Основы теории управления
 Скачать 1.23 Mb.
|
|
Критерий Гурвица. Гурвиц предложил другой критерий ус- тойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму: 1) по главной диагонали слева направо выставляются все ко- эффициенты характеристического уравнения от a 1 до a n ; 2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз; 3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули. Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты харак- теристического уравнения и все n главных диагональных миноров матрицы Гурвица были положи- тельны. Число определителей Гурвица равно порядку характеристического уравнения п. Рис. 4.1.6. 6 Критерий Гурвица применяют при n ≤ 5. При больших порядках возрастает число опреде- лителей, и процесс становится трудоемким. Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ. 4.2 . ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ [7, 8, 11]. Частотные методы исследования устойчивости основаны на связи расположения корней ха- рактеристического полинома (обозначим его функцией D(р) для любого типа систем) с годографом этого полинома на комплексной плоскости, т.е. с графиком комплексной функции D(j) при изме- нении от 0 до ∞. Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характери- стик систем судить об их устойчивости. Их достоинство - в простой геометрической интерпрета- ции, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения. Принцип аргумента. Запишем характеристический полином в виде D(p) = a 0 (p-p 1 ) (p-p 2 )… (p-p n ) = 0, Его корни: p i = a i + j i = |p i | exp(j arg(p i )), где arg(p i ) = arctg( i /a i ) + k, |p i | - значения моду- лей корней. Каждый корень мож- но изобразить вектором на комплексной плоскости (рис. 4.2.1а), тогда разность p - p i изобразится разностью векторов (рис. 4.2.1б), где p - любое число. Если изменять значе- ние p произвольным обра- зом, то конец вектора p - p i будет перемещаться по комплексной плоскости, а его начало будет ос- таваться неподвижным, так как p i - это конкретное неизменное значение. В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой , то p = j, а характери- стический полином принимает вид: D(j) = a 0 (j - p 1 ) (j - p 2 ) ... (j - p n ). При этом концы векторов j - p i будут находиться на мнимой оси (рис. 4.2.1в). Если менять от -∞ до +∞, то каждый вектор j - p i будет поворачиваться относительно своего начала p i на угол + для левых и - для правых корней (рис. 4.2.1г). Характеристический полином можно представить в виде D(j) = |D(j)| exp(j arg(D(j))), где |D(j)| = a 0 |j-p 1 | |j-p 2 | ... |j-p n |, arg(D(j)) = arg(j-p 1 ) + arg(j-p 2 ) + ... + arg(j-p n ). Пусть из n корней m - правые, а n-m - левые, тогда угол поворота вектора D(j) при измене- нии от -∞ до ∞ равен = (n-m) - m, или при изменении от 0 до +∞: = (n - 2m) (/2). (4.2.1) Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора D при изменении частоты от -∞ до +∞ равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0, умноженному на , а при изменении частоты от 0 до +∞ эта разность умножается на /2. Это и есть принцип аргумента. Он положен в основе всех частотных критериев устойчиво- сти. Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста. Критерий устойчивости Михайлова . Так как для устойчивой системы число правых корней m = 0, то угол поворота вектора D(j) составит = n/2. (4.2.2) Рис. 4.2.1. 7 Система будет устойчива, если вектор D(j) при изменении частоты от 0 до +∞ повернется на угол n/2. При этом конец вектора опишет кривую, называемую годографом Михайлова. Для построения годографа выражение (4.1.6) записывается с заменой p на j в форме: a 0 p n +a 1 p n-1 +…+ a n-1 p+a n = D(j ) = P() + jQ(), где P() - вещественная часть, как сумма всех членов характеристического уравнения, содержащих j в четных степенях, Q - мнимая часть выражения. Годограф начинается на положительной полуоси при D(0) = a n , и, при изменении частоты от 0 до ∞, последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, с ухо- дом в бесконечность в n-ом квадранте (рис. 4.2.2а). Если