окружность. Окружность. Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной
![]()
|
Теорема (свойство вписанного четырехугольника). Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°. ![]() Доказательство: Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема (признак вписанного четырехугольника). Если сумма противоположных углов четырехугольника равна ![]() ![]() Доказательство: Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого ![]() ![]() ![]() Тогда сумма ![]() Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°. Следствия. 1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника. 2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б). 3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в). ![]() Докажите эти следствия самостоятельно. Теорема (свойство описанного четырехугольника ). Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой. ![]() Доказательство: Пусть ABCD — описанный четырехугольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны между собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда ![]() откуда AD + ВС = AB + CD. Теорема доказана. Следствие: Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон: ![]() Теорема (признак описанного четырехугольника). Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. ![]() Доказательство: Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что ![]() Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок ![]() ![]() Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим ![]() ![]() Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоречию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана. Следствия. 1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а). 2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б). 3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в). Докажите эти следствия самостоятельно. ![]() Для описанного многоугольника справедлива формула ![]() Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128. ![]() Пример: Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°. ![]() Решение: Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. ![]() ![]() Из прямоугольного треугольника АВК находим. что ![]() ![]() ![]() Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() Пример: Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где ![]() ![]() Решение: Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: 18. Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°». Пример: Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, ![]() ![]() ![]() Решение: Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: 75°. Окружность, вписанная в треугольник Пример: Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника. ![]() Решение: Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой. Тогда, если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() ![]() ![]() ![]() Замечание. Если ![]() ![]() ![]() ![]() Описанная трапеция |