Основные показатели вариации Вариация значений признака представляет наибольший интерес при исследовании социально-экономических явлений и процессов. Вариация – колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у отдельных единиц совокупности. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под влиянием разнообразных факторов (условий), которые поразному сочетаются в каждом отдельном случае. Используемые в статистическом анализе показатели вариации можно разделить на три группы: - показатели размаха; - показатели, характеризующие отклонения от среднего уровня; - относительные показатели вариации. К показателям размаха относят: - вариационный размах; - децильный размах; - квартильный размах. К показателям, характеризующим отклонения от среднего, относят: - среднее линейное отклонение; - среднее квадратическое отклонение; - дисперсию. К относительным показателям относят: - относительный квартильный размах; - линейный коэффициент вариации; - коэффициент вариации. Показатели размаха Вариационный размах или размах вариации характеризует абсолютную разницу между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: max min R= x x (5.1) Основным недостатком данного показателя является то обстоятельство, что максимальные и минимальные значения признака могут быть обусловлены случайными обстоятельствами и в этой связи могут искажать типичный для изучаемой совокупности размах вариации. Децильный размах (D) характеризует абсолютную разницу между значениями девятой (верхней) и первой (нижней) децилями: D D9 D1 (5.2) 2 Таким образом, децильный размах характеризует разброс 80% данных и, является более предпочтительным по сравнению с вариационным размахом, так как практически не зависит от экстремальных значений. Квартильный размах или интерквартильный разброс (IQR) характеризует абсолютную разницу между третьим (верхним) и первым (нижним) квартилями: Q3 Q1 IQR q (5.3) Третий квартиль (Q3) показывает значение признака больше которого расположено 25% значений. Таким образом квартильный размах характеризует разброс 50% центральных значений. Среди показателей разброса наиболее часто в практическом анализе используют квартильный размах. Показатели отклонения от среднего Среднее линейное отклонение. Для абсолютной количественной оценки различий между всеми без исключения значениями признака в изучаемой совокупности используется оценка отклонений фактических значений от их среднего уровня. Чем больше различия между вариантами признака, тем больше и их отклонения от среднего уровня. При этом сумма отклонений фактических значений от средней всегда равна 0. Существует два основных подхода к усреднению отклонений фактических значений от средней. Первый состоит в том, что используют абсолютные значения отклонений и в результате получают показатель, который называется среднее линейное отклонение. Второй состоит в том, что отклонения возводят в квадрат и в результате получают дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Среднее линейное или среднее абсолютное отклонение представляет собой среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений фактических вариантов признака от среднего значения. В зависимости от характера исходных данных для расчета используют простую или взвешенную форму: n x x d i - простая форма; (5.4) i i i f x x f d - взвешенная форма, (5.5) Если данные не сгруппированы, то используют простую форму, если сгруппированы – то взвешенную. Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений значений признака от средней величины. В зависимости от характера исходных данных для расчета используют простую или взвешенную формулу: 3 n x x i 2 2 - простая форма; (5.6) i i i f x x f 2 2 - взвешенная форма, (5.7) Для расчета дисперсии в отдельных случаях удобнее использовать формулу, которая представляет собой алгебраическое преобразование выражений (5.6) и (5.7): 2 2 2 x (x) , где (5.8) 2 x - средняя квадратическая. В зависимости от характера исходных данных для расчета средней квадратической используются простая или взвешенная формы: n x x i 2 2 - простая, (5.9) i i i f x f x 2 2 - взвешенная. (5.10) Если данные не сгруппированы, то используют простую форму, если сгруппированы – то взвешенную. Поэтому наиболее удобным и широко распространенным на практике показателем вариации является среднее квадратическое отклонение, которое определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размеренность, что и изучаемый признак. Среднее квадратическое отклонение характеризует среднее отклонение фактических значений признака в статистической совокупности от их среднего значения и рассчитывается на основе следующих формул: n x x i 2 ( ) - простая форма, (5.11) i i i f x x f 2 ( ) - взвешенная форма (5.12) 2 2 x (x) (5.13) Среднее квадратическое отклонение также называют стандартным отклонением. Среднее квадратическое отклонение и среднее линейное отклонение близки друг другу по экономическому смыслу и между ними есть определенная связь. Для симметричных или умеренно ассиметричных распределений 5 4 d . Среднее квадратическое отклонение более широко применяется в статистическом анализе по сравнению со средним линейным отклонением благодаря своим математических свойствам. Так среднее квадратическое 4 отклонение является одним из параметров многих распределений и в первую очередь нормального распределения. В нормальном распределении примерно 2/3 всех значений отклоняются от среднего уровня не больше, чем на одну величину среднего квадратического отклонения. Приблизительно 95% всех значений отклоняются от среднего уровня не более чем на две величины среднего квадратического отклонения. И, наконец, около 99,7% всех значений лежат в пределах трех средних квадратических отклонений (правило 3-х сигм). Относительные показатели вариации Чтобы оценить масштабы вариации используют относительные показатели вариации, которые измеряют изменчивость значений признака в относительном выражении по сравнению со средним уровнем, что во многих случаях является более предпочтительным. Для оценки относительных размеров вариации используют коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации и квадратический коэффициент вариации, который называют также просто коэффициентом вариации. Относительные показатели вариации, как правило, рассчитывают в процентах. Коэффициент осцилляции – процентное отношение размаха вариации к средней: 100% R R x V = (5.14) Линейный коэффициент вариации измеряют через соотношение среднего линейного отклонения и средней: 100% x d Vd = (5.15) Коэффициент вариации измеряют через соотношение среднего квадратического отклонения и средней: 100% x σ Vσ = (5.16) По величине коэффициента вариации можно, в частности, судить о степени однородности признаков совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признаков вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя. Под однородными данными понимается некоторый уровень их рассеяния, при котором рассчитываемые статистические показатели (средняя, дисперсия и др.) будут давать надежную и качественную характеристику анализируемой совокупности. В статистике принято считать, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность данных является однородной, если более 33%, то – неоднородной. 5 Пример. По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города: Размер вклада, руб. До 400 400 - 600 600 - 800 800 - 1000 Свыше 1000 Число вкладчиков 32 56 120 104 88 Определить: 1) размах вариации; 2) средний размер вклада; 3) среднее линейное отклонение; 4) дисперсию; 5) среднее квадратическое отклонение; 6) коэффициент вариации вкладов. Решение Данный ряд распределения содержит открытые интервалы. В таких рядах условно принимается величина интервала первой группы равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равной величине интервала предыдущей. Величина интервала второй группы равна 200, следовательно, и величина первой группы также равна 200. Величина интервала предпоследней группы равна 200, значит и последний интервал будет иметь величину, равную 200. Получаем ряд: Размер вклада, руб. 200 - 400 400 - 600 600 - 800 800 - 1000 1000 - 1200 Число вкладчиков 32 56 120 104 88 1) Определим размах вариации как разность между наибольшим и наименьшим значением признака: Размах вариации размера вклада равен 1000 руб. 2) Средний размер вклада определим по формуле средней арифметической взвешенной. Предварительно определим дискретную величину признака в каждом интервале. Для этого найдём середины интервалов. Среднее значение для первого интервала будет равно: (200+400)/2=300, второго - 500 и т. д. Занесём результаты вычислений в таблицу: 6 Размер вклада, руб. Число вкладчиков, f Середина интервала, х xf 200-400 32 300 9600 400-600 56 500 28000 600-800 120 700 84000 800-1000 104 900 93600 1000-1200 88 1100 96800 Итого 400 - 312000 Средний размер вклада будет равен: 3) Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней: Порядок расчёта среднего линейного отклонения в интервальном ряду распределения следующий: 1. Вычисляется средняя арифметическая взвешенная. Мы в пункте 2 получили это значение равным 780. 2. Определяются абсолютные отклонения вариант от средней: 3. Полученные отклонения умножаются на частоты: 4. Находится сумма взвешенных отклонений без учёта знака: 5. Сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот: 7 Удобно пользоваться расчётной таблицей: Размер вклада, руб. Число вкладчиков, f Середина интервала , х 200-400 32 300 -480 480 15360 400-600 56 500 -280 280 15680 600-800 120 700 -80 80 9600 800-1000 104 900 120 120 12480 1000-1200 88 1100 320 320 28160 Итого 400 - - - 81280 Среднее линейное отклонение размера вклада клиентов Сбербанка составляет 203,2 руб. 4) Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической. Расчёт дисперсии в интервальных рядах распределения производится по формуле: Порядок расчёта дисперсии в этом случае следующий: 1. Определяется средняя арифметическая взвешенная, как показано в п. 2). 2. Вычисляются отклонения вариант от средней: 3. Возводятся в квадрат отклонения каждой варианты от средней: 4. Умножаются квадраты отклонений на веса (частоты): 5. Суммируются полученные произведения: 6. Полученная сумма делится на сумму весов (частот): 8 Расчёты сведём в таблицу: Размер вклада, руб. Число вкладчиков, f Середина интервала, х 200-400 32 300 -480 230400 7372800 400-600 56 500 -280 78400 4390400 600-800 120 700 -80 6400 768000 800-1000 104 900 120 14400 1497600 1000-1200 88 1100 320 102400 9011200 Итого 400 - - - 23040000 5) Среднее квадратическое отклонение размера вклада определяется как корень квадратный из дисперсии: 6) Коэффициент вариации - это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической: Используем полученное значение коэффициента вариации для анализа степени однородности значений исследуемого признака. Так как V=30,77% |
Скачать 20.44 Kb.