Основные понятия математической логики
![]()
|
Ещё пример задания:Р-30. Укажите наименьшее целое значение А, при котором выражение(y + 2x < A) ∨ (3y +2x > 120) ∨ (3y – x > 30)истинно для любых целых положительных значений x и y.Решение: второе и третье выражения не зависят от выбора A: (3y +2x > 120) or (3y – x > 30) таким образом, нам нужно выбрать значение A так, чтобы условие (y + 2x < A) выполнялось при всех x и y, для которых ложно (3y +2x > 120) or (3y – x > 30), то есть истинно (3y +2x 120) and (3y – x 30) последние два условия можно переписать в виде (y – 2x/3 + 40) and (y x/3 + 10) поскольку по условию x и y должны быть положительны, добавляем ещё два условия: (y – 2x/3 + 40) and (y x/3 + 10) and (x > 0) and (y > 0) изобразим схематично на плоскости x – y эту область (она заштрихована): ![]() для всех точек этой области должно выполняться условие y + 2x < A, равносильное условию y < – 2x +A это значит, что вся область должна лежать ниже линии y = – 2x +A; одна такая подходящая линия показана на рисунке сверху поскольку коэффициент наклона этой линии (–2) по модулю больше, чем коэффициент прямой y = – 2x/3 + 40, при параллельном переносе вниз, соответствующем изменению A, она коснётся заштрихованной области не в вершине , а в угловой точке около оси OX таким образом третье условие не влияет на результат, и для всех x > 0 и y > 0, удовлетворяющих условию 3y +2x 120, нужно обеспечить выполнение условия y < – 2x +A умножим обе части последнего неравенства на 3: 3y < – 6x +3A теперь, учитывая, что 3y –2x + 120, получаем, что максимальное значение 3y, которое нужно «перекрыть», равно –2x + 120 поэтому получаем –2x + 120 < – 6x +3A или 3A > 120 + 4x максимально возможное значение x, удовлетворяющее условию 3y +2x 120, определяется подстановкой минимального y, равного 1: 3 +2x 120 2x 117 xmax = 58 поэтому допустимые значение A определяются условием: 3A > 120 + 4xmax = 120 + 458 = 352 откуда следует, что A > 117,(6), то есть Amin = 118. Ответ: 118. Ещё пример задания:Р-29. Укажите наименьшее целое значение А, при котором выражение(y + 2x < A) ∨ (x > 20) ∨ (y > 30)истинно для любых целых положительных значений x и y.Решение: второе и третье выражения не зависят от выбора A: (x > 20) or (y > 30) таким образом, нам нужно выбрать значение A так, чтобы условие (y + 2x < A) выполнялось при всех x и y, для которых ложно (x > 20) or (y > 30), то есть истинно (x 20) and (y 30) поскольку по условию x и y должны быть положительны, добавляем ещё два условия: (x 20) and (y 30) and (x > 0) and (y > 0) изобразим схематично на плоскости x – y эту область (она заштрихована): ![]() для всех точек этой области должно выполняться условие y + 2x < A, равносильное условию y < – 2x +A это значит, что вся область должна лежать ниже линии y = – 2x +A; одна такая подходящая линия показана на рисунке сверху очевидно, что минимальное значение A соответствует ситуации, когда при параллельном переносе показанной линии вниз, соответствующем изменению A, она коснётся правого верхнего угла заштрихованного прямоугольника, то есть пройдёт через точку (x = 20, y = 30) поэтому допустимые значение A определяются условием: 30 < – 220 +A откуда следует, что A > 70, то есть Amin = 71. Ответ: 71. |