уровни математической грамотности. уровни мат грамотности. Основные подходы к оценке математической грамотности Оценка математической грамотности в исследовании pisa2012
 Скачать 0.88 Mb.
|
|
Изменение и зависимости. Естественный и воображаемый мир демонстрирует много временных и постоянных зависимостей между объектами и обстоятельствами, где изменения происходят внутри системы взаимосвязанных объектов или объекты влияют друг на друга. В этих условиях требуется распознать фундаментальные типы изменений и использовать адекватные математические модели для описания и предсказания изменения. Математически это означает моделирование изменения с помощью соответствующих функций, уравнений, неравенств, а также разработку, интерпретацию и перевод между символьной, табличной и графической формами представления зависимостей (см. задания «Скорость падения капель», вопросы 1, 3; «Поездка на машине», вопросы 1, 3). Пространство и форма. Эта область охватывает широкое разнообразие явлений, которые окружают нас в видимом мире: расположение и ориентация, представление и свойства объектов. Геометрия служат главной основой, привлекая пространственное воображение, измерения и алгебру. Центральными являются формулы измерения геометрических величин. Учащимся приходится выполнять такие действия, как понимание перспективы рисунка, создание и чтение карт, трансформация форм, интерпретация трёхмерных изображений, построение фигур (см. задания «Садовник»; «Парусные корабли», вопрос 2; «Вращающаяся дверь», вопросы 1, 2). Количество. Понятие количества является самым распространенным и существенным аспектом при рассмотрении явлений и объектов, с которым приходится иметь дело в окружающем нас мире. На количествах базируются выражение в количественной форме свойств объектов, закономерностей, ситуаций и величин, понимание различных представлений этих количественных форм, интерпретация и аргументирование. Необходимость иметь дело с количественными представлениями в мире требует понимания измерений, счета, величин, единиц измерения, числовых трендов и закономерностей. Существенную часть математической грамотности в области «Количество» составляют аспекты количественных рассуждений, которые связаны со смыслом числа, различными представлениями чисел, изяществом вычислений, вычислениями в уме, оценкой разумности результатов (см. задания «Парусные корабли», вопрос 1; «Вращающаяся дверь», вопрос 3). Числовое выражение – основной метод для описания и измерения множества свойств различных объектов мира. Он обеспечивает возможность моделирования ситуаций, изучения изменений и зависимостей для описания и манипулирования пространства и форм, для организации и интерпретации данных, для измерения и оценки неопределенности. Математическая грамотность в области «Количество» включает применение знания чисел и операций с ними в разнообразных ситуациях, представленных в рамках всех категорий содержательной области. Неопределенность и данные. В науке, технологии и повседневной жизни неопределенность является непреложным фактом. Она характерна для многих проблемных ситуаций: научных прогнозов, результатов опросов, прогнозов погоды, экономических моделей. Анализ неопределенности включает: распознавание неопределенности, место вариации в процессе, понимание смысла и количественного выражения этой вариации, определение ошибки измерения, определение шансов наступления того или иного события. Кроме того, при рассмотрении неопределенности требуется формирование, интерпретация и оценка выводов. Представление и интерпретация данных – ключевые понятия в этой области (см. задания «Бытовые отходы»; «Продажа музыкальных дисков», вопросы 1,3). 8 Перечень знаний, умений, способностей, необходимых для успешного функционирования в современном обществе В исследованиях, которые ставят перед собой задачу оценки учебных достижений учащихся, традиционную для мониторинговых исследований в области оценки подготовки учащихся, разработка инструментария обычно осуществляется на основе содержания программы по математике и программных требований к подготовке учащихся (примером такого исследования является TIMSS). При этом учащимся в основном предлагаются учебные задачи разного уровня сложности, в большинстве случаев не характерные для повседневной жизни учащихся, но позволяющие проверить умение применять изученные знания в стандартных или нестандартных учебных ситуациях. При разработке исследования PISA использован другой подход – был подготовлен отчет экспертов относительно того, какие задачи, возникающие в повседневной жизни, приходится разрешать средствами математики, и затем были определены именно те математические знания и умения, которые требуются для решения подобных задач. Очевидно, что эти знания не должны были выходить за рамки школьных программ. В то же время не ставилась цель проверить те знания, которые не находили явного применения в повседневной жизни. Поэтому не удивительно, что объем этих знаний и умений оказался существенно уже по сравнению с тем, который формируется в школьном курсе математики. Для успешного понимания и решения контекстных проблем, предложенных в тестах исследования PISA, требуется владеть рядом математических понятий, процедурами, фактами и инструментами на определенном уровне понимания и глубины усвоения. Этот отбор был сделан на основе анализа стандартов по математике 11 развитых стран мира, в числе которых были страны, показавшие в исследованиях PISA самые высокие результаты. Учитывалось, какие знания эти страны считали реально достижимыми и необходимыми для обеспечения возможности учащихся начать работать или поступить в институты для получения высшего образования, а также обеспечивают ли эти знания возможность 15-летним учащимся быть конструктивными, заинтересованными и размышляющими членами современного общества. Ниже приводится составленный разработчиками концепции исследования перечень математических тем, владение которыми необходимо для успешного выполнения тестовых заданий в исследовании PISA-2012 6 . Он не является исчерпывающим, но позволяет составить представление о тематике математического содержания, предметных знаниях и умениях. Предметные знания, умения Функции: Понятие функции, причем основное внимание уделяется линейным функциям, но не сводится только к ним, их свойства, разнообразные формы их описания и представления. Обычно используются такие формы представления функции, как словесная, символьная, табличная и графическая. Алгебраические выражения: Словесная интерпретация и операции с алгебраическими выражениями, работа со значениями переменных, символами, подстановка значений переменных и вычисление значения выражения. Уравнения и неравенства: Линейные уравнения, системы линейных уравнений и неравенства, простые квадратные уравнения, аналитические и неаналитические методы решения (например, метод «проб и ошибок»). Система координат: Представление и описание данных, их расположения и зависимостей. 6 OECD (2013), PISA 2012 Assessment and Analytical Framework: Mathematics, Reading, Science, Problem Solving and Financial Literacy, OECD Publishing. p. 35-36 9 Отношения в рамках геометрического объекта и среди геометрических объектов в двумерном и трёхмерном пространстве: Статические отношения такие, как алгебраические связи между элементами фигур (например, Теорема Пифагора, определяющая отношение между длинами сторон прямоугольного треугольника, соотношения между сторонами треугольника), относительное расположение, равенство и подобие, динамические зависимости, включая движения объектов на плоскости и в пространстве, а также соотношения между двумерными и трёхмерными объектами. Соотношения между углами при двух параллельных прямых и секущей. Формулы площади треугольника, периметра и площади прямоугольника. Пространственные фигуры и их свойства (прямоугольный параллелепипед, сфера, конус, цилиндр), формулы вычисления площадей поверхности и объема. Измерения: Количественная характеристика свойств фигур и объектов, между фигурами и объектами, величины углов, расстояний, длины, периметра, окружности, площади и объема. Числа и единицы измерения: Понятие о числе, представление чисел и систем счисления, свойства целых и рациональных чисел, первоначальные представления об иррациональных числах. Значения и единицы измерения таких величин, как время, деньги, масса, температура, расстояние, площадь, объем, а также производных величин (например, скорости - км/ч) и их численное выражение. Арифметические и алгебраические операции: Смысл и свойства этих операций и принятых соглашений (например, законов), включая возведение чисел в натуральную степень и извлечение простых квадратных корней. Проценты, отношения и пропорции: Вычисление их величины, применение пропорций и прямо пропорциональных отношений для решения проблем. Оценка: Отвечающие поставленной цели приближенные значения величин и числовых выражений, включая значимые цифры и округление. Принципы подсчётов: Простые сочетания и перестановки (в расчете на способ перебора вариантов). Набор данных, представление и интерпретация: Природа, происхождение, наборы разнообразных данных, различные способы их представления и интерпретации. Изменчивость данных и её описание: