Задачи. Основная часть Расчет электрической цепи постоянного тока

• Название: Основная часть Расчет электрической цепи постоянного тока
• Дата: 14.09.2022
• Размер: 7.24 Mb.
• Имя файла: Задачи.docx
• Тип: Задача; #677231

Основная часть

Расчет электрической цепи постоянного тока

Задача № 1

1. 
   Упростить схему, заменив последовательно и параллельно соединенные резисторы четвертой и шестой ветвей эквивалентными. Дальнейший расчет вести для упрощенной схемы.
   
2. 
   Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.
   
3. 
   Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы.
   
4. 
   Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.
   
5. 
   Результаты расчета токов, проведенного двумя методами, свести в таблицу и сравнить между собой.
   
6. 
   Составить баланс мощностей в исходной схеме (схеме с источником тока) вычислив суммарную мощность нагрузок (сопротивлений).
   
7. 
   Определить ток I₁ в заданной по условию схеме с источником тока, используя метод эквивалентного генератора.
   
8. 
   Начертить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура включающего обе ЭДС.
   

Таблица 1.1- Исходные данные варианта 79.

R1	R2	R3	R'4	R"4	R5	R'6	R"6		E1	E3		J1	J3
Ом								В			А
12,5	17,5	25	5	5	37,5	175	70		45	75		0,6	0

Рис. 1. 1 Исходная электрическая схема цепи

1. Упростим схему, заменив последовательно и параллельно соединенные резисторы четвертой и шестой ветвей эквивалентными. Дальнейший расчет вести для упрощенной схемы.



Рис. 1.2 Упрощенная схема цепи
R₄ = R'₄ + R"₄= 5+5= 10 (Ом);

R₆ = (R'₆ * R''₆) / (R'₆ + R''₆) = (175*70) / (175+70) = 50 (Ом);

E_Т = R₁J₁ = 0,6*12,5 = 7,5 (В).

2. Определим токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.

Выбираем независимые контуры и направления контурных токов в каждом из них(I₁₁, I₂₂, I₃₃).

На основании второго закона Кирхгофа составляем систему уравнений для контурных токов I₁₁, I₂₂, I₃₃:

к₁₁: (R₁+R₂+R₄)I₁₁– R₄I₂₂ +R₁I₃₃ =Е₁-E_т

к₂₂: –R₄I₁₁ + (R3+R4+R5)I₂₂+R₅I₃₃ = Е₃

к₃₃: R₁I₁₁+R₅I₂₂ + (R₁+R₅+R₆)I₃₃ = E₁ – E_T

Подставляем значения R и Е в данной системы:

к₁₁: (12,5+17,5+10)I₁₁ –10I₂₂ + 12,5I₃₃ =45-7,5

к₂₂: –10I₁₁ + (25+10+37,5)I₂₂ +37,5I₃₃ =75

к₃₃: 12,5 I₁₁ + 37,5I₂₂ + (12,5+37,5+50)I₃₃ =45– 7,5

к₁₁: 40I₁₁ – 10I₂₂ +12,5I₃₃ = 37,5

к₂₂: –10I₁₁ + 72,5I₂₂ +37,5I₃₃ = 75

к₃₃: 12,5I₁₁ +37,5I₂₂ + 100I₃₃ = 37,5

Находим контурные токи, используя определители:

Δ = = 203046.875

Δ₁ = = 281250
Δ₂ = = 282421.875
Δ₃ = = −64921.875

I₁₁ = = = 1,385 (А)

I₂₂ = = = 1,391 (А)

I₃₃ = = = -0,319 (А)

Выразим истинные токи через контурные:

I'₁= I₁₁+I₃₃=1,385-0,319=1.065 (А)

I₂=I₁₁ = 1,385 (A)

I₃=I₂₂=1,391 (A)

I₄=I₂₂–I₁₁=1.391–1,385 =0,006 (A)

I5=I₂₂+I₃₃=1,391–0,319=1,071 (A)

I­­₆=I₃₃= -0,319 (A)

В ветви, содержащей E_T, истинное значение тока I₁ находим по исходной схеме, используя первый закон Кирхгофа для узла m, предварительно проставив направление найденного значения I’₃ и заданного J₁:

I₁= I’₁ + J₁ = 1,065+ 1= 2,065 (A)

3. Составим на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы.

Осуществляем проверку найденных токов по 1-му закону Кирхгофа:

узел a: I₂ + I₄ –I₃= 0

узел b: I₃– I₅ + I₆ = 0

узел c: I₁ - I₆ – I₂–J₁ = 0

узел d: I₅ – I₁ – I₄ +J₁=0

узел a: 1,385 + 0,006– 1,391= 0

узел b: 1,391– 0,319 – 1,071= 0

узел c: 2,065+0,32 – 1,385– 1= 0

узел d: 1,07 – 2,065 – 0,006+ 1 =0

Осуществляем проверку найденых токов по 2-му закону Кирхгофа:

к₁₁: R₁I₁+R₂I₂ – R₄I₄= E₁

к₂₂: R₃I₃ +R₄I₄+R₅I₅ = Е₃

к₃₃: R₁I₁ + R₅I₅+ R₆I₆ = E₁

к₁₁: 12,5*2,065 +17,5*1,386 – 10*0,006=29,994

к₂₂: 25*1,391 +10*0,006 +1.075*37,5 = 44,9985

к₃₃: 12,5*2,065 + 37,5*1,072 – 70*0,319 = 30.015

к₁₁: 29,994 ≈ 30 (В)

к₂₂: 44,9985 ≈ 45 (В)

к₃₃: 30,015 ≈ 30 (B)

4. Определим токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.

Система для расчета потенциалов в узлах, составленная из схемы: Рис 1.2.

узел a: (g₂+g₃+g₄)φ_a – g₃φ_b– g₂φ_c = E₃g₃

узел b: –g₃φ_a + (g₃+g₅+g₆)φ_b– g₆φ_c = – E₃g₃

узел c: –g₂φ_a–g₆φ_b+ (g₁+g₂+g₆)φ_c =(E_T – E₁)g₁

Найдем проводимости ветвей:

g₁=1/R₁=1/12,5= 0,08 (Oм^-1)

g₂=1/R₂=1/17,5= 0,057 (Oм^-1)

g₃=1/R₃=1/25= 0,04 (Oм^-1)

g₄=1/R₄=1/10= 0,1 (Oм^-1)

g₅=1/R₅=1/37,5= 0,026 (Oм^-1)

g₆=1/R₆=1/50= 0,02 (Oм^-1)

Подставляем коэффициенты g и E данную систему:

узел a: 0,197φ_a – 0,04φ_b – 0,057φ_c = 3

узел b: –0,04φ_a + 0,086φ_b– 0,02φ_c = – 3

узел c: – 0,057φ_a– 0,02φ_b+ 0,157φ_c = – 3

Находим потенциалы узлов, используя определители:

Δ = = 0,00914916

Δ₁ = = 0,00187033557
Δ₂ = = – 0,22052129
Δ₃ = = – 0,13274521
φ_a= = = 0,031 (B)

φ_b = = = –24,1029 (B)

φ_c = = = –14,509 (B)

φ_d = 0 (B)

Находим истинные токи:

I'₁= (φ_c – φb+E₁-E_т)g1 = (-14,509+30-7,5)*0,1333 = 1,065 (A)

I₂ = (φa– φ_c )g₂ = ( 0,0317-14,509)*0,0952 = 1,384 (А)

I₃=(φ_b – φ_a + E₃ )g₃=(-24,1029-0,0317+45)*0,0666 = 1,389 (А)

I₄=(φ_a – φ_d)g₄= (0,0317-0)*0,1666 = 0,005 (А)

I₅=(φ_d – φ_b)g₅=(0 +24,1029)*0,444= 1,074 (А)

I₆=(φ_c – φ_b)g₆=(–14,509+24,1029)*0,333 = 0,319 (А)

5. Результаты расчета токов, проведенного двумя методами, свести в таблицу и сравнить между собой.

Таблица 1.2 - Результаты расчета токов.

