вопросы по метре. Основные понятия метрологии. Классификация измерений и средств измерений. Принципы и методы измерений

• Название: Основные понятия метрологии. Классификация измерений и средств измерений. Принципы и методы измерений
• Анкор: вопросы по метре
• Дата: 09.04.2023
• Размер: 0.74 Mb.
• Имя файла: Voprosy_po_metrologii_Chast1.docx
• Тип: Документы; #1048732
• страница: 4 из 4

Распределение Коши.


Это распределение близко к предельному пологому, т.е. для него выполняется условие .

• 
  Распределение Лапласа (двустороннее экспоненциальное).
  

• 
  Наиболее часто используемое на практике и в теории вероятностей – нормальное распределение (распределение Гаусса).
  

Т.е. по мере удаления от х=0 функция спадает быстрее, чем распределение Лапласа.





Применяется для большего числа наблюдений n.

• 
  Если непрерывная случайная величина принимает значения лишь в пределах некоторого конечного интервала значений (x₁, x₂) с постоянной плотностью вероятностей, то такой закон распределения называется равномерным. Мат.ожидание нах-ся в центре.
  

при x₁ <x<x₂ и при x<x₁ и x>x₂

• 
  Распределение, при котором встречаются с равными вероятностями только два дискретных значения случайной величины +а и –а, называется дискретным двузначным распределением:
  

,

г де - дельта – функция Дирака, для которой:

0, при t ≠ 0



∞, при t = 0

• 
  Распределение отсчетов синусоидально изменяющейся во времени величины x=x_msinωt, если моменты этих отсчетов равномерно распределены во времени, то оно называется арксинусоидальным(когда накладывается синус.помеха)
  
• 
  Распределение Стьюдента (псевдоним Госсета, предсказавшего это распределение) наиболее часто применяется в процессе обработки результатов небольшого числа (2 ≤ 4 < 20) наблюдений случайной величины и справедлив, когда случайные погрешности распределены по нормальному закону. Для него вводится случайная величина:
  

,

где - оценка средней арифметической х_i

- оценка СКО случайной величины .

С ростом n (когда n→20) распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному и тем значительнее отличается от него, чем меньше n. Отличия состоят в увеличении рассеяния относительных погрешностей t_x относительно центра t_x=0 при уменьшении числа наблюдений.

Центральная предельная теорема

*Если случайный процесс порожден некоторым кол-ом случайных величин, то закон распределения стремится к нормальному з-ну распределения.

*Центральная предельная теорема показывает, что в случае, когда результат измерения (наблюдения) складывается под действием многих причин, причем каждая из них вносит лишь малый вклад, а совокупный итог определяется аддитивно, т.е. путем сложения, то распределение результата измерения (наблюдения) близко к нормальному.

Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону, в интервал [ ], равна: где – функция Лапласа. Функция Лапласа нечетная: Ф(-x) = - Ф(х),

7. Прямые однократные и многократные измерения и их погрешности. Погрешности косвенных измерений.

Многократные измерения

Необходимость в многократных наблюдениях некоторой физической величины возникает при наличии в процессе измерений значительных случайных погрешностей. При этом задача обработки состоит в том, чтобы по результатам наблюдений определить наилучшую (оптимальную) оценку измеряемой величины и интервал, в котором она находится с заданной вероятностью. Данная задача может быть решена способом статистической обработки результатов наблюдений, основанным на гипотезе о распределении погрешностей результатов по нормальному закону.

Итак, рассмотрим группу из n независимых результатов наблюдений случайной величины x, подчиняющейся нормальному распределению. Оценка рассеяния единичных результатов наблюдений в группе относительно их среднего значения вычисляется по формуле:


Поскольку число наблюдений в группе, на основании результатов которых выполнено вычисление среднего арифметического, ограничено, то, повторив заново серию наблюдений этой же величины, мы получили бы новое значение среднего арифметического. Повторив многократно наблюдения и вычисляя каждый раз их среднее арифметическое значение, принимаемое за результат наблюдений (измерений), обнаружим рассеяние среднего арифметического значения.