Такие понятия, как изменчивость, распределение, центральная тенденция набора данных, способы описания и интерпретации этих данных в количественных выражениях. Выборки и составление выборок: Понятие выборки и выбора из совокупностей данных, включая простые выводы на основе свойств выборок. Случайность и вероятность: Понятие случайного события, случайное изменение и его представление, частота и вероятность событий, основные аспекты понятия вероятности. Метапредметные умения Тестовые задания по математике в исследовании PISA предлагаются учащимся в контекстной форме. К каждому заданию дается описание некоторой ситуации и предлагается от 1 до 3 вопросов, в которых ставятся проблемы, которые надо решить, пользуясь информацией, предложенной в описании ситуации и в самом вопросе. Поэтому успешность выполнения этих заданий существенно зависит не только от предметных знаний, но и от овладения учащимися стратегиями смыслового чтения и умения работать с текстом. К ним следует отнести, например, такие виды деятельности: – решать учебно-познавательные и учебно-практические задачи, требующие полного и критического понимания текста; – удерживать условия задания в процессе решения; 10 – самоконтроль за выполнением условий (ограничений) в описании ситуации при нахождении решения и интерпретации полученного решения в рамках предложенной ситуации; – работать с информацией, представленной в различной форме (текста, таблицы, диаграммы столбчатой или круговой, схемы, рисунка, чертежа с обозначением видимых и невидимых элементов геометрической фигуры) в контексте конкретной проблемы. Кроме того, успешность в проявлении математической грамотности существенно зависит от овладения познавательными универсальными действиями логического и алгоритмического характера, общим приёмом решения задач, которые в значительной степени формируются при изучении математики. Следует отметить, что приведенный выше перечень предметных знаний, умений в основном не выходит за рамки требований к математической подготовке выпускников основной российской школы, представленных в стандарте 2004 года и в Примерной основной образовательной программе образовательного учреждения, которая разработана в соответствии с требованиями стандарта 2009 г. 7 Характер тестовых заданий по математике. Структура вариантов тестов Задания по математике включали словесное описание ситуации, к которому нередко прилагалась дополнительная информация в форме таблиц, диаграмм, графиков, рисунков, схем, а также один или более вопросов, связанных с этой ситуацией. В ряде вопросов давалось дополнительное описание (условия или количественные данные) ситуации, предложенной в начале задания. При этом во многих случаях для ответа на последующие вопросы надо было использовать не только данные из описания ситуации, но и данные, полученные при ответе на предыдущие вопросы. В целом ситуации подбирались настолько близкими к реальным, насколько это было возможно, учитывая ограниченное время на тестирование учащихся. При составлении и отборе математических заданий, обеспечивающих проверку трех установленных видов познавательной деятельности, предпочтение было отдано «применению»: «Формулировать» – 25% заданий, «Применять» – 50%, «Интерпретировать» – 25%. Такое распределение заданий позволило сбалансировать примерно одинаковое внимание к двум видам деятельности, которые обеспечивают связь между реальным миром и математикой («Формулировать» и «Интерпретировать»), и к такому виду деятельности, как работа с математическими проблемами («Применять»). По 4 содержательным областям и по 4 категориям контекста задания были распределены в равной мере – примерно по 25% на каждую область и каждую категорию контекста. В тестах использовались три типа заданий: с выбором ответа, с закрытым свободным ответом и открытым свободным ответом. Выполнение заданий с выбором ответа, когда из готовых вариантов надо было выбрать один или несколько верных ответов, в основном оценивалось автоматически с помощью компьютера. Автоматически оценивалось и выполнение заданий с закрытым свободным ответом, когда требовалось записать только краткий определенный ответ в виде конкретного числового значения, слова (см. задание «Вращающаяся дверь», вопрос 2). Выполнение заданий, где требовалось записать в свободной форме решение или объяснение полученного ответа, оценивали эксперты на основе критериев, разработанных для каждого задания (см. задания «Парусные корабли», вопрос 3; «Скорость падения капель», вопрос 1). Таким образом, все задания по математике были классифицированы по 4 категориям: виду познавательной деятельности (3 вида), области содержания (4 области), контексту (4 ситуации) и типу требуемого ответа на задание (3 типа). 7 Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Основная школы / [сост. Е.С. Савинов]. – М.: Просвещение, 2011. – 342 с. – (Стандарты второго поколения), с. 34-36, 66-72, 205-210 11 При тестировании учащимся разрешалось пользоваться калькулятором, так как это принято в школе. Для получения ответа на большинство математических заданий вычисления были несложными. Только в нескольких заданиях преимущество калькулятора было явным, так как существенно экономило время. Трудность заданий зависит от степени активации фундаментальных способностей, состояние которых определяет уровень математической грамотности. Оценка трудности экспериментальных тестовых заданий проводилась в процессе предварительных исследований на ограниченных выборках учащихся различных стран-участниц. На основе результатов этой проверки были отобраны тестовые задания, которые широко варьировались по трудности и соответствовали возможностям учащихся с разным уровнем состояния фундаментальных математических способностей – от наиболее до наименее способных. В результате для тестов, которые предлагались на бумаге, были составлены 9 групп заданий, каждая рассчитана на 30 мин времени тестирования. Из них 3 группы включали задания из тестов, которые использовались в предыдущих циклах исследования, 4 группы («стандартные») содержали задания, составленные на новом материале, которые широко варьировались по трудности, а 2 группы («облегченные») были составлены на более легком материале. Включение заданий прежних лет обеспечивало возможность сравнения результатов, показанных странами в разных циклах исследования. Варианты тестов для более развитых стран, включая и Россию, были составлены по определенной технологии с использованием 7 групп заданий: 3 группы – задания прежних лет и 4 группы – новые «стандартные» задания. Для менее развитых стран использовались не «стандартные», а облегченные по трудности задания. В каждом варианте теста были 4 группы заданий (120 мин) по математике, чтению и естественным наукам. Каждая группа содержала 12-13 заданий. Оценка компьютерной грамотности Широкое использование компьютеров во всех областях повседневной жизни современного общества привело к тому, что компетентность в математической грамотности с очевидностью должна включать владение компьютером. Поэтому в исследовании 2012 года приведенные в определении математической грамотности слова «…использование … инструментов…» (см. определение на с. 1) относятся не только к таким инструментам, как линейка и транспортир, но и к калькулятору и компьютеру. Таким образом, в исследовании 2012 года планировалось контролировать аспекты математики и информационно-коммуникационных технологий (ICT). Для оценки этой стороны математической грамотности в 2012 г. в тесты по математике впервые были включены задания на компьютере, ответы на которые учащиеся сами вводят в компьютер. Выполнение этих заданий было связано с применением математики с помощью использования компьютера и калькулятора. Следует отметить, что при их выполнении требования к овладению использованием компьютера были гораздо ниже, чем к овладению математикой. Компьютер предлагает инструменты для проведения вычислений, создания зрительных образов, модификации изображений и проведения исследований с разнообразными математическими объектами, явлениями и процессами. Использование компьютера позволило включить новые типы заданий, с которыми можно работать в диалоговом режиме, предлагать значительные по объему базы реальных статистических данных, движущиеся объекты, трёхмерные объекты и возможность их трансформации, использовать цвет, графики, диаграммы, схемы, чтобы сделать тестовые задания более привлекательными для учащихся. Важно отметить, что использование заданий, предлагаемых на компьютере, обогатило содержание тестов, связанных с каждой из четырех содержательных областей, выделенных в исследовании. 12 Так, в заданиях, связанных с областью «Изменение и зависимости», были представлены динамические изображения и возможность ими манипулировать. Например, изменение во времени (процессы роста или движения) можно было представить с помощью компьютерного моделирования посредством связанных между собой функций, графиков и таблиц с данными. Это позволило обеспечить возможность учащимся самим поработать с данными, изменять параметры, создавать таблицы значений переменных, проводить эксперименты с геометрическими зависимостями, организовывать данные и вычислять по формулам. То есть расширило возможность оценки готовности учащихся применять математику. Задания на компьютере в области «Пространство и форма» дают возможность учащимся манипулировать с динамическими представлениями форм и исследовать зависимости в рамках некоторого объекта или между несколькими геометрическими объектами, расположенными в пространстве, поворачивая их с целью получения точного образа. Эта технология позволяет учащимся интегрировать знание геометрии с визуальной информацией для построения точной модели. Учащиеся могут выбрать и использовать виртуальные измерительные инструменты для выполнения измерений на плане, изображении и модели. Задания на компьютере в области «Количество» позволяют учащимся использовать широкие вычислительные мощности современной технологии. Она освобождает учащихся от бремени объемных вычислений и позволяет сосредоточиться на стратегии решения проблемы, но не уменьшает необходимость глубокого понимания математики. Интеграция современной технологии в исследование позволяет включать задания, которые требуют такого уровня числовых и статистических вычислений, которые были невозможны при выполнении тестов на бумаге, занимая слишком много времени. Задания на компьютере в области «Неопределенность и данные» обеспечивают возможность работать с большими наборами статистических данных, характерными для описания многих реальных явлений, автоматизировать сложные вычисления. Учащимся предоставляется возможность выбора соответствующих инструментов для работы с данными, их представления и анализа. Использование компьютера позволяет генерировать случайные исходы, исследовать вероятностные ситуации с помощью моделирования эмпирической вероятности событий и свойств выборок. В рамках исследования 2012 г. предлагались задания, для выполнения которых необходимы те же аспекты математической грамотности, которые необходимы при выполнении математических заданий и без использования компьютера. При этом задания на компьютере контролировали следующие компетенции в рамках ICT: – строить таблицу, диаграмму (круговую, столбчатую), схему, график на основе предложенных данных, используя простые приемы; – строить графики функций или использовать готовые графики для ответа на вопросы; – сортировать (классифицировать) данные и планировать эффективные стратегии сортировки; – использовать калькуляторы ручные или на экране компьютера; – использовать виртуальные инструменты такие, как линейка или транспортир на экране компьютера, и трансформировать изображение, используя диалоговое окно или мышь для поворота, отражения или переноса изображения. Задания на компьютере требовали применения базовых умений по работе с компьютером. Эти умения включали знание основных элементов электронных устройств, (например, клавиатуры и мыши) и основных договоренностей (например, нажатие стрелок, чтобы двигаться вперед, и специальных кнопок для выполнения команд). При разработке заданий на компьютере требования к овладению такими умениями были сведены к минимальным. 13 Варианты тестов, которые предлагались учащимся на компьютере, включали 2 группы заданий (60 мин) на 30 мин каждая. Эти варианты, составленные по определенной технологии, включали группы заданий по математике, или по чтению, или по «решению проблем». В рамках исследования 2012 года предполагалось получить информацию об особенностях, отличающих задания на компьютере от предлагаемых на бумаге, а также с помощью анкетирования учащихся выявить влияние среды на успешность выполнения заданий на компьютере. Задания в тестах 2012 г. являлись только началом разработки заданий на компьютере. На их основе предполагается разработать более информативные задания, которые позволят более полно реализовать возможности компьютера. Оценка трудности заданий и уровня математической грамотности учащихся на основе выполнения тестов Разработчики инструментария исследования обосновали, что, используя технику современного моделирования (разработанную в рамках теории IRT – Item Response Theory), при рассмотренном выше дизайне вариантов теста возможно сконструировать шкалу измерения математической деятельности. Тогда каждому заданию будет отвечать точка на этой шкале, которая определяется с учетом его трудности, а каждому учащемуся будет соответствовать точка на этой же шкале, которая определяется с учетом продемонстрированного им уровня продуктивной деятельности при выполнении заданий. При этом реальная трудность тестового задания определяется с учетом процента выполнивших его учащихся, а уровень деятельности учащегося при выполнении конкретного теста может быть оценен с учетом количества и трудности