Метод \ Ток (А)	I1’	I2	I3	I4	I5	I6
Контурных токов	1,065	1,388	1,391	0,006	1.071	0,319
Узловых потенциалов	1,065	1,384	1,389	0,005	1,704	0,319
Эквивалентного генератора

6. Составить баланс мощностей в исходной схеме (схеме с источником тока) вычислив суммарную мощность нагрузок (сопротивлений).

P_{ист. эн.} =P_{нагрузки}

P_{ист. эн.} = J₁I₁R₁ + E₃I₃ + E₁I’₁ =0,6*12,5*2,065+75*1,391+45*1,06= 15,4875+104,325+47,7= 167,5125 (Вт)

P_{нагрузки}=I₁²R₁ + I₂²R₂ + I₃²R₃ + I₄²R₄ + I₅²R₅ + I₆²R₆ = 34,65+33,714 + 48,37 + 0.00036 + 43,014+5,088 = 167,836 (Вт)

167,5125 = 167,836 (Вт)

Допускается расхождение баланса активных мощностей

ΔP= *100%= *100%= 0,19% ＜0,5%

7. Определим ток I₂ в заданной по условию схеме с источником тока, используя метод эквивалентного генератора.

Выделим ветвь с I₂ из схемы, а оставшуюся часть схемы представим в виде активного двухполюсника – эквивалентного генератора.



Рис 1. 4 Схема цепи с оборванной ветвью

I₂ = U_{ac xx}/(R_вх+ R₁)
Для нахождения U_{ac xx} применим метод контурных токов:

к₁₁: (R₃+R₄+R₅)I₁₁ + R₅I₂₂ = Е₃

к₂₂: R₅I₁₁ + (R₁+R₅+R₆)I₂₂ = E₁ – E_T

Подставляем значения R и E в данную систему:

к₁₁: (25 + 10 + 37,5)I₁₁ + 37,5I₂₂ = 75

к₂₂: 37,5I₁₁ + (12,5 + 37,5 + 50)I₂₂ = 37,5

к₁₁: 72,5I₁₁ + 10I₂₂ = 75

к₂₂: 10I₁₁ + 100I₂₂ = 37,5

Находим контурные токи, используя определители:

Δ= = 5843.75

Δ₁= = 6093.75

Δ₂= = −93.75

I₁₁ = = = 1,052 (А)

I₂₂ = = = -0,0337 (А)

Рассчитаем истинные токи в ветвях:

I₁ = I₂₂ = ｜-0,0337｜=0,0337 (A)

I₄=I₁₁= 1,052 (A)

Выразим U_{ac xx}по второму закону Кирхгофа:

U_{ac xx} – I₁R₁ – I₄R₄ = E₁–E_т

U_{ac xx}= I₁R₁ + I₄R₄ +E₁–Eт = 45-7,5+10*1,052+12,5*0,0337 = 48,441 (В)

Внутреннее сопротивление эквивалентного источника равно входному сопротивлению относительно выводов « c-a » пассивного двухполюсника. Входное сопротивление двухполюсника относительно выводов «c-a» определяется при устранении из схемы активного двухполюсника всех источников (ветви с источниками тока разрываются, а источники ЭДС в ветвях закорачиваются).



Рис. 1.4 Схема без источников ЭДС

Чтобы рассчитать R_aх.bc нужно свернуть цепь, то есть предварительно от треугольника R₄, R₃, R₅ перейти к эквивалентной звезде R_a, R_b, R_d:



Рис. 1.5 Схема замещения (пассивная)
Рассчитаем сопротивления лучей эквивалентной звезды:




R_a=(R₃R₄)/(R₃+R₄+R₅)=(25*10)/(25 + 10 + 37,5)= 3,448 (Ом)

R_b=(R₄R₅)/( R₃+R₄+R₅)=(10*37,5)/( 25 + 10 + 37,5) = 5,17 (Ом)

R_d=(R₃R₅)/( R₃+R₄+R₅)=(25*37,5)/(25 + 10 + 37,5 ) = 12,93 (Ом)

R_вх.BC = R_a + (R_b + R₁)*(R_d + R₆) / (R_d + R₁ + R_b + R₆) = 3,448 + (5,17 + 12,5)*(12,93 + 50) / (5,17+ 12,5 + 12,93 + 50) = 17,2445 (Ом)
Подставим найденные значения R_вх.ac и U_{ac xx} и найдем I₂:
I₂ = U_{ac xx}/(R_aх.bc+ R₂) = 48,441/ (17,2445 + 17,5) = 1,394 (A)

8. Начертить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура включающего обе ЭДС.

Потенциальная диаграмма для контура "cmdbnac"

φ_c= 0 (B)

φ_m= φ_c – R₁I₁ = – 15,49 (B)

φ_d= φ_m – E₁= – 15,49 + 30 = 14,51 (B)

φ_b= φ_d –I₅R₅ = 14,51 – 22,5*1,071 = -9,58 (B)

φ_n= φ_b – R₃I₃ = -9,58 – 20,865 = – 30,45 (B)

φ_a= φ_n + E₃= –30,45 + 45 = 14,55 (B)

φ_c= φ_a – R₂I₂= 14,55 – 14,54 = 0,01 ≈ 0 (B)



Рис. 1.6 Потенциальнвя диграмма

II. Расчет цепи переменного синусоидального тока

Задача 2.

1. 
   Определить комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись одним из методов расчета линейных электрических цепей.
   
2. 
   По результатам, полученным в пункте 1, определить показания ваттметра.
   
3. 
   Построить совмещенную векторную диаграмму для токов и напряжений.
   
4. 
   На основании законов Кирхгофа составить в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи в двух формах: дифференциальной и символической.
   

Таблица 2.1. Исходные данные варианта 79

Рисунок					f
	мкФ		мГн	Ом	Гц	В
1.23	4	1,6	200	25	200

Рис. 2.1 Исходная схема цепи

Упростим схему цепи, обозначив комплексы всех величин:



Рис. 2.2 Упрощенная схема цепи.
Находим комплексные значения действующих ЭДС:








Производим расчет угловой частоты:

Находим величины сопротивлений всех реактивных элементов цепи:



71 го тока.




Составим систему уравнений по методу контурных токов:



Подставляем известные , , и :



Подсчитываем коэффициенты:



Решаем полученную систему методом Крамера; вычисляем определители системы:






Находим контурные токи:





Перейдем от контурных токов к токам в ветвях:









Рассчитываем показания ваттметра:





Находим сопряжённый комплекс:





Рассчитываем падения напряжений для построения векторной диаграммы:















Составим уравнения на основании законов Кирхгофа.

Дифференциальная форма:







Символическая форма:






Построим потенциальную диаграмму, выбрав m =1 А/см, m =200 В/см:






Рис. 2.3 Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений

III. Расчет переменной трехфазной цепи синусоидального тока

1. 
   Рассчитать токи;
   
2. 
   Определить мгновенное значение напряжения между точками b c;
   
3. 
   Подсчитать активную мощность трехфазной системы;
   
4. 
   Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
   

Таблица 3.1 -Исходные данные варианта № 79

EA	T	L	C1	R2	Определить Ubc
В	c	мГн	мкФ	Ом
60	0,04	69,69	1273,9	17,32

Рис. 3.1 – Исходная схема электрической цепи

Для того, чтобы найти токи, необходимо, в первую очередь, рассчитать комплексные действующие значение ЭДС генератора:







Угловая частота колебаний:



Сопротивления реактивных элементов:




Рассчитаем сопротивление участка ao’:


Рассчитаем общее сопротивление одной фазы:


Теперь рассчитаем токи:

А
А
А

Определим мгновенное значение напряжения между заданными точками b, c.



Далее подсчитаем активную мощность трехфазной системы:

P = 3P_A
P_a = Re[ ]

= 3 (A)
P_a = Re[60*3 ] = Re[180 ] = 155 Вт

Р = 3*155 = 465 Вт

Теперь построим совмещенную векторную диаграмму токов и напряжений на каждом участке цепи. Для этого рассчитаем необходимые падения напряжений:






С троим диаграмму, учитывая направления токов и напряжений.
mU = 20

mI = 1

Рис. 3.2 – Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений