Основы теории управления
 Скачать 1.23 Mb.
|
|
4.6 . СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ [8]. В реальных системах имеются помехи (возмущения), действующие в каналах передачи ин- формации. Часто не имеется никакой, кроме статистической, информации об этих факторах, что заставляет считать эти параметры случайными величинами с заранее неизвестными законами рас- пределения. Так возникает задача управления в условиях неопределенности. Здесь имеются два аспекта: управление в условиях неопределенности и задача борьбы с помехами. Модели случайных сигналов. Случайные процессы и отображающие их сигналы будем считать функциями времени, принимающими случайные значения. В каждый момент времени, значение случайного процесса есть случайная величина x(t). Основной характеристикой случайной величины в момент времени t является функция p(x,t) - плотность вероятности в момент t. Плот- ность вероятности определяет функции математического ожидания и дисперсии случайных вели- чин: M x (t) = x(t) p(x,t) dx, D x (t) = (x(t)-M x (t)) 2 p(x,t) dx. Для описания статистической взаимосвязи значений x(t) в разные моменты времени вводят- ся корреляционная функция сигнала x(t): K x (t 1 ,t 2 ) = M[(x(t 1 )-M x (t 1 )) (x(t 2 )-M x (t 2 ))], и взаимная корреляционная функция сигналов x(t) и y(t): K xу (t 1 ,t 2 ) = M[(x(t 1 )-M x (t 1 )) (y(t 2 )-M y (t 2 ))]. Отметим, что K x (t,t) = D x (t), т.е. при t 1 = t 2 = t это есть дисперсия в момент времени t. Стационарным случайным процессом называется такой случайный процесс, для которого корреляционная функция зависит не от абсолютных значений t 1 и t 2 , а только от их разности K(t 1 ,t 2 ) = K(t 1 -t 2 ) = K(. Дисперсия и математическое ожидание для стационарного случайного процесса являются константами. Стационарный случайный процесс для САУ не меняет своих статистиче- ских характеристик за время жизни системы. Спектральная плотность S(ω) стационарного случайного процесса, есть преобразование Фурье от корреляционной функции K(τ). Соответственно, корреляционная функция K(τ) есть об- ратное преобразование Фурье спектральной плотности S(ω): 17 S() = K() exp(-j) d, K() = (1/2) S() exp(j) d Спектральная плотность случайного процесса описывает разложение мощности процесса по гармоническим составляющим. Можно выразить дисперсию через интеграл от спектральной плотности. Это означает, что дисперсия есть суммарная мощность случайного процесса, распреде- лѐнная по частоте: D = K(0) = (1/2) S() d Фильтрация помех. Будем считать, что в САУ помехи могут быть в двух основных мес- тах: помеха в канале управления (к управлению добавляется помеха W) и помеха в канале измере- ния (выходной сигнал измеряется с помехой V). Наиболее общая задача фильтрации шума - мак- симально возможное подавление обеих помех. Если рассмотреть шумовой сигнал с бесконечным равномерным спектром, то ему будет со- ответствовать корреляционная функция в виде -функции: S(ω) = = const; K(τ) = ( /2π) δ(τ); D = K(0) =∞. Эти три уравнения описывают ―белый шум‖ с интенсивностью . Ясно, что такой сигнал не может быть физически реализован в силу бесконечной мощности. Можно, однако, реализовать сколь угодно близкий к этому случайный процесс, называемый "розовым шумом". Формально ро- зовый шум получается при пропускании белого шума через любое реальное звено. При этом огра- ничивается спектр сигнала, так как никакое реальное звено не может пропускать бесконечную по- лосу частот. В результате, у реального розового шума может быть сколь угодно широкий, но убы- вающий спектр, а его корреляционная функция может очень быстро убывать, что означает малую связь значений процесса в разные моменты времени. Задачу фильтрации помех будем решать как оптимальную, то есть искать условия наиболь- шего подавления помех. Помехи будем считать случайными процессами с известными корреляци- онными функциями (спектральными характеристиками). А лгоритмы управления и фильтрации могут быть реализованы по отдельности, и их одновременное функционирование в замкнутой сис- теме не мешает друг другу. Другими словами, оптимальный фильтр можно рассчитывать отдельно от регулятора в том смысле, что характеристическое уравнение замкнутой системы оказывается равным произведению уравнений подсистемы регулирования и подсистемы фильтрации. При анализе и синтезе фильтров используется аддитивная модель входного сигнала: u(t) = s(t)+q(t), где s(t) - полезная составляющая сигнала управления, q(t) - составляющая шумов и помех. Синтез оптимальных фильтров производится с максимальным использованием известной априор- ной информации как о сигналах, которые необходимо выделять, так и о шумах и помехах. Как пра- вило, используется информация о природе полезного сигнала и шума, об их спектральном составе, о корреляционных и взаимных корреляционных характеристиках. Наличие определенных особен- ностей (различий) в