их пересечения. Так как точка   принадлежит биссектрисе угла  , то она равноудалена от сторон   и   (теорема 19.2). Аналогично, так как точка   принадлежит биссектрисе угла  , то она равноудалена от сторон   и  . Следовательно, точка   равноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов   и   (рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Пример:

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле  , где   — радиус вписанной окружности,   и   — катеты,   — гипотенуза.



Решение:

В треугольнике   (рис. 302)  ,  ,  ,  , точка   — центр вписанной окружности,  ,   и   — точки касания вписанной окружности со сторонами  ,   и   соответственно.

Отрезок   — радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда  .

Так как точка   — центр вписанной окружности, то   — биссектриса угла   и  . Тогда   — равнобедренный прямоугольный,  . Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем: