Множества. Основу теории математики
 Скачать 4.06 Mb.
|
|
Множества Операции над множествами ПЛАН 1.МНОЖЕСТВО 2. ВИДЫ МНОЖЕСТВ 4. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ 3. ОПЕРАЦИИ НА МНОЖЕСТВАХ УМЕНИЯ 1. НАХОДИТЬ ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ 2. НАХОДИТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ 3. ИЗОБРАЖАТЬ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА 4. РЕШАТЬ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
основатель теории множеств Георг Кантор (1845-1918) Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое»
КОЛЛЕКЦИЯ МАРОК НАБОР КАРАНДАШЕЙ СТАЯ ПТИЦ ЧАЙНЫЙ СЕРВИЗ БУКЕТ ЦВЕТОВ СТАДО КОРОВ Определение
А; {а, b, c}; {∗,s,h,g}; N={1,2,3,4,5,6,7,8, …}.Объекты, составляющие множество, называются элементами множества. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т. д.
А={а1, а2, …, аn};
М={х N | х׃2},т.е. каждое число, принадлежащееэтому множеству, делится на два.
Множество четырехугольников Пространственные тела 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11… Квадраты чисел Цифры десятичной системы счисления 10, 12, 14, 16 … 96, 98 множество людей на Солнце множество прямых углов равностороннего треугольника множество точек пересечения двух параллельных прямых Определение: Пустое множество - множество, не содержащее ни одного элемента N – множество натуральных чисел;Z – множество целых чисел;Q – множество рациональных чисел;I - множество иррациональных чисел;R – множество действительных чисел.
Основные числовые множества: R Q Z N
Поставьте вместо звездочки знак так, чтобы получить правильное утверждение:
задания:ВИДЫ МНОЖЕСТВЗапишите множества букв слов КОНИ и КИНОРавные множества {К, О, Н, И} {К, И, Н, О} ВИДЫ МНОЖЕСТВ
Элементов называют равными (одинаковыми).Пишут А=ВВИДЫ МНОЖЕСТВА = {2; 3; 5; 7; 11; 13};В = {х | 5< х <12}Конечные множества ВИДЫ МНОЖЕСТВА = {1; 4; 9; 16; 25; …};С = {10; 20; 30; 40; 50; …};Бесконечные множества а) множество чисел, кратных 13;б) множество делителей числа 15;в) множество деревьев в лесу;г) множество натуральных чисел;д) множество рек Ростовской области;е) множество корней уравнения х + 3 = 11;ж) множество решений неравенства х + 1 < 3.а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.B). Охарактеризуйте множество А: а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}; Даны множества:Даны множества:М = {5, 4, 6},Р = {4, 5, 6},Т = {5, 6, 7},S = {4, 6}.Какое из утверждений неверно?а) М = Р б) Р ≠ S в) М ≠ Т г) Р = ТМ Р S T Мощность множестваОпределение: Число элементов конечного множества называют мощностью множества и обозначают символом Card A или |A|.
Пример: при сборке некоторого изделия универсальным множеством можно назвать множество всех деталей и сборочных элементов, из которых это изделие состоит.Если мы рассматриваем множества, связанные с какими-нибудь фигурами на плоскости, то в качестве универсального множества можно выбрать множество всех точек плоскости.Отношения между множествами
Отношения между множествами
Определение:Определение:Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A принадлежит множеству B.При этом пишут AB, где есть знак вложения подмножества.Из определения следует, что для любого множества справедливы, как минимум, два вложения A A и A .Задание:Задание:Определить как между собой соотносятся множества A = {1, 2, 3, 5, 7}, и B ={1, 3, 5}?Количество подмножествОпределение: Если мощность множества n, то у этого множества 2n подмножеств.Пример:А={1,2}Подмножества множества А:{}, {1}, {2}, {1,2}.Определить количество подмножеств1. В={1,3,5}2. С={а,и,е,о} Количество подмножествВ={1,3,5}Подмножества В: {}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {5,3}, {1,3,5} С={а,и,е,о} Подмножества С: {}, {а}, {и}, {е}, {о}, {а,и}, {а,е}, {а,о}, {и,е}, {и,о}, {е,о}, {а,и,е}, {а,и,о}, {а,е,о}, {и,е,о}, {а,и,е,о}. 7n + 2, где n ∈ N.Верна ли запись -5 ∈ А?
Операции над множествамиДва множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.Пример:- если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.- {a,b,c,d}={c,b,a,d}.Объединение множествСумма ( объединение ) множеств А и В (пишется АВ ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В.Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда либо е А ,либо е В .Пример:Пример:если А={1,2,4}, B={3,4,5,6},то А B = {1,2,3,4,5,6} 1 2 4 А 4 3 5 6 В Объединение множествОперации над множествамиОпределение: Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.то А ∩ В = {b} Пересечение множествОперации над множествамиОпределение: Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.то А\В = {1,2} 1 2 4 А 4 3 5 6 В Разность множествРазность множествОперации над множествамиопределение: Симметрической разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (А\В) (В\А).симметрическая разностьНапример, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6},то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6} Симметричная разностьОперации над множествамиОпределение: Абсолютным дополнением множестваназывается множество всех элементов, не принадлежащих A, т.е. множество U\A, где U – универсальное множествоСвойства операций над множествами:П р и м е р ы
Даны множества
Пример:Пример:На вступительном экзамене были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии — 700, а по стереометрии — 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии — 500, по планиметрии и стереометрии — 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?Решение