это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно n, или нарушается последовательность прохождения квадрантов (рис. 4.2.2б)), то такая система неус- тойчива - это и есть необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Михайлова. Критерий удобен своей наглядностью и используется, если известно уравнение замкнутой системы. Если кривая проходит вблизи начала координат, то система находится вблизи границы устойчивости и наоборот. Критерий устойчивости Найквиста. Этот критерий основан на связи свойства устойчивости замкнутой системы с формой АФЧХ разомкнутой устойчивой системы. Разомкнутой системой являются все последовательно соединенные блоки от входа системы до точки замыкания обратной связи (рис. 4.2.3). Исследование разомкнутой системы проще, чем замкнутой, и его можно производить экспериментально. Передаточная функция W pc разомкнутой системы: W pс (j) = K pc (j)/H pc (j), с углом поворота фазы в соответствии с выражением (4.2.2): arg H рс (j) = n/2, 0 ≤ ≤ ∞. (4.2.3) АФЧХ замкнутой системы описывается выражением: W зс (j)= W pc (j) /[1+ W pc (j)]. (4.2.4) Обозначим знаменатель этого выражения через W 1 (j): W 1 (j)=1+W pc (j)=1+K pc (j)/H pc (j)=H(j)/H pc (j), (4.2.5) где H(j) = K pc (j) + H pc (j), характеристический полином замкнутой системы при р=j. В соответствии со свойствами передаточных функций порядок полинома Н(р) не превышает порядка полинома H pc (p), т.к. H(p)=K pc (p)+H pc (p), а порядок полинома K pc (p) меньше порядка по- линома H pc (p). Поэтому критерий Михайлова для замкнутой системы соответствует выражению: arg H(j) = (n - 2m) (/2), 0 ≤ ≤ ∞. (4.2.6) где m - число правых корней системы, имеющей в замкнутом состоянии характеристический по- лином Н(р)=0. Из (4.2.5) следует: arg W 1 (j) = arg H(j) - arg H pc (j). C учетом (4.2.3): arg W 1 (j) = (n - 2m) (/2) - n/2 = -m. (4.2.7) В устойчивой замкнутой системе правых корней в характеристическом уравнении нет, т. е. m=0, а, следовательно, условием устойчивости замкнутой системы будет: arg W 1 (j) = 0. (4.2.8) Условие (4.2.8) выполняется только тогда, когда кривая W 1 (j) при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает начала координат комплексной плоскости. Действительно, только в этом слу- чае результирующий поворот вектора W 1 (j) при изменении от 0 до ∞ будет равен нулю, так как возрастание угла (), обусловленное движением вектора W 1 (j) в положительном направлении (против часовой стрелки), будет компенсироваться таким же убыванием (), обусловленным Рис. 4.2.2. Рис. 4.2.3. 8 движением вектора W 1 (j) в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Как видно из (4.2.5), переход на комплексной плоскости от годографа вектора W 1 (j) к го- дографу вектора АФЧХ разомкнутой системы W pс (j) осуществляется сдвигом кривой W 1 (j) вле- во на -1, так как W pc (j) = W 1 (j) -1. С учетом этой операции, получаем следующую формулиров- ку амплитудно-фазового критерия устойчивости Найквиста: линейная динамическая система, ус- тойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы W pс (j) при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0) (рис. 4.2.4, годограф 2). Более общая формулировка критерия Найквиста относится к системам, имеющим так называемую АФЧХ второго рода (рис. 4.2.4, годограф 1), когда W pс (j) пересекает (неограниченное количество раз) вещественную ось левее точки Re W pc () = -1. Будем считать положительным переход годографа через вещественную ось, если он совершается сверху вниз, и отрицательным, если он совершается снизу вверх. Для таких годографов критерий Найквиста формулиру- ется в следующем виде: линейная динамическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если при изменении частоты от 0 до + ∞ разность между числом положительных переходов годографа АФЧХ разомкнутой системы через участок вещественной оси (-1; - ∞) и числом отрицательных переходов равна нулю. Из этого условия видно, что система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ в форме кри- вой 1 на рис. 4.2.4, устойчива и в замкнутом состоянии. На