Математика. К лекц.13.04 Конформные отображения. Основные понятия о конформных отображениях

• Название: Основные понятия о конформных отображениях
• Анкор: Математика
• Дата: 27.05.2022
• Размер: 0.5 Mb.
• Имя файла: К лекц.13.04 Конформные отображения.docx
• Тип: Документы; #553558

Основные понятия
о конформных отображениях

Определение 1

Отображение, сохраняющее в точке углы между линиями и величину растяжения линий, называется конформным в точке .

Определение 2

Отображение конформно в области , если оно конформно в каждой точке этой области.

Замечание

Отображение, осуществляемое аналитической функцией, является конформным во всех точках, в которых производная этой функции отлична от нуля.

Линейная функция

Рассмотрим линейное отображение, то есть отображение, осуществляемое линейной функцией , где и  — комплексные постоянные, . Так как производная этой функции во всех точках плоскости существует и отлична от нуля, то линейное отображение конформно во всех точках плоскости.

Рассмотрим сначала три частных случая, причём для наглядности совместим на рисунках плоскость с плоскостью .

1.

При таком отображении всякая точка смещается в соответствующую точку с помощью вектора сдвига, изображающего данное число (рис. 23). Так как  — постоянное число (то есть вектор сдвига одинаков для всех точек), мы получаем преобразование параллельного переноса.

1. 
   
   

2. ,  — действительное число.

Представим и в показательной форме: , . Тогда , то есть . В результате имеем соотношения для модуля и аргумента этих чисел

, ,

то есть точка переходит в точку поворотом вектора вокруг нулевой точки на угол (рис. 24). Величина постоянна, следовательно, данное преобразование является преобразованием поворота вокруг начала координат.

2. 
   
   

3. ,  — действительное положительное число.

Тогда , , то есть точка лежит на том же луче, исходящем из начала координат, что и точка , но расстояние от начала координат до точки в раз больше, чем до точки . Число  — постоянное, следовательно, рассматриваемое преобразование — преобразование подобия с коэффициентом подобия и центром подобия в начале координат.

Замечание

Подобие — это преобразование, при котором, если любые точки и переходят в точки и , то , где  — постоянная величина, называемая коэффициентом подобия. Это преобразование иногда называют растяжением.

Линейное преобразование представляет собой композицию рассмотренных выше простейших преобразований. В самом деле, пусть . Тогда , и переход точки в точку осуществляется с помощью:

а) поворота вокруг начала координат на угол ;

б) преобразования подобия с коэффициентом подобия ;

в) параллельного переноса.

Примеры

1. Найти функцию, отображающую равносторонний треугольник с вершинами в точках , , , соответствующих числам , , , лежащий в плоскости , на равносторонний треугольник с вершинами в точках , , плоскости , соответствующих числам , , (рис. 25).

Решение

Так как треугольники подобны, то отображение может быть задано аналитической функцией. Это отображение можно представить композицией следующих операций:

а) поворот относительно начала координат на угол : ;

б) преобразование подобия с коэффициентом подобия, равным двум: ;

в) параллельный сдвиг, осуществляемый функцией .

Окончательно имеем .

3. 
   
   

2. Найти образ полукруга при отображении

.

Решение

Отображение осуществляет преобразование подобия с коэффициентом растяжения, равным . Образом полукруга будет полукруг с центром и радиусом . Угол поворота , то есть образ границы круга (прямой ) — прямая с угловым коэффициентом, равным , проходящая через центр. Уравнение этой прямой (рис. 26).

Окончательно получаем:

или

.

4. 
   
   

Функция f(z)=1/z

Определение

Инверсией в единичном круге называется такое преобразование, при котором каждой точке внутри (вне) круга ставится в соответствие точка вне (внутри) круга, лежащая на луче, проведённом из центра круга в данную точку так, что произведение расстояний от этих точек до центра круга равно . То есть (рис. 27). Точки и называются симметричными относительно единичной окружности.

Из этого определения следует, что точка, лежащая на окружности, симметрична самой себе, а точкой, симметричной центру окружности, является бесконечно удалённая точка.

5. 
   
   

Рассмотрим функцию .

Если построить окружность радиуса 1 с центром в точке и рассмотреть точку, изображающую комплексное число , то симметричная ей будет соответствовать числу , так как и (последнее равенство показывает, что точки лежат на одном луче). Таким образом, отображение состоит из двух симметричных отражений: относительно единичной окружности (инверсия) и относительно действительной оси (рис. 28).

6. 
   
   

Производная существует и отлична от нуля во всех точках плоскости, кроме ( ) и ( ). Таким образом, отображение конформно во всех точках плоскости, кроме .

Отображение обладает круговым свойством: образом окружности является окружность, причём прямая считается окружностью, проходящей через бесконечно удалённую точку.

Действительно, пусть , . Тогда отображение запишется так



.

Отсюда

(4)

Уравнение произвольной окружности в плоскости имеет вид (при получается прямая, то есть окружность бесконечного радиуса). Подставим в него и из (4)

, или

.

Последнее уравнение — это уравнение окружности.

Видно, что образом окружности, не проходящей через точку , является окружность, а образом окружности, проходящей через точку  — прямая. При получаем уравнение прямой, то есть окружность, проходящая через начало координат в плоскости , переходит в прямую в плоскости . Свойство доказано.

Примеры

Найти образы линий и областей при преобразовании заданных линий и областей с помощью отображения .

1. .

Решение

Круг отобразится в область , то есть во внешность круга .

2. (рис. 29).

Решение

,

Подставим в уравнение исходной окружности и получим

, ,

7. 
   
   

3.

Решение

1 способ.

Поскольку прямая проходит через начало координат, инверсия переводит все точки прямой, находящиеся внутри единичного круга, на точки этой же прямой, лежащие вне единичного круга в той же четверти (рис. 30). Начало координат переходит в бесконечно удалённую точку, а обе точки на единичной окружности — сами в себя. Затем симметрия относительно действительной оси "разворачивает" прямую, сохраняя модуль угла наклона к действительной оси (рис. 30) (то есть угловой коэффициент только поменяет знак). Получаем прямую .

2 способ. Формальное решение.

Рассуждая аналогично предыдущей задаче, получаем



.

8. 
   
   

4.

Решение

1 способ.

,



Теперь x и y выражены через u и v. Подставим эти соотношения в уравнение исходной окружности , то есть

, , ,

(рис. 31).

9. 
   
   

2 способ.

,



.

Получили окружность радиуса с центром в начале координат (если исходная окружность обходилась против часовой стрелки, то новая — по часовой стрелке).

3 способ.

.