Основы теории управления
 Скачать 1.23 Mb.
|
|
Статическая точность в следящей системе опреде- ляется при гармоническом входном воздействии с использова- нием передаточной функции по ошибке. p W c (p) U зад (p), W c (p) = 1/(1+W(p)). Рассмотрим логарифмическую частотную ха- рактеристику системы в установившемся режиме при гармоническом входном воздействии (рис. 4.4.2). Жирной линией показан идеальный случай абсолютно точной системы. Реальная частотная характеристика отличается от идеальной и в некоторой полосе ( н , в ) не выходит за пределы допуска . Такое же рассужде- ние справедливо и для ФЧХ. Задав допустимые грани- цы точности по амплитуде и по фазе, получим область частот, где гарантируется данная точность - это полоса пропускания. Задавая требуемую рабочую частоту по приведенным выше формулам можно вычислить ошибку на этой частоте при гармоническом воздействии. Общий способ повышения точности (в статическом и динамическом режимах) – обеспече- ние следующих оценок: W зс (p) = W(p)/(1+W(p) 1 - Мера точности воспроизведения задающего воздействия в замкнутой системе. W с (p) = 1/(1+W(p) 0 - Мера малости ошибки слежения. Один из основных способов повышения точности - увеличение коэффициента k разомкну- той системы. При увеличении k оба приближѐнных равенства оценок выполняются всѐ более точ- но, что говорит об общем повышении точности, причѐм это повышение точности происходит при любой W(p). Однако это не значит, что можно таким образом достичь любой желаемой точности. Здесь начинает сказываться одно из фундаментальных противоречий в рамках теории управления - про- тиворечие между точностью системы и запасом устойчивости. При чрезмерном увеличении k воз- можна потеря устойчивости замкнутой системы. Годограф Найквиста, не охватывающий точку (-1; j0), но проходящий, например, из 3 квадранта во второй (см., например, кривую 1 на рис. 4.2.4), при увеличении k "раздувается" относительно начала координат и начинает охватывать эту точку, то есть нарушается условие критерия устойчивости Найквиста. Повышение точности всегда при- водит к уменьшению запаса устойчивости по амплитуде. Конкретные значения точности анализируемой системы проводятся разложением W (p) в ряд Тейлора в окрестностях p=0 и анализом коэффициентов этого ряда. Динамическая точность относится к более сложным задачам анализа систем, т.к. требует изучения всего переходного процесса. При достаточно большом значении модуля АФЧХ в разомк- нутой системе передаточная функция прямой ветви имеет пренебрежимо малое значение, переда- точная функция замкнутой системы будет в основном определяться цепью ОС. Если коэффициент передачи разомкнутой системы много больше единицы W(p)W oc (p) >>1 и |W(p)| >>1, то для замк- нутой системы можно принять: W зс (p) = W(p)/(1+W(p)W oc (p)) 1/W oc (p), что существенно упрощает анализ системы. Для повышения динамической точности системы обычно используется принцип комбини- рованного управления по задающему воздействию (принцип инвариантности). Рис. 4.4.1. Рис. 4.4.2. 12 Добавим в стандартную структуру системы дополнительную передаточную функцию (p) 1/(W(p)W oc (p)) так, чтобы сигнал ошибки вообще не зависел от задающего воздействия (рис. 4.4.3). Это можно выполнить введением в систему дополни- тельной ветви прохождения сигнала, и подобрать коэффициент передачи в этой ветви так, чтобы ком- пенсировать нежелательный сигнал. Аналогичная операция может быть выполнена и на возмущающее воздействие f(p). 4.5 . КАЧЕСТВО СИСТЕМ [1, 2, 8, 12]. Показатели качества систем управления. Требование устойчивости для системы от- носится к числу необходимых, но не может считаться достаточным. Система может быть устойчи- вой, но время затухания настолько велико или ошибка в установившемся режиме настолько боль- шая, что практически данная система не может быть использована. Поэтому система должна быть не только устойчивой, но иметь определенный переходный процесс, а ошибки в установившихся режимах не должны превышать допустимых. Характер переходного процесса линейной системы в отличие от устойчивости зависит не только от параметров системы, но и от вида возмущающего (задающего) воздействия и начальных условий. Чтобы сравнивать системы по характеру переходного процесса, из возможных воздейст- вий выбирают типовые или наиболее неблагоприятные и определяют кривую переходного процес- са при нулевых начальных условиях. В качестве типовых воздействий обычно принимают единич- ное ступенчатое воздействие, единичный импульс, линейно нарастающее и синусоидальное воз- действие. Для большинства систем наиболее неблагоприятным является воздействие вида единич- ной ступенчатой функции t) =1(t). Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях называется переходной функцией системы. Для следящих систем обычно рассматривают переходную функцию H(t), вызванную изменением задающего воздействия 1(t), а для систем стабилизации - переходную функцию H f (t), вызванную изменением возмущаю- щего воздействия f(t). Точность системы в установившихся режимах оценивается с помощью статических и дина- мических ошибок. Эти ошибки по аналогии можно назвать показателем качества системы в уста- новившихся режимах. Совокупность показателей качества переходного процесса и установивших- ся режимов называется показателями качества системы в целом. Считается, что система обладает требуемым качеством, если ее показатели качества не пре- вышают заданных значений, определенных назначением системы. Рассмотрим поведение системы управления (рис. 4.5.1), предна- значенной для решения задачи слежения - соблюдения заданного закона изменения выходной переменной y(t). Последнее выражается в виде целевого условия y(t) → у*(t), (t) → 0, (4.5.1) (t) = y*(t) - у(t), где(t) - ошибка (рассогласование) системы. При ненулевых начальных рассогласованиях система должна с течением времени обеспечить с некоторой степенью точности совпадение входного (за- дающего) y*(t) и выходного y(t) сигналов (устранение ошибки (t)). Мгновенное устранение возникающих рассогласований (t) в реальных системах невозмож- но в силу инерционности систем регулирования и ограничений, накладываемых на управляющие воздействия. Практически неосуществимо и абсолютно точное выполнение асимптотических ус- ловий (4.5.1) в силу действующих возмущений и дестабилизирующих факторов. Указанные сооб- ражения приводят к необходимости введения специальных показателей качества, характеризую- щих эффективность решения той или иной задачи управления. Выходная переменная возмущенной системы определяется суммой свободных и вынужден- ных составляющих движения: y(t) = y св (t) + y в (t), где в силу устойчивости системы выполняется условия Рис. 4.4.3. Рис. 4.5.1 13 y св (t) → 0, y в (t) → y у (t), (4.5.2) Условия (4.5.2) соответствуют переходному режиму системы, по окончанию которого сис- тема "переходит" в установившийся режим y y (t). В зависимости от свойств системы переходный режим может оказаться достаточно быст- рым или медленным, монотонным или колебательным. Для оценки поведения системы в переход- ном режиме вводятся динамические показатели качества, т. е. численные оценки быстродействия и колебательности системы (время переходного процесса, затухание, перерегулирование, и пр.). Наиболее просто оценить качество переходного режима автономной системы, для которой вынужденная составляющая отсутствует. В установившемся режиме выходная переменная систе- мы в идеальном случае должна быть идентична задающему воздействию, что соответствует нуле- вому значению установившейся ошибки. Существует ряд универсальных приемов, позволяющих одновременно оценить динамиче- ские и/или точностные показатели системы, к которым относятся методика оценки качества по переходной функции, оценка по интегральным критериям и т. д. Показатели качества пе- реходного процесса. Переходная функция системы оценивается с помощью совокупности характери- стик, называемых показателями качества переходного процесса. Принято использовать следующие стандартные показатели качества переходного процесса, отражѐнные на типичном графике 1 переходно- го процесса в следящей системе со ступенчатым задающим воздейст- вием (рис. 4.5.2): t пп - время переходного процес- са, по истечении которого от- клонение управляемой величи- ны y(t) относительно заданного значения y зад по абсолютному значению становится (и остается в дальнейшем) меньше определенной заданной величины уст . Обычно принимается уст = y зад , = 0.05. Время регулирования характеризует быстроту затухания переходного процесса. t у - время установления, промежуток времени, за который управляемая величина в первый раз достигает своего установившегося значения, характеризует скорость процесса управления. уст - установившаяся ошибка (статическая точность, уст = e(∞) =1- у уст .). Если уст =0, то сис- тема астатическая. σ% - относительное перерегулирование (σ = (y max -y зад )/y зад ). Обычно требуют, чтобы значение σ было менее 18%. Перерегулирование характеризует колебательные свойства процессов. При нулевом значении процесс носит монотонный характер (график 2 на рис. 4.5.2), а при доста- точно больших приближается к незатухающему колебательному движению. n - число колебаний за время переходного процесса (≤3шт.). Как известно (и следует из выражения (4.1.11), чем дальше полюсы характеристического уравнения системы находятся от границы устойчивости (слева от мнимой оси комплексной плос- кости), тем выше скорость протекания переходных процессов в системе. Для количественной оценки быстродействия систем используется также понятие степени устойчивости, которой назы- вается положительное число, соответствующее расстоянию от мнимой оси до ближайшего к ней корня p i : min Re p i . i = [1, n]. В общем случае, этому условию соответствует пара комплексно сопряженных корней p 1,2 = - ± j, c соответствующей наиболее медленной колебательной составляющей: Рис. 4.5.2. 