Характеристикой этого рассеяния является средний квадрат отклонения среднего арифметического:



Теория показывает, что если рассеяние результатов наблюдения в группе подчиняется нормальному закону, то и их среднее арифметическое тоже подчиняется нормальному закону распределения при достаточно большом числе наблюдений (n>50). Отсюда при одинаковой доверительной вероятности доверительный интервал среднего арифметического в ỳже, чем доверительный интервал результата наблюдений. Теоретически случайную погрешность результата измерений можно было бы свести к 0, однако практически это невозможно, да и не имеет смысла, так как при уменьшении значения случайной погрешности определяющим в суммарной погрешности становится значение неисключенных остатков систематической погрешности.

При нормальном законе распределения плотности вероятностей результатов наблюдений и небольшом числе измерений среднее арифметическое подчиняется закону распределения Стьюдента с тем же средним арифметическим . Особенностью этого распределения является то, что доверительный интервал с уменьшением числа наблюдений расширяемся по сравнению с нормальным законом распределения при этой же доверительной вероятности. В формуле для оценки доверительных границ случайной погрешности это отражается введением коэффициента tq вместо t: Δx(P) = tσ= tqσ

Коэффициент распределения Стьюдента зависит от числа наблюдений и выбранной доверительной вероятности и находится по таблице.

Обработка результатов наблюдения производится в следующей последовательности:

1)Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдения (введением поправки);

2)Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат наблюдений:

3)Вычислить оценку среднего квадратичного отклонения результата наблюдения:

целесообразно проверить наличие в группе наблюдений грубых погрешностей, помня, что при нормальном законе распределения ни одна случайная погрешность , с вероятностью, практически равной 1, не может выйти за пределы ъ. Наблюдения, содержащие грубые погрешности, исключают из группы и заново повторяют вычисления.

4) Вычислить оценку среднего квадратичного отклонения среднего арифметического

5) Проверить гипотезу о том, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению.

Приближенно о характере распределения можно судить, построив гистограмму. Существуют и строгие методы проверки гипотез о том или ином характере распределения случайной величины.

При числе наблюдений n<15 принадлежность их к нормальному распределению не проверяют, а доверительные границы случайной погрешности результата определяют лишь в том случае, если достоверно известно, что результаты наблюдений принадлежат нормальному закону.

6) Вычислить доверительные границы случайной погрешности результата измерения при заданной вероятности P.

, t_g- коэф-ты Стьюдента

7) Вычислить границы суммарной неисключенной систематической погрешности (НСП) результата измерения.

НСП результата измерений образуется из неисключенных остатков измерений, погрешностей, поправок и т. д. При суммировании эти составляющие рассматриваются как случайные величины. При отсутствии данных о виде распределений НСП, их распределения принимают за равномерные.

При равномерном распределении НСП границы НСП вычисляют по формуле:

8) Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения

9) Записать результат измерения в регламентированной стандартом форме.
Однократные измерения

Такой вид измерений является наиболее распространенным, когда речь идет о механических измерениях или физическом эксперименте. Однако они возможны лишь при следующих условиях:

• 
  объем априорной информации об объекте измерений такой, что аналитическая модель объекта и измеряемой величины не вызывают сомнений;
  

• 
  метод измерения достаточно изучен, и его погрешности либо заранее устранены, либо оценены;
  
• 
  средства измерения исправны, а их метрологические характеристики соответствуют установленным нормам;
  
• 
  применение методики обработки результатов прямых однократных измерений возможно, если известны составляющие погрешности измерения; закон распределения случайных составляющих - нормальный, а НСП – равномерный с известными границами.
  

Результатом прямого однократного измерения физической величины является показание, снятое непосредственно с используемого средства измерения. До измерения должна быть проведена априорная оценка составляющих погрешности с использованием всех доступных данных. При определении доверительных границ погрешности результата измерений доверительная вероятность принимается равной 0,95.

Погрешность результата прямого однократного измерения включает в себя погрешность средства измерения, методы измерения и субъективную погрешность оператора (которую можно легко устранить, применив цифровой прибор, но возникнет погрешность дискретизации). Любая из этих составляющих может иметь и НСП, и случайные составляющие.

Оценивание погрешностей прямых однократных измерений можно подразделить на точное и приближенное.

