исслед ф-ии с помощью произв (1). Определение промежутков возрастания и убывания функции
 Скачать 1.36 Mb.
|
|
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ к исследованию функции и построению графика функции СодержаниеОпределение промежутков возрастания и убывания функции (исследование функции на монотонность) Нахождение точек экстремума функции Построение графиков функций Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции Работа с графиками функций Проверь себя Исследование функции на монотонность (т.е. определение промежутков возрастания и убывания функции). Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить, на каких промежутках из области определения функция возрастает, а на каких – убывает. Вспомним Возрастание и убывание функции можно изобразить такИду в гору. Функция возрастает на промежутке[b;a] Иду под гору. Функция убывает на промежутке[a;с] 0 a b c x y Для определения промежутков возрастания и убывания функции можно использовать и производную .Теорема: Если f(x) – непрерывна на промежутке и имеет f´(x), то а) если f´(x) > 0, то f(x) – возрастает б) если f´(x) < 0, то f(x) – убывает в) если f´(x) = 0, то f(x) – постоянна (константа) Алгоритм исследования функции на монотонностьНайти производную функции f ΄(х) Найти стационарные (f ΄(х) = 0) и критические (f ΄(х) не существует) точки функции у= f(х) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой Определить знаки производной на получившихся промежутках По знаку производной определить промежутки монотонности функции (если f ΄(х) > 0 – функция возрастает; если f ΄(х) < 0 функция убывает; если f ΄(х) =0 – функция постоянна) ОпределенияВнутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными. Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называются критическими Например: найти промежутки монотонности функции f(x) = x³ - 6x² + 9x – 1 1) f´(x) = 3x² - 12x + 9 2) Найдем стационарные точки: f´(x) = 0, 3x² - 12x + 9 = 0 x² - 4x + 3 = 0 x = 1 и х = 3 3) 4) 5) f ´(x) > 0, при x ϵ (-∞; 1) и (3; + ∞) f ´(x) < 0, при х ϵ (1; 3) Ответ: при x ϵ (-∞; 1) и (3; + ∞) функция возрастает, а при х ϵ (1; 3) - убывает х 1 3 f ´(x) f(x) + + - Найти промежутки монотонности функции у = 2х³ +3х² -100 у = х³ + 2х² + 6 у = 5х² + 15х - 1 у = 60 + 45х – 3х² - х³ у = - 3х + 6х² - 100 Нахождение точек экстремума функции ОпределенияТочка хо называется точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(х) ≥ f(хо) Точка хо называется точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(х) ≤ f(хо) ОпределенияЗначение функции в точке максимума обозначают уmax (но на определенном участке вокруг точки максимума, а не на всей области определения функции – это унаиб. ) Значение функции в точке минимума обозначают уmin (но это не унаим. функции на всей области определения) Точки минимума и максимума называются точками экстремума ТеоремаПусть функция у = f(х) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х=х0. Тогда: а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х<х0 выполняется неравенство f΄(х) <0, а при х>х0 - неравенство f΄(х) >0, то х0 – точка минимума функции у = f(х) х0 - min б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х<х0 выполняется неравенство f΄(х) > 0, а при х>х0 - неравенство f΄(х) <0, то х0 – точка максимума функции у = f(х) х0 - max в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки х0 знаки производной одинаковы, то в точке х0 экстремума нет (происходит изменение кривизны графика функции – это точка перегиба) х0 х0 экстремума нет Алгоритм нахождения точек экстремума функцииНайти производную функции f ΄(х) Найти стационарные и критические точки функции у = f(х) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой Определить знаки производной на получившихся промежутках Если f ′(х0) при переходе через точку меняет знак с «+» на «-», то эта точка – точка максимума. Если f ′(х0) при переходе через точку меняет знак с «-» на «+», то эта точка – точка минимума. Если f ′(Х0) не меняет знак, то в этой точке экстремума нет (это точка перегиба). Например: найти точки экстремума функцииРешение. 1) у΄=12 х³ - 48х² + 48х = = 12х(х²-4х+4) = 12х (х - 2)² 2) у΄=0 при х =0 и х =2 (стационарные точки) 3) 4) 5) Значит: х = 0 – точка минимума, х = 2 - точка максимума. х 0 2 - - + f ´(x) Найдите точки экстремума функции и определите их характеру = 7 + 12х - х² у = 3х³ + 2х² - 7 у = -2х³ + 21х² + 19 у = 3х² - х³ у = х + 4/х Построение графиков функций В тех случаях, когда речь идет о построении графика незнакомой функции или когда заранее трудно представить вид графика, используют следующий алгоритм: План построения графика функции с помощью производнойНайти область определения функции и определить точки разрыва если они существуют Выяснить является ли функция четно или нечетной, проверить её на периодичность Найти точки пересечения графика с осями координат, если это возможно Найти стационарные и критические точки Найти точки экстремума функции и промежутки монотонности Определить промежутки вогнутости, выпуклости и точки перегиба графика функции Найти координаты ещё нескольких точек (для большей точности) Как найти промежутки выпуклости, вогнутости и точку перегиба графика функцииПромежутки выпуклости и вогнутости кривой можно находить с помощью производной. Теорема. (признак вогнутости и выпуклости) Если вторая производная функции у=f(х) в данном промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в этом промежутке. Для нахождения интервалов выпуклости графика функции используют следующий алгоритм:Находят f΄(х), а затем f ΄΄(х) Находят точки, в которых f ΄΄(х) = 0 Отмечают полученные точки на числовой прямой и получают несколько промежутков области определения функции Устанавливают знаки второй производной в каждом из полученных промежутков. Если f ΄΄(х) < 0, то на этом промежутке кривая выпукла; если f ΄΄(х)>0 - вогнута Точкой перегиба кривой называется такая точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой её части. Точкой перегиба кривой графика функции будут те точки, в которых f ΄΄(х) = 0 и при переходе через неё вторая производная меняет знак. 0 х0 Найти интервалы выпуклости и точку перегиба функцииРешение. Найдем у΄(х) и у΄΄(х): у΄(х) = 4х³-12х => у΄΄(х) = 12х²-12=12(х²-1) Найдём стационарные точки второго порядка, т.е. у΄΄(х)=0 => 12(х²-1)=0 => х²-1=0 => х²=1 х = ±1 Значит: при х ϵ (-∞; -1) и (1;+ ∞ ) функция вогнута, а при х ϵ (-1:1) – выпукла; точки перегиба х= ±1 1 -1 у΄΄(х) + + - Например: исследовать функцию у = 2х³+3х² -1 и построить её графикРешение. D(у)= (-∞; +∞), четность не определена Найдем стационарные точки: т.к. у΄=6х²+6х=6х(х+1) => 6х(х+1)=0 тогда х=0 и х=-1 стационарные точки Найдем точки экстремума: т.к. и х=-1 – точка максимума х= 0 – точка минимума х 0 -1 f´(x) + + - f(x) Найдем промежутки монотонности: при x ϵ (-∞; -1] и [0; + ∞) - функция возрастает при x ϵ [-1; 0] - функция убывает Найдем точки пересечения графика с осями координат: если х=0, то у=-1 => (0;-1) если у=0, то х= -1 => (-1; 0) Найдем ещё некоторые точки (контрольные, дополнительные): т.к. х=-1 – точка максимума, то уmax=0 => (-1; 0) -точка локального максимума т.к. х= 0 – точка минимума, уmin=-1 => (0;-1) -точка локального минимума если х=1, то у=4 => (1;4) если х=-2, то у=-5 => (-2;-5) Удобнее все эти данные заполнять в виде таблицы. Составим таблицу: Найдем f ΄΄(х). f΄΄(х) =(6х(х+1))΄=12х+6 = 6(2х+1) f΄΄(х)=0 => 6(2х+1)=0 => х = -0,5 - точка перегиба т.к. при х=-1(левее х=-0,5) f΄΄(х) <0, а при х=-0,1(правее х=-0,5) f΄΄(х) >0 Найдем её координаты: (-0,5; ? ), если это не трудно
Построим график функции: х у 0 -1 -2 4 1 -5 Исследовать функцию и построить её график1) у = 3х² - х³ 2) у = - 9х + х³ 3) у = х³ - 3х² + 2 4) у = - х³ + 6х² - 5 5) у = 3х³ + х² - 8х – 7 6) у = (х)/(1+х²) Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке ТеоремаДифференцируемая на (а;b) и непрерывная на [a;b] функция у=f(x) достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на границе отрезка [a;b] или в одной из точек экстремума на интервале (а;b). Если функция удовлетворяет условиям теоремы и имеет единственную точку экстремума – точку максимума (минимума), то в ней достигается наибольшее (наименьшее) значение Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у=f(х) на отрезке [а;в]1) Найти производную f ΄(х) 2) Найти стационарные и критические точки функции и проверить принадлежат ли они отрезку [а;в] 3) Вычислить значение функции у=f(х) на концах отрезка, т.е в точках х=а и х=в в стационарных и критических точках, принадлежащих [а;в] 4) Выбрать среди найденных значений наименьшее (это и будет Унаим.) и наибольшее (это и будет Унаиб.) Например: найти наименьшее и наибольшее значения функции у= х³ - 3х² - 45х + 1 на отрезках а)[-4;6] б) [-2;2]а) 1) у΄= 3х² - 6х - 45 2) у΄= 0 => 3х² - 6х - 45 = 0|:3 х² - 2х - 15 = 0 => х1=-3 ϵ [-4;6] и х2= 5 ϵ [-4;6] 3) Найдём у(-4); у(6); у(-3); у(5): Получим: у(-4)=69; у(6)=-161; у(-3)=82; у(5)=-174. Значит: Унаим = -174; Унаиб = 82. Решение. Решение. б) на [-2;2] 1) у΄= 3х² - 6х – 45 2) у΄= 0 => 3х² - 6х - 45 = 0|:3 х² - 2х - 15 = 0 => х1=-3 ¢ [-2;2] х2= 5 ¢ [-2;2] 3) Найдём у(-2); у(2): Получили у(-2)= 71; у(2)=-93 Значит: Унаим = - 93; Унаиб = 71. Самостоятельно найдите наименьшее и наибольшее значения функции у= х³ - 3х² - 45х + 1 на отрезке [0;6]Ответ: Унаим. = -174 (достигается в точке х=5) Унаиб. = 1 (достигается в точке х=0) Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке.1) у = х²-8х+19 на [-1;5] 2) у = х³-9х²+24х-1 на [-2;3] 3) у = х+4/(х+1) на [-2;0] 4) у = х³-2х²+1 на [0,5;+∞) 5) у = 0,2х-х² на (-∞; 1] Работа с графиками функций № 1. По графику функции ответьте на вопросы 1) Отметьте стационарные точки. 2) Что можно сказать о производной в точке х1? 3) Назовите точки экстремума. 4) Что можно сказать о производной на (−∞; х2)? 5) Укажите промежутки возрастания функции. 6) Отметьте критические точки Проверим ответы1. (х1,х3,х4). 2. не существует. 3. (х2,х3,х4). 4. f′(х) ≤ 0. 5. [х2; х3]U [х4;+∞)функция возрастает. 6. х2 № 2. Постройте график непрерывной функции у = f(х), определенной на [а;в], удовлетворяющей следующим условиям: а) а=-1, в=4, f΄(х)>0 при -1<х<4, f(1)=0, f(4)=3 б) а=0, в=5, f΄(х)<0 при 0<х<5, f(2)=0, f(3)=-2 График. а) -1 1 1 3 4 б) а=0, в=5, f΄(х)<0 при 0<х<5, f(2)=0, f(3)=-2График. 0 -2 3 5 2 1 № 3. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет максимум, имеет минимум.№ 4. На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция? Назовите их.№ 5. По графику функции определить: а) сколько точек экстремума имеет функция? б) при каких х принадлежащих [-4;4]функция достигает наименьшего и наибольшего значения?Ответ№ 6. Дан график производной некоторой функции. Определить промежутки, на которых функция убывает?ОтветВерно или не верно №11. График производной. Точки х=-1, х=1, х=2 являются точками максимума? 2. Производная функции в точке хо равна 0, значит хо - критическая точка. Верно ли? 3. Производная функции не существует в точке хо, значит хо - критическая точка. Верно ли? 4. Критическая точка является точкой экстремума. Верно ли? 5. Точка экстремума является критической точкой. Верно ли? 6. Функция y(x) непрерывна в точке x=4, причем y' (x)>0 на (1;4) и y'(x)<0 на (4;7). Точка x=4 является точкой минимума? № 2. По данному графику функции определить верно или нет высказывание0 х у Х1 Х2 Х3 Х4 Точка х1 – точка минимума. Точка х1 – точка перегиба. В точках х2 и х4 касательная параллельна оси абсцисс В точке х3 производной не существует. Точка х4 – точка экстремума Точка х4 – точка минимума Точка х4 – стационарная точка Точка х3 – точка экстремума Точка х2 – точка максимума Да Да Да Да Да Да Да Нет Нет Используемые ресурсыУчебник А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс,- М., Мнемозина, 2012 Задачник А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс,- М., Мнемозина, 2012 Л.И. Мартышова «Открытые уроки алгебры и начала анализа» 9-11 классы, - М.,ВАКО, 2012 http://www.gifpark.su/PEO.htm Автор и источник заимствования неизвестен Автор и источник заимствования неизвестен |