Основы теории управления
 Скачать 1.23 Mb.
|
|
1 ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ Тема 4. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Диплом, это двадцать минут позора и кусок хлеба на всю жизнь. Временная функция многовариантна, характеристическое уравнение черт знает какого порядка, но система работает устойчиво. Стоит ли подводить под это дело еще и частотный анализ? Владимир Кузьмин. Новосибирский геофизик Уральской школы. ХХ в. Ты никогда не будешь достаточно знать, если не будешь знать больше чем достаточно. Уильям Блейк. Содержание Введение. 1. Критерии устойчивости. Понятие устойчивости системы. Условие устойчивости САУ. Алгебраиче- ские критерии устойчивости. Критерий Рауса. Критерий Гурвица. 2. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента. Критерий устойчивости Михайлова. Кри- терий устойчивости Найквиста. 3. Запас устойчивости систем. Понятие структурной устойчивости. Понятие запаса устойчивости. Ана- лиз устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам. 4. Точность систем. Статическая точность. Динамическая точность. 5. Качество систем. Показатели качества систем управления. Показатели качества переходного процесса. Последовательное корректирующее устройство. Параллельное корректирующее устройство. Метод Солодовникова. Программы анализа качества процессов управления. 6. Случайные процессы в системах. Модели случайных сигналов. Фильтрация помех. Фильтр Винера. Частотная характеристика фильтра. ВВЕДЕНИЕ Важнейшей задачей анализа динамических систем управления является решение вопроса об их устойчивости. Техническое понятие устойчивости систем автоматического управления от- ражает свойство технической системы не только стабильно работать в нормальных режимах, но и "не уходить вразнос" при отклонении всевозможных параметров системы от номинала и влиянии на систему дестабилизирующих воздействий, т. е. способности системе возвращаться к равновес- ному состоянию, из которого она выводится возмущающими или управляющими воздействиями. Устойчивость системы - техническое требование в ряду более сложных требований, связанных с показателями качества и точности САУ. 4.1 . КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ [1, 7, 11, 12]. Понятие устойчивости системы. Система находится в состоянии равновесия, если при отсутствии воздействия на систему возмущающих факторов ошибка регулирования (разность ме- жду заданным и фактическим состоянием системы) стремится к нулю. Под устойчивостью пони- мается способность динамической системы возвращаться в равновесное состояние после оконча- ния действия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система после воздействия возмущения удаляется от равновесного состояния или начинает совершать вокруг него колебания с нарастающей амплитудой. Возникновение неустойчивых (расходящихся) коле- баний в системе можно проследить на примере следящей системы с обратной связью (рис. 4.1.1). Допустим, что в ус- тановившемся состоянии равновесия при опорном сигнале u o на регуляторе Р выходное состояние объекта управления ОУ равно y уст . Это состояние поддерживается сигналом рас- согласования е уст , который формируется в регуляторе Р по разности опорного сигнала и сигнала обратной связи у ос-уст , т.е. е уст = u o -у ос-уст . В первый момент включения системы в силу инерцион- ности обратной связи у ос = 0, а, следовательно, e(t) >> е уст , что вызывает нарастание выходной ве- личины y(t), которая будет стремиться к y(t) >> у уст по крайней мере, до тех пор, пока сигнал об- ратной связи не начнет уменьшать значение e(t). Однако значительно возросшая величина y(t) че- рез ОС передается на вход регулятора системы и может настолько существенно уменьшить значе- ние e(t), что это может привести к последующему снижению величины выходного сигнала до зна- чений y(t) << у уст , т.е. к возникновению колебательного процесса относительно равновесного со- Рис. 4.1.1. 2 стояния. При неблагоприятном соотношении параметров системы колебательный процесс может быть незатухающим и даже расходящимся. Пример такого процесса в концертной акустике хорошо известен – свист из динамиков, если коэффициент обратной связи от динамиков на микрофоны на определенных частотах становится положительным. Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы. Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчи- вости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы. Соответственно, и задача исследования систем на устойчивость может быть поставлена двояко: 1) устойчива ли система при заданном значении ее параметров; 2) в каких диапазонах можно изменять параметры системы, не нарушая ее устойчивости. Вторая задача исследования имеет место при наладке и эксплуатации систем автоматиче- ского управления. В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения для сис- темы ищется в виде: y(t) = у св (t) + у вын (t). (4.1.1) Здесь у св (t) – свободная составляющая, общее решение однородного дифференциального уравнения с нулевой правой частью: a 0 y (n) + a 1 y (n-1) + ... + a n-1 y’ + a n y = 0, т.е. когда все внешние воздействия сняты, и состояние системы определяются лишь собственной структурой. Функция у вын (t) представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означа- ет, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего ре- шения называется вынужденной. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы при наличии на входе определенного воздействия u(t) или f(t) после окончания переход- ного процесса. Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой опи- сываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис. 4.1.2). Оттянем пру- жину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания коле- баний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной состав- ляющей у вын = y(t∞). Если внешнее воздействие само будет изменяться по сину- соидальному закону P = P o sin(t+), то после затухания переходного процесса сис- тема будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть у вын = y max sin(t+). Только устойчивая система является работоспособной. Основы строгой теории устойчиво- сти динамических систем были разработаны акад. А. М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.). Понятия об устойчивости, вытекающие из этой работы, заклю- чаются в следующем. Если система описывается линейным дифференциальным уравнением, то ее устойчивость не зависит от величины возмущения. Линейная система, устойчивая при малых возмущениях, бу- дет устойчива и при больших. Нелинейные системы могут быть устойчивы при малых возмущени- ях и неустойчивы при больших. Наглядное представление о системах, устойчивых при малых и неустойчивых при больших возмущениях, дает поведение шара во впадине на рисунке слева. При малых воздействиях на шар и его малых отклонениях не выше края впадины шар воз- вращается в исходное положение и система шар - поверхность устойчива. При больших воздейст- виях с отклонением за край впадины шар не возвращается в исходное положение - система неус- тойчива. Поэтому устойчивость систем исследуется отдельно для случая малых и больших возму- щений. Рис. 4.1.2. 3 Проблема устойчивости обычно возникает в замкнутых системах из-за влияния обратной связи. Поэтому в дальнейшем устойчивость исследуется на примерах замкнутых систем, хотя ме- тоды исследования устойчивости универсальны. Условие устойчивости САУ. Применительно к сигналам в САУ частное решение для вынужденной составляющей обычно имеет простой вид, не влияющий на устойчивость. Вопрос устойчивости сводится к выяснению устойчивости свободного движения системы и требует анали- за характера решения уравнения свободного движения, составленного относительно отклонения выходной величины y(t)от установившегося состояния. Как известно, передаточная функция любой линейной динамической системы может быть приведена к виду: W(p) = K(p)/H(p) = = [b 0 p m +b 1 p m-1 +…+b m-1 p+b m ] / [a 0 p n +a 1 p n-1 +…+ a n-1 p+a n ], (4.1.2) где a и b - постоянные коэффициенты, которые представляют собой вещественные числа и выра- жаются через конкретные физические параметры элементов системы. Полином К(р) может не со- держать членов с оператором р и представлять собой произведение коэффициентов передачи звеньев, образующих систему. Важнейшим свойством выражения (4.1.2) является условие n≥m, т. е. порядок полинома Н(р) знаменателя передаточной функции не ниже порядка полинома К(р) ее числителя. Это усло- вие вытекает из физических свойств звеньев реальных динамических систем. Из выражения (4.1.2) передаточной функции системы можно получить дифференциальное уравнение системы в целом, как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии. Уравнения разомкнутых систем. Если выражение (4.1.2) является передаточной функцией разомкнутой системы, то выражение u(р) К(р) = y(p) Н(р), (4.1.3) будет представлять собой операторное уравнение разомкнутой системы (уравнение в изображени- ях переменных). Положив в (4.1.3) u(p)=0, получим операторное уравнение свободного движения в разомкнутой линейной динамической системе: y(p) H(p) = 0. (4.1.4) Переходя в (4.1.4) к оригиналам, т. е. от операторного уравнения к дифференциальному, и обозначив y(t) = х, получаем дифференциальное уравнение свободного движения в разомкнутой линейной динамической системе a 0 d n x/dt n + a 1 d n-1 x/dt n-1 +…+ a n-1 dx/dt +a n = 0 (4.1.5) Характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению (4.1.5), будет Н(р) = 0, a 0 p n +a 1 p n-1 +…+ a n-1 p+a n = 0. (4.1.6) Отсюда следует: приравненный нулю знаменатель передаточной функции разомкнутой ли- нейной динамической системы является характеристическим уравнением, соответствующим диф- ференциальному уравнению разомкнутой системы. В связи с этим многочлен Н(р)=0 называется характеристическим оператором системы. Уравнение замкнутых систем. Пусть (4.1.2) является передаточной функцией разомкну- той системы. Для замкнутой системы в силу отрицательной главной обратной связи имеем u(t) = - y(t), и (4.1.3) принимает вид -К(р) y(р) = Н(р) y(р). Операторное уравнение свободного движения в замкнутой системе: [К(р)+Н(р)]y(р) = 0, (4.1.7) где К(р), Н(р) - соответственно числитель и знаменатель передаточной функции разомкнутой сис- темы; y(р) — изображение координаты системы в точке ее замыкания. На основании (4.1.7) можно записать характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению свободного движения в замкнутой системе К(р) + Н(р) = 0. (4.1.8) C учетом того, что W oc (p) = 1, передаточная функция замкнутой системы: W зс (p) = W(p)/[1 + W(p)], (4.1.9) где W(p)=K(p)/H(p) - передаточная функция разомкнутой системы. Или: W зс (p) = K(p)/[K(p) + H(p)] = K(p)/H зс (p). (4.1.9') 4 На этом основании характеристическое уравнение замкнутой системы можно записать в виде H зс (р) = K(p) + H(p) = 0. (4.1.10) Таким образом, приравненная нулю сумма полинома числителя и полинома