характеристиках сигнала и шума позволяет реализовать фильтр вообще и оп- тимальный фильтр в частности. Если такие особенности отсутствуют, постановка задачи стано- вится некорректной. При наличии помех абсолютно точное выделение полезного сигнала методами линейной фильтрации, как правило, невозможно. Результат фильтрации z(t) = h() ③ u(t-) (4.6.1) отличается от s(t) на величины (t) = z(t)-s(t), которые являются абсолютными значениями погреш- ности воспроизведения полезного сигнала по координатам t. Качество фильтра оценивается сред- ним значением квадрата величины (t): 2 2 s(t)] [z(t) ε . (4.6.2) Выражение (4.6.2) дает возможность определить функцию h(t) фильтра по критерию мини- мума среднего квадратического отклонения выходного сигнала от его действительной или задан- ной формы. Фильтр Винера является оптимальным фильтром формирования из входного сигнала u(t) выходного сигнала z(t) при известной форме полезного сигнала s(t), который содержится во вход- ном сигнале в сумме с шумами. В качестве критерия его оптимизации используется среднее квад- ратическое отклонение сигнала z(t) на выходе фильтра от заданной формы сигнала s(t). Подставим 18 уравнение свертки (4.6.1) в раскрытой форме интегральной свертки в выражение (4.6.2) и получим отклонение 2 выходного сигнала z(t) от заданной формы выходного сигнала s(t): 2 ] [ ε 2 s(t) dτ ) τ)h( u(t . (4.6.3) Минимум выражения (4.6.3) определяет функцию импульсного отклика h(t) оптимального фильтра. При этом для оптимального фильтра действительно выражение: h(t) ③ K u () = K zu (). (4.6.4) Другими словами,свертка функции отклика оптимального фильтра с функцией автокор- реляции входного сигнала должна быть равна функции взаимной корреляции выходного и входного сигналов. Отметим, что K u () = R u ()+R q (), где R u - функция автокорреляции сигнала, R q - функция автокорреляции шума, а K zu () = B zs ()+B zq (), где B zs - функция взаимной корреляции сигналов z(t) и s(t), B zq - функция взаимной корреляции сигнала z(t) и помех q(t). Подставляя данные выра- жения в (4.6.4), получаем: h(n) ③ [R u ()+R q ()] = B zs ()+B zq (). (4.6.5) Частотная характеристика фильтра находится преобразованием Фурье левой и пра- вой части уравнения (4.6.5): H()[W u ()+W q ()] = W zs ()+W zq (), H() = [W zs ()+W zq ()] / [W s ()+W q ()], (4.6.6) где W s () R s () и W q () R q () - энергетические спектры (плотности мощности) сигнала и помех, W zs () B zs () - взаимный энергетический спектр входного и выходного сигналов, W zq () B zq () - взаимный энергетический спектр выходного сигнала и помех. Обычно имеет место статистическая независимость полезного сигнала, а, следовательно, и сигнала z(t), от шумов, при этом B zq = 0 и фильтр называют оптимальным по сглаживанию шумов при заданной форме выходного сигнала: H() = W zs () / [W s ()+W q ()], (4.6.7) Фильтр (4.6.7) оптимален в том смысле, что максимизирует отношение мощности сигнала к мощности шума по всему интервалу сигнала, но не в каждой индивидуальной точке. Выражения (4.6.6-4.6.7) достаточно наглядно демонстрируют физический смысл формиро- вания передаточной функции фильтра. При воспроизведении сигнала частотная функция взаимной корреляции входного сигнала с выходным W zs (плотность взаимной мощности) повторяет частот- ную функцию автокорреляции W s (плотность мощности сигнала). Плотность мощности статисти- ческих шумов W q распределена по частотному диапазону равномерно, в отличие от плотности мощности сигнала W s , которая, в зависимости от формы сигнала, может занимать любые частот- ные интервалы спектрального диапазона. На частотах, где сосредоточена основная энергия сигна- ла, имеет место W s ()>>W q () и H() 1 (как минимум, больше 0.5). Там, где значение W s () становится меньше W q , коэффициент передачи фильтра становится меньше 0.5, и в пределе H()=0 на всех частотах, где полностью отсутствуют частотные составляющие сигнала. Таким образом, оптимальные фильтры учитывают особенности спектрального состава сиг- налов и способны формировать передаточные функции выделения полезных частот сигналов из любых диапазонов спектра с максимальных подавлением шумов на всех частотах спектрального диапазона, не содержащих полезных сигналов, при этом границы усиления-подавления устанавли- ваются автоматически по заданному уровню шумов. ЛИТЕРАТУРА 1. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы: Учебное пособие для вузов. - СПб.: Питер, 2005. - 336 с. 2. Повзнер Л.Д. Теория систем управления: Учебное пособие для вузов. - М.: Изд. МГГУ, 2002. - 472 с. 7. Туманов М.П. Теория автоматического управления: Лекции. 8. Туманов М.П. Теория управления. Теория линейных систем автоматического управления: Учебное посо- бие. – МГИЭМ. М., 2005, 82 с. 11. Михайлов В.С. Теория управления. – К.: Выща школа, 1988. 12. Зайцев Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования. – К.: Выща школа, 1989. |