окружность. Окружность. Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной

• Название: Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной
• Анкор: окружность
• Дата: 22.04.2022
• Размер: 1.66 Mb.
• Имя файла: Окружность.docx
• Тип: Документы; #491187
• страница: 2 из 4

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус   его вписанной окружности.



Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной,   — радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и   Поскольку ВК — высота и медиана, то   Из   , откуда  .
В   катет ОК лежит против угла в 30°, поэтому  , 

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан   Высоту равностороннего треугольника можно найти по формуле  . Откуда






Ответ: 

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника  то   Значит, сторона равностороннего
треугольника в   раз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону   разделить на  , а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на  . Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника 

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е.   где с — гипотенуза.



Доказательство:

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности   где с — гипотенуза.
Теорема доказана.


Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.


Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.



Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле  , где   — искомый радиус,   и   — катеты,   — гипотенуза треугольника.



Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами   и гипотенузой  . Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом   касается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим:   Четырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и  . Тогда   Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то   Но  , т. е.  , откуда 

 Теорема доказана.


Следствие:   где р — полупериметр треугольника.

Доказательство:

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:



Формула   в сочетании с формулами   и   дает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.
 

Пример. Дан прямоугольный треугольник,   Найти  .

Решение:

Так как   то 
Из формулы   следует  . По теореме Виета (обратной)   — посторонний корень.
Ответ:  = 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.



Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где   — радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как  — квадрат, то 
По свойству касательных 
Тогда  По теореме Пифагора





Следовательно, 
Радиус описанной окружности 
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу  значения   получим   По теореме Пифагора  , т. е.   Тогда 
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника   радиус вписанной в него окружности   Найти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в   гипотенуза АВ - = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как 



, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу   вписанной окружности,   — высота  . Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда   по катету и гипотенузе.
Площадь   равна сумме удвоенной площади   и площади квадрата CMON, т. е.




Способ 2 (алгебраический). Из формулы   следует  Возведем части равенства в квадрат:   Так как   и 

Способ 3 (алгебраический). Из формулы   следует, что   Из формулы   следует, что 
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле 





Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.



Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.