заданий, с которыми он справился. Математическая модель, которая использовалась для анализа результатов исследования вводилась с помощью итерационных процедур одновременной оценки вероятности того, что конкретный ученик выполнит верно задания данного теста, и вероятности того, что конкретное задание будет выполнено данной выборкой учащихся. В результате этих процедур стало возможным создать единую непрерывную шкалу оценок уровня математической грамотности. Эта 1000-балльная шкала была впервые сконструирована в исследовании 2003 года таким образом, чтобы средняя оценка для всех стран OECD 8 была равна 500, стандартное отклонение – 100. Расположение на этой шкале оценок, полученных учащимися и приписанных заданиям, показывает, какой уровень грамотности демонстрирует учащийся и какому уровню грамотности соответствует задание. Реальная трудность задания оценивалась баллом, который определялся по этой шкале на основе результатов его выполнения учащимися-участниками исследования. Каждому учащемуся с учетом реальной трудности всех решенных им заданий по этой же шкале выставлялся балл, который оценивал состояние его математической грамотности. Сравнение результатов, показанных странами на разных этапах исследования (2003, 2006, 2009, 2012 гг.), проводилось на основе соотнесения результатов выполнения одних и тех же заданий, предлагавшихся в тестах 2003 года, когда изучение математической грамотности было приоритетным, и в тестах на последующих этапах исследования. 8 Введение такой шкалы оценки математической грамотности объясняется тем, что инициатором исследования PISA является организация OECD (Organization for Economic Co-Operation and Development). Поэтому исследование, в первую очередь, было ориентировано на оценку математической грамотности учащихся тех стран, которые были членами данной организации. Этот подход к разработке шкалы позволил на каждом из циклов исследования проводить на одной и той же основе сравнение средних показателей выполнения учащимися стран OECD конкретных заданий или групп заданий, а также всех математических заданий в целом с результатами других стран-участниц. 14 Для того чтобы характеризовать оценки учащихся с помощью постоянного и значимого по смыслу показателя, разработанная единая 1000-балльная шкала была разделена в 2012 г. на 6 интервалов по убыванию значений, определяющих разные уровни успешности учащихся при выполнении тестов. Каждый из этих интервалов определял один из 6 выделенных уровней успешности математической деятельности, которая требовалась для решения заданий, по трудности соответствующих данному интервалу значений. Эти уровни были приведены в соответствие с уровнями, установленными в 2003 г. Самый высокий 6-й уровень определялся группой заданий, трудность которых была оценена самыми высокими баллами (выше 699,3 балла) по сравнению с другими заданиями, а самый низкий уровень 1-й (357 – 420 баллов) – самыми низкими по трудности заданиями. Уровень математической грамотности учащихся, которые не достигли 1-го уровня, считался ниже 1-го (ниже 357,8 балла). Очевидно, что эта оценка математической грамотности ученика имеет вероятностный характер. Поэтому ее нельзя трактовать так, что конкретный ученик не способен решить ни одной задачи, реальная трудность которой выше полученного им балла, и решит любую задачу, трудность которой ниже полученного им балла. Использованный подход позволяет сделать следующий вывод: существует достаточно большая вероятность (62%), что ученик успешно справится с заданиями, трудность которых ниже оценки состояния его математической грамотности, и, скорее, не сможет выполнить задания, трудность которых выше полученной им оценки. Различие математической деятельности, характерной для каждого из 6-ти выделенных уровней, определяется: сложностью интерпретации и рассуждений, необходимых для решения проблемы; сложностью способа решения (от одношагового до многошагового решения); формой представления информации в описании предлагаемой ситуации (от единственной формы до нескольких форм); сложностью математической аргументации. Ниже (в таблице 1) приведено описание видов деятельности, характерной для каждого из выделенных уровней математической грамотности. Описание каждого уровня составлено на основе содержания и математической деятельности, которая требуется для выполнения заданий с показателями трудности, принадлежащими интервалу шкалы, отвечающему данному уровню. Следует иметь в виду, что деятельность, характерная для предыдущих по сложности уровней грамотности, включается в последующие более высокие уровни грамотности. Таблица 1 |