знаменателя передаточной функции разомкнутой системы или приравненный нулю полином знаменателя пере- даточной функции замкнутой системы являются характеристическим уравнением, соответствую- щим дифференциальному уравнению свободного движения в замкнутой системе. Корни характеристических уравнений систем могут быть либо вещественными, либо по- парно комплексно сопряженными. Решение однородного уравнения выражается через корни ха- рактеристического уравнения и коэффициенты перед экспонентами, которые могут быть вычисле- ны через вычеты: у св (t) = N 1 n С n exp(p n t). (4.1.11) Условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе сво- бодная составляющая решения уравнения динамики, записанного в отклонениях, должна стре- миться к нулю, то есть затухать. Из формулы (4.1.11) нетрудно вывести условие устойчивости линейных динамических сис- тем: линейная система будет устойчива, если все вещественные корни и все вещественные части комплексных корней характеристического уравнения, соответствующего исходному дифференци- альному уравнению свободного движения системы, будут отрицательными, что дает затухающие по экспоненте решения. Если имеются чисто мнимые корни, то в переходном процессе будут гар- монические незатухающие компоненты. Каждому отрицательному вещественному корню i соответствует экспоненциально затухающая во вре- мени составляющая у св (t) i , каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует у св (t) i = const (рис. 4.1.3). Пара комплексно сопряжен- ных корней с отрицательной вещест- венной частью определяет затухаю- щие колебания с частотой i , при положительной вещественной части - расходящиеся колебания, при нуле- вой - незатухающие (рис. 4.1.4). Исходя из расположения на комплексной плоскости, корни с отрицательными вещественными частями называются левыми, с положительными - правыми (рис. 4.1.5). Поэтому условие устойчи- вости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и доста- точно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю, а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебатель- ной устойчивости. Таким образом, исследование устойчивости системы сводится к определению знаков веще- ственных частей корней характеристического уравнения системы. Но решение уравнений четвер- той и более высоких степеней может встречать затруднения. Поэтому применяются косвенные ме- тоды анализа устойчивости без определения корней характеристического уравнения, по опреде- ленным критериям устойчивости. Проверку факта отрицательности вещественных частей корней можно выполнять тремя способами: Рис. 4.1.3. Рис. 4.1.4. Рис . 4.1.5. 5 - вычислив корни непосредственно, с использованием готовых программ; - связав расположение корней с коэффициентами характеристического уравнения для по- следующего аналитического исследования; - судить об устойчивости по частотным характеристикам системы. Первые два способа называют алгебраическими, последний - частотным. В инженерной практике необходимо иметь эффективные и удобные правила проверки устойчивости. Однако сам по себе критерий устойчивости не обязан быть необходимым и достаточным условием устойчиво- сти системы. Алгебраические критерии устойчивости. Необходимое условие устойчивости. Если все корни характеристического уравнения ле- вые (вещественные части всех корней отрицательны), то все коэффициенты уравнения имеют один знак, т.е. все значения a n либо больше нуля, либо меньше нуля одновременно. Равенство коэффи- циентов нулю не допускается (граница устойчивости). Доказательство очень простое и заключает- ся в разложении полинома на простейшие множители. Они могут быть вещественные или ком- плексно - сопряжѐнные. Объединим последние в пары и перемножим, при этом в скобках нет ни одного отрицательного числа, а, следовательно, знак всех членов характеристического уравнения будет определяться знаком коэффициента a 0 . В дальнейшем будем рассматривать только уравне- ния, где a 0 > 0. В противном случае уравнение умножается на -1. Рассмотренное условие при порядке системы больше 2 является необходимым, но не доста- точным условием, и применяется для отсеивания заведомо неустойчивых систем. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица. Критерий Рауса. Используется в виде алгоритма, по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения: 1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания; 2) во второй строке – аналогично коэффициенты с нечетными индексами; 3) остальные элементы таблицы определяется по формуле: c k,i = c k+1,i-2 - r i c k+1, i-1 , где r i = c 1,i- 2 /c 1,i-1 , i ≥3 - номер строки, k - номер столбца. 4) Число строк таблицы на единицу больше порядка характеристического уравнения. r i i\k 1 2 3 4 - 1 c 11 = a 0 c 21 = a 2 c 31 = a 4 - 2 c 12 = a 1 c 22 = a 3 c 32 = a 5 r 3 = c 11 /c 12 3 c 13 = c 21 -r 3 c 22 c 23 = c 31 -r 3 c 32 c 33 = c 41 -r 3 c 42 r 4 = c 12 /c 13 4 c 14 = c 22 -r 4 c 23 c 24 = c 32 -r 4 c 33 c 34 = c 42 -r 4 c 43 Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса c 11 , c 12 , c 13 ,... были положительными. Если это не выполняется, то система неустойчива, а количество правых корней равно числу перемен знака в первом столбце. Достоинство - критерий прост в использовании независимо от порядка характеристического уравнения. Он удобен для использования на ЭВМ. Его недостаток - малая наглядность, трудно су- дить о степени устойчивости системы, насколько далеко отстоит она от границы устойчивости. |