Методика точной оценки:

1) пусть число НСП m и каждая из них задана либо границами , либо доверительными границами . В первом случае доверительная граница систематической составляющей погрешности результата измерения вычисляется по формуле:



а во втором случае:



2) Если составляющие случайной погрешностей заданы их СКО, найденными предварительно опытным путем многократных наблюдений, то доверительные границы результирующей случайной погрешности



где t = 1,1 или можно брать коэффициент Стьюдента, соответствующий меньшему числу наблюдений. Если же случайные составляющие погрешности заданы доверительными границами , при одной и той же доверительной вероятности, то

Приближенная оценка погрешности прямого однократного измерения.

Для таких измерений в качестве результата принимают значение отсчета x, а оценивание погрешности производится на основе нормативных данных о свойствах используемых средств измерений. Поскольку эти данные относятся к множеству средств измерения данного типа, то у конкретного экземпляра прибора, используемого в измерении, действительные свойства могут значительно отличаться от нормированных (можно провести поверку). Тем не менее, не имея другой достоверной информации (либо не имея в ней нужды) о реальных метрологических характеристиках средства измерения, можно проводить оценку погрешности измерения на основе предельных норм, представляемых в технической документации на средства измерения. Такие оценки дают возможность оценить погрешность сверху, но для корректировки результата измерения или для введения поправок они недостаточно надежны. Общая схема следующая:
Выбрав необходимое средство измерения (определяется исходя из условий измерительной задачи), уточнив условия измерения (нормальные или рабочие), оценивают возможные дополнительные погрешности прибора (если условия рабочие) и суммируют предел допускаемой основной погрешности и дополнительные погрешности :

Таким образом находится верхняя оценка результата измерения. Методические погрешности должны быть учтены заранее, а личные (субъективные) при таких измерениях предполагаются малыми и не учитываются.

Более точная оценка погрешности может быть получена статистическим сложением (а не простым) составляющих погрешности (например, вместо можно использовать
)
Косвенные измерения

При косвенных измерениях искомое значение величины находят расчетом на основе измерения других величин, связанных с измеряемой известной зависимостью:

Поскольку каждое из измеряется с некоторой погрешностью, то задача оценивания погрешности результата сводится к суммированию погрешностей измерения аргументов. Особенностью косвенных измерений является то, что вклад отдельных погрешностей измерения аргументов в сумму погрешностей результата зависит от вида функции .

Для оценки погрешностей существенно разделение косвенных измерений на линейные и нелинейные. При линейных косвенных измерениях уравнение измерений имеет вид:


где - const при

Любые другие функции зависимости являются нелинейными.

Погрешности результата могут быть заданы своими границами , либо доверительными границами с доверительными вероятностями .

Если m<5 , то простая оценка погрешности результата может быть получена простым суммированием предельных погрешностей (без учета знака), то есть подстановкой в выражение:

Однако такая оценка является завышенной, так как такое суммирование означает, что погрешности измерения всех аргументов одновременно имеют максимальные значения и совпадают по знаку. Вероятность такого совпадения стремится к 0. Для определения более реалистичной оценки переходят к статистическому суммированию погрешностей аргументов, полагая, что в заданных границах погрешности аргументов распределены равномерно:

где - доверительные границы при доверительной вероятности P.

Нелинейные косвенные измерения характеризуется тем, что результаты измерения аргументов подвергаются функциональным преобразованиям. Как показано в теории вероятностей, любые, даже простейшие, функциональные преобразования случайной величины приводят к изменению законов их распределения.

При сложной функции отыскание закона распределения погрешности результата связано с серьезными математическими трудностями. Поэтому при нелинейных косвенных измерениях обычно ограничиваются приближенной верхней оценкой ее границ. В основе такой оценки лежит линеаризация функции и далее обработка результатов проводится как при линейном косвенном измерении.

Для полного дифференциала функции A выражение запишем как:



По определению полный дифференциал функции - это приращение функции, вызванное малыми приращениями ее аргументов. Полагая, что погрешности – это малые приращения, запишем:



Полагая, что распределения погрешностей аргументов подчиняются равномерному закону, при числе слагаемых m<5 границы погрешности определяем



А при m>5 по :



где