рис. 4.2.5а приведены АФЧХ разомкнутых САУ, устойчивых в замкну- том состоянии, на рис. 4.2.5б - замкнутая САУ неустойчива. На рис. 4.2.5в и 4.2.5г показаны АФЧХ разомкнутых астатических САУ, соответственно устойчивых и неустойчи- вых в замкнутом состоянии. Их особен- ность в том, что АФЧХ при 0 уходит в бесконечность. В этом случае при ис- пользовании критерия Найквиста ее мыс- ленно замыкают на вещественную ось по дуге окружности бесконечно большого радиуса. Критерий Найквиста нагляден. Он позволяет не только выявить, устойчива ли система, но и, в случае, если она неустойчива, наметить меры по достижению устойчивости. 4.3 . ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ [7]. Понятие структурной устойчивости. А статическая система может быть неустойчи- вой по двум причинам: неподходящий состав динамических звеньев и неподходящие значения па- раметров звеньев. Системы, неустойчивые по первой причине, называются структурно неустойчивыми. Это означает, что изменением параметров системы нельзя добиться ее устойчивости, нужно менять ее структуру. Например, если система состоит из любого количества инерционных и колебательных звеньев, она имеет вид, показанный на рис. 4.3.1. При уве- личении коэффициента усиления системы K каждая точка ее АФЧХ удаля- ется от начала координат, пока при некотором значении К крит АФЧХ не пе- ресечет точку (-1, j0). При дальнейшем увеличении K, система будет неус- тойчива. И, наоборот, при уменьшении K такую систему, в принципе, мож- но сделать устойчивой, поэтому ее называют структурно устойчивой. Если система астатическая, то n - порядок астатизма, равен количест- ву последовательно включенных интеграторов. При ее размыкании характе- Рис. 4.2.4. Рис. 4.2.5. Рис. 4.3.1. 9 ристическое уравнение системы имеет нулевые корни, поэтому при ∞ АФЧХ стремится к ∞ (рис. 4.2.5в и 4.2.5г). Например, пусть W р (p) = K/(p(Tp+1)), тогда АФЧХ разомкнутой системы: W(j) = = P() + jQ(). Так как порядок знаменателя больше порядка числителя, то при 0 имеем P()∞, Q() -j∞. Подобная АФЧХ представлена на рис. 4.3.2. Так как АФЧХ терпит разрыв, трудно сказать, охватывает ли она точку (-1,j0). В этом случае пользуются следующим приемом: если АФЧХ терпит разрыв, уходя в бесконечность при 0, ее дополняют мысленно полуокружностью бесконечного радиуса, начинающейся на положитель- ной вещественной полуоси и продолжающейся до АФЧХ в отрицательном направлении. После этого можно применить критерий Найквиста. Как видно из рисунка, система, имеющая одно интегрирующее звено, является структурно устойчивой. Если система имеет два интегрирующих звена (порядок астатизма 2), ее АФЧХ уходит в бесконечность во втором квадранте (рис. 4.3.3). На- пример, пусть W р (p) = K/(p 2 (Tp+1)), тогда АФЧХ системы: W(j) = = P() + jQ(). При 0 имеем P() -∞, Q() j∞. Такая система не будет ус- тойчива ни при каких значениях параметров, то есть она структурно неус- тойчива. Структурно неустойчивую систему можно сделать устойчивой, включив в нее корректирующие звенья (например, дифференцирующие) или изменив структуру системы, например, с помощью местных обратных связей. Понятие запаса устойчивости. В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колеба- ния и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать систему так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления назы- вают запасом устойчивости. Согласно критерию Найквиста, чем дальше АФЧХ от критической точ- ки (-1, j0), тем больше запас устойчивости. Различают запасы устойчивости по модулю и по фазе. Запас устойчивости по модулю характеризует удаление годографа АФЧХ разомкнутой системы от критической точки в направлении веществен- ной оси и определяется расстоянием h от критической точки до точки пересе- чения годографом оси абсцисс (рис. 4.3.4). Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по ду- ге окружности единичного радиуса и определяется углом между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью. Как уже отмечалось, с ростом коэффициента пе- редачи разомкнутой системы растет модуль каждой точ- ки АФЧХ и при некотором значении K = K кр АФЧХ пройдет через критическую точку (рис. 4.3.5а) и попадет на границу устойчивости, а при K > K кр замкнутая сис- тема станет неустойчива. Однако в случае АФЧХ типа 1 (рис. 4.2.4) (получаются из-за наличия внутренних об- ратных связей) не только увеличение, но и уменьшение K может привести к потере устойчивости замкнутых систем (рис. 4.3.5в). В этом случае запас ус- тойчивости определяется двумя отрезками h 1 и h 2 , заключенными между критической точкой и АФЧХ. Рис. 4.3.2. Рис. 4.3.3. Рис. 4.3.4. Рис. 4.3.5. 10 Обычно при создании системы задаются требуемыми запасами ус- тойчивости h и , за пределы которых она выходить не должна. Эти преде- лы выставляются в виде сектора, вычерчиваемого вокруг критической точ- ки, в который АФЧХ разомкнутой системы входить не должна (рис. 4.3.6). Анализ устойчивости по ЛЧХ. Оценку устойчивости по крите- рию Найквиста удобнее производить по ЛЧХ разомкнутой системы. Оче- видно, что каждой точке АФЧХ будут соответствовать определенные точки ЛАЧХ и ЛФЧХ. Пусть известны частотные характеристики двух разомкнутых систем (1 и 2), отличающихся друг от друга только коэффициентом передачи K 1 < K 2 . Пусть первая система устойчива в замкнутом состоянии, вторая нет (рис. 4.3.7). Если W 1 (p) - передаточная функция первой системы, то пере- даточная функция второй системы W 2 (p) = K W 1 (p), где K = K 2 /K 1 Вторую систему можно предста- вить последовательной цепочкой из двух звеньев с передаточными функциями K (Безинерционное звено) и W 1 (p), поэтому результирующие ЛЧХ строятся как сумма ЛЧХ каждого из звеньев. По- этому ЛАЧХ второй системы: L 2 () = 20 lg K + L 1 (), а ЛФЧХ: 2 () = 1 (). Пересечениям АФЧХ вещественной оси соответствует значение фазы = -. Это соответст- вует точке пересечения ЛФЧХ = - линии координатной сетки. При этом, как видно на АФЧХ, амплитуды A 1 () < 1, A 2 () > 1, что соответствует на ЛАЧХ значениям L 1 () = 20 lg A 1 () < 0 и L 2 () > 0. Сравнивая АФЧХ и ЛФЧХ можно заключить, что система в замкнутом состоянии будет ус- тойчива, если значению ЛФЧХ = - будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и на- оборот. Запасам устойчивости по модулю h 1 и h 2 , определенным по АФЧХ соответствуют расстоя- ния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где = -, но в логарифмическом масштабе. Особыми точками являются точки пересечения АФЧХ с единичной окружностью. Частоты c1 и c2 , при которых это происходит, называют частотами среза. В точках пересечения A() = 1 = > L() = 0 - ЛАЧХ пересекает горизонтальную ось. Если при частоте среза фаза АФЧХ c1 > - (рис. 4.3.7а кривая 1), то замкнутая система устойчива. На рис. 4.3.7б это выглядит так, что пересечению ЛАЧХ горизонтальной оси соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше линии = -. И, наоборот, для неустойчивой замкнутой системы (рис. 4.3.7а кривая 2) c2 < -, поэтому при = c2 ЛФЧХ проходит ниже линии = -. Угол 1 = c1 -(-) является запасом устойчивости по фазе. Этот угол соответствует расстоянию от линии = - до ЛФЧХ. Исходя из сказанного, критерий устойчивости Найквиста по логарифмическим ЧХ, в случа- ях, когда АФЧХ только один раз пересекает отрезок вещественной оси [-∞; -1], можно сформули- ровать так: для того, чтобы замкнутая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы частота, при которой ЛФЧХ пересекает линию = -, была больше частоты среза. Если АФЧХ разомкнутой системы имеет сложный вид, то ЛФЧХ может несколько раз пере- секать линию = -. В этом случае применение критерия Найквиста несколько усложняется. Од- нако во многих случаях данной формулировки критерия Найквиста оказывается достаточно. 4.4 . ТОЧНОСТЬ СИСТЕМ [8]. Понятие точности является центральным в теории автоматического управления, так как по- зволяет количественно выразить показатели качества систем. Различают точность, рассматривае- мую в переходном процессе - динамическая точность, и точность в установившемся режиме - ста- тическая точность. Рис. 4.3.6. Рис. 4.3.7. |