14 y i (t) = A exp(-t) sin(t+). Отсюда, по затуханию колебательного процесса exp(-at) нетрудно определить время переходного процесса по заданной величине : t пп ≈ (1/) ln(1/). Знак приближенности в данном случае отражает тот факт, что другие составляющие общего решения (4.1.11) также могут внести определенную долю в значение t пп , особенно, если вещест- венные части их полюсов близки по значениям к минимальному значению . По переходной характеристике и значению установившейся ошибки (ошибки при t>>t пп ) можно оценить точность системы в режиме стабилизации - при постоянном входном или заданном воздействии у*(t)=const. Эти показатели связаны с запасами устойчивости по амплитуде и по фазе. Поэтому, обеспе- чение стандартных показателей качества обеспечивает необходимую устойчивость. Задачу обеспе- чения показателей можно рассмотреть как оптимизационную. Как правило, эта задача оказывается многокритериальной и достаточно трудной для решения, в том числе, численного. При синтезе САУ в системе обычно выделяются неизменяемая часть и изменяемая часть, в которую можно вносить коррективы. Неизменяемая часть системы задает возможность получения гарантированного качества. Классическим методом повышения качества системы является метод диаграмм В.В.Солодовникова. Практическая задача оптимизации обычно выполняется с использо- ванием корректирующих устройств. Последовательное корректирующее устройство. Передаточная функция разомкну- той скорректированной системы равна исходной, умноженной на передаточную функцию коррек- тора. Корректирующее устройство включается последовательно в контуре системы в любом месте. Для исследования подходят ЛАЧХ, так как они складываются при последовательном соединении. ЛАЧХ и ЛФЧХ корректора находятся в виде разности желаемых и имеющихся частотных характе- ристик системы. Типичным последовательным корректирующим устройством является ПИД- регулятор. Эти пропорционально-интегрально-дифференциальные регуляторы выпускаются в широком ассорти- менте и в разнообразных реализациях, включая программную на контроллерах. ПИД-регулятор (рис. 4.5.3) имеет три параллельных канала: усилитель с коэффициентом k п , интегратор с коэффициентом k и , дифференциатор с коэффициентом k д . Усилитель позволяет изме- нить коэффициент усиления системы и уменьшить установившую- ся ошибку: e уст =1/(1+k п k). Интегратор повышает порядок астатиз- ма на 1. Увеличение k д повышает запас устойчивости и сглаживает переходный процесс, поэтому дифференциальную составляющую называют демпфированием. С помощью интегральной и пропорциональной составляющих можно обеспечить первый порядок астатизма и желаемую статическую точность в ущерб запасу устойчи- вости, а дифференциальная составляющая повышает запас устойчивости. Параллельное корректирующее устройство имеет вид местной отрицательной ОС (рис. 4.5.4). Для синтеза параллельных корректирующих устройств ис- пользовать логарифмические частотные характеристики менее удобно, чем для последовательных. Существует ряд инженерных методов расчѐта параллельных корректоров (например, метод диаграмм Никольса). Можно просто вычислять корректирующую W кор (p) по желаемой W зс (p). W кор (p) = (W(p)- W зс (p))/(W(p)W зс (p)). Одна из двух передаточных функций W кор (p) или W зс (p) обычно не является физически реа- лизуемой. Тем не менее, всегда можно выбрать достаточно близкую реализуемую функцию. Метод Солодовникова позволяет построить корректирующее звено для имеющейся сис- темы так, чтобы обеспечит требуемые типовые показатели качества и запас устойчивости по ам- Рис. 4.5.3. Рис. 4.5.4. 15 плитуде и фазе. Метод основан на имеющейся связи между частотной характеристикой и переход- ной функцией: H(t) = (2/) 0 (P()/ sin(t) d, где P() – вещественная часть АФЧХ W(j)=P()+jQ(). В.В. Солодовников доказал, что в любой системе имеются следующие зависимости между основными показателями качества переходного процесса и Р(ω). σ% > 18%, если есть "горб", т.е. Р мах > Р 0 ; σ% < 18%, если нет горба; σ% = 0, если производная dP/dω<0 и монотонно убывает. Требование монотонного убыва- ния часто налагает неоправданные ограничения на конструкцию, достаточно обеспечивать σ% < 18%. Диаграммы Солодовникова устанавливают связь между σ%, t пп , Р мах и ω с - частотой среза системы, то есть той частотой, где усиление системы равно 1 или L(ω с ) = 0. Область существенных частот (ω н , ω в ) - это та часть частотной характеристики, которая в основном определяет качество системы. Диапазон ЛАЧХ для области существенных частот от +26дб. до -16дб. Уровень +26дб. соответствует усилению K=20 и соответствующей установившей- ся ошибке e уст =1/(1+К) ≈ 0.05, т.е. нижняя частота области существенных частот определяется ста- тической точностью e уст ≈ 0.05 при ступенчатом входном воздействии. Левее частоты ω н ЛАЧХ не ниже +26дб, если не требуется астатизма, либо имеет наклон в зависимости от порядка астатизма. Уровень -16дб. соответствует малости влияния высокочастотных составляющих переходного про- цесса на уровне ≈ 10%. Наклон ЛАЧХ в области существенных частот должен быть -20дб./дек. На диаграмме Солодовникова по горизонтали отложена второстепенная величина Р мах /Р 0 , которая в настоящее время используется редко, а по вертикальным осям отложены σ%, t пп и ω с Использовать диаграммы Солодовникова (рис. 4.5.5) можно по-разному. Обычно применяется такая методика. Уточняют, какие показатели качества могут быть сформулированы заказчиком, и остальные пара- метры, необходимые для построения корректирующего устройства, определяют по диаграммам Солодовникова. По графикам можно, например, определить при задан- ном перерегулировании и времени переходного процес- са частоту среза системы: (σ%, t пп ) → ω с , n, ∆A, ∆υ. Причѐм последние три параметра обеспечиваются авто- матически. Тогда алгоритм синтеза САУ при исходно заданных σ%, t пп может быть, например, таким: По диаграммам определяем ω с (выражение ω с через t пп ). Строим область существенных частот, что даѐт нам основную часть желаемой ЛАЧХ. Достраи- ваем высокочастотную часть произвольно и низкочастотную часть, исходя из требуемого по- рядка астатизма. Синтезируем последовательное корректирующее звено, обеспечивающее такую ЛАЧХ. Ис- пользование методики Солодовникова гарантирует показатели качества замкнутой системы и запасы устойчивости по амплитуде на уровне ∆A%=200 (коэффициент усиления может быть увеличен в два раза), и по фазе на уровне ∆υ =35˚. Программы анализа качества процессов управления. Современные инструменталь- ные средства анализа и синтеза систем управления представлены множеством различных специа- лизированных программных пакетов и комплексов, которые позволяют в диалоговом режиме вы- полнять операции над матрицами и полиномами, вычислять временные и частотные характеристи- ки, строить корневые годографы, анализировать чувствительность и устойчивость, проверять управляемость и наблюдаемость системы, находить ее полюса и нули, сравнивать переходные про- цессы в системе по интегральным критериям и находить лучший, определять параметры и харак- Рис. 4.5.5. 16 теристики стохастических сигналов на входе и на выходе системы, составлять и преобразовывать математические модели исследуемой системы. Эти программные средства обладают развитым сервисом, что позволяет строить и сравни- вать графики нескольких процессов, изображать взаимные зависимости, фазовые кривые и порт- реты, строить характеристики и диаграммы, изображать и преобразовывать структурные модели системы, при этом графические построения могут быть выполнены в двух- и трехмерном пред- ставлении. Известны фирменные и университетские программные пакеты анализа и синтеза систем управления: LSАР – США (Ливерморская национальная лаборатория) ТUТSIМ – США (Стан- фордский университет); СLADP – Великобритания (Кембридж); КЕDDС – Германия (Рурский университет); МАТRIХ - фирмы Integrated Systems Inc.; SIMULINK в среде МАТLАВ известной фирмы Маth Works Inc.; МАRS – Украина (Институт кибернетики). Среди отечественных инстру- ментальных программных средств известны разработки Академии авиационного и космического приборостроения, Санкт-Петербург; Московского инженерно-физического института; Московско- го государственного технического университета; Института проблем управления РАН, Москва. Программные комплексы ТUТSIМ, МАТRIХ, SIMULINK позволяют исследовать модели любых динамических систем, которые испытывают любые внешние воздействия. Комплексы обеспечивают команды изменения структуры модели, ее параметров, выходных блоков и диапазо- нов рассчитываемых данных; команды одиночного и многократного запуска, останова и продол- жения процесса моделирования с выводом графиков и числовых данных на экран, принтер или в файл; команды графического сервиса, позволяющие изображать оси, сетку, маркировку, коммента- рии к графикам, строить фазовые кривые или взаимозависимости и прочее. Комплексы располага- ют различными функциональными блоками для моделирования любых непрерывных и дискрет- ных, линейных и нелинейных динамических систем, испытывающих детерминированные и сто- хастические воздействия. |