окружность. Окружность. Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной

• Название: Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной
• Анкор: окружность
• Дата: 22.04.2022
• Размер: 1.66 Mb.
• Имя файла: Окружность.docx
• Тип: Документы; #491187
• страница: 3 из 4

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.



Доказательство:

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то   Дуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда 

 Аналогично доказывается, что   180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна   то около него можно описать окружность.



Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого   (рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении   или внутри нее в положении   то в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма  не была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).



Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.



Доказательство:

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда



откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:



Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.



Доказательство:

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что 

                             (1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок   который касается окружности. По свойству описанного четырехугольника 

                                     (2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим   что противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.
 

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.



Для описанного многоугольника справедлива формула  , где S — его площадь, р — полупериметр,   — радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.



Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.



Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е.   Так как у ромба все стороны равны , то  (см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что   откуда   Искомый радиус вписанной окружности   (см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма   найдем площадь данного ромба:   С другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника   Поскольку   (см), то   Отсюда   (см).

Ответ:   см.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где   делит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).


Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле   Необходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту   трапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора   Тогда   По свойству описанного четырехугольника   Отсюда 



Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов   и   Так как  как внутренние односторонние углы при  и секущей CD, то   (рис. 131). Тогда  — прямоугольный, радиус   является его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му   или   Высота   описанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда   Так как по свой­ству описанного четырехугольника   то 
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А,   Найти величину угла ВАС (рис. 132, а).


Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку   как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то   и прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным,  В прямоугольном треугольнике ABM   откуда 

Ответ: 75°.

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.



Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если   то   Так как АВ = AM + МВ, то   откуда   т. е.  . После преобразований получим:   Аналогично: 
Ответ: 



Замечание. Если   (рис. 141), то   (см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,   — частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция