лекция. Определенный интеграл
 Скачать 0.58 Mb.
|
Определенный интегралЗадача 1. В декартовой прямоугольной системе координат х0у дана фигура, ограниченная осью 0х, прямыми х=а, х=b (а< b) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b] функции y=f(x); назовём эту фигуру криволинейной трапецией. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла у х 0 y=f(x) x1 x2 x3 хn-1 xk xk+1 a b Разобьём отрезок [а;b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек х1, х2, х3, …, xk, xk+1, …, xn-1. Тогда заданная трапеция разобьётся на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков. у х 0 y=f(x) x1 x2 x3 xn-1 xk xk+1 a b Рассмотрим отдельно k-ый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [х k ; х k+1]. Площадь прямоугольника равна f(х k )·Δх, где Δх – длина отрезка [х k ; х k+1]; естественно считать составленное произведение приближённым значением площади k-го столбика. Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(х k ). у х 0 y=f(x) x1 x2 x3 xn-1 xk xk+1 a b Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придём к следующему результату: площадь заданной криволинейной трапеции приближённо равна площади Sn ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников. Имеем: Sn= f(x0)Δx0 + f(x1)Δx1 + f(x2)Δx2 + + … + f(xk)Δxk + … + f(xn-1)Δxn-1. Здесь ради единообразия обозначений мы считаем что а=х0, b=хn, Δx0 – длина отрезка [x0; x1], Δx1 –длина отрезка [x1; x2] и т.д. Итак, S ≈ Sn, причём это приближённое равенство тем больше, чем больше n. Принято считать, что искомая площадь есть предел последовательности (Sn) Задача 2 (о вычислении массы стержня). Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность в точке х вычисляется по формуле р=р(x). Найти массу стержня. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла Как известно из курса физики, m = ρ·V, но этот закон действует только для однородных тел, т.е. в тех случаях, когда плотность постоянна. Для неоднородного стержня используется тот же метод, что был применён при решении задачи 1. х хn-1=b xk+1 xk x2 x1 х0=a I I I I I I I
mk≈ ρ(xk)·Δxk, Где Δxk, как и в предыдущей задаче, - длина отрезка [х k ; х k+1]. 4) Найдём приближённое значение массы m стержня: m ≈ Sn, Где Sn= m0 + m1 + m2 + … + mk + … + mn-1 = ρ(x0)Δx0 + ρ(x1)Δx1 + ρ(x2)Δx2 + + … + ρ(xk)Δxk + … + ρ(xn-1)Δxn-1. 5) Точное значение массы стержня вычисляется по формуле Задача 3 (о перемещении точки). По прямой движется точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v=v(t); пусть для определённости v(t)>0. Найти перемещение точки за промежуток времени [a;b]. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-a). Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение двух предыдущих задач.
sk ≈ v(tk)·Δ tk, 4) Найдём приближённое значение перемещения s: s ≈ Sn, Где Sn= s 0 + s 1 + s 2 + … + s k + … + s n-1 = v(t0)Δt0 + v(t1)Δt1 + v(t2)Δt2 + + … + v(tk)Δtk + … + v(tn-1)Δtn-1. 5) Точное значение перемещения вычисляется по формуле: Понятие определённого интеграла. Дадим определение той модели, которая была построена в трёх рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но обязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а;b]:
Sn= f(x0)Δx0 + f(x1)Δx1 + f(x2)Δx2 + + … + f(xk)Δxk + … + f(xn-1)Δxn-1. 3) Вычисляют lim Sn n→∞ В курсе математического анализа доказано, что при указанных условиях этот предел существует. Его называют определённым интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а;b] и обозначают так: Результат, полученный в 1 задаче, можно переписать так: Где S – площадь криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определённого интеграла. Из решения задачи 2 следует, что масса m неоднородного стержня с плотностью ρ(x) вычисляется по формуле В этом состоит физический смысл определённого интеграла. Из решения задачи 3 следует, что перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v=v(t), за промежуток времени от t=a до t=b, вычисляется по формуле Это ещё одно физическое истолкование определённого интеграла. Понятие о криволинейной трапеции Фигура, ограниченная неотрицательной на отрезке [a;b] функцией y=f(x) и прямыми у=0, x=a, x=b называется криволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле: где F(x) – первообразная функции y=f(x) Вычисление площади криволинейной трапеции сводится к отысканию первообразной F(x) функции f(x), то есть к интегрированию функции f(x). Определение Разность F(b)–F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначают: Подынтегральная функция Подынтегральное выражение Верхний предел интегрирования Нижний предел интегрирования Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то справедлива формула Где F(x) – первообразная для f(x). Приведённую формулу обычно называют формулой Ньютона – Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643-1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646-1716), получивших её независимо друг от друга и практически одновременно. Для вычисления определённого интеграла нужно: 1. Найти какую-нибудь первообразную для функции (найти неопределенный интеграл от функции , в котором можно принять C=0 ); 2. В полученном выражении подставить вместо x сначала верхний предел , а затем нижний предел , и из результата первой подстановки вычесть результат второй. Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. где α- некоторое число. 4. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. Свойства определенного интеграла 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c: 6. Если на отрезке [a, b], где a 7. Для любого действительного числа с: 8. Модуль интеграла функции не превосходит интеграл от модуля функции (неравенство по модулю) 9. Свойства определенного интеграла Свойства определенного интеграла 10. Теорема о среднем. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], (где a -среднее значение функции на f(c) на отрезке [a, b]. Непосредственное интегрированиеЭтот способ основан на использовании свойств определенного интеграла, приведении подынтегрального выражения к табличной форме путем тождественных преобразований и применении формулы Ньютона-Лейбница.. Пример 1 Пример 2 Пример 3 Пример 4 Пример 5 Пример 6 Замена переменной. Пример 7 Пример 8 6 dt t Пример 9 Пример 10 Интегрирование по частям. = Пример 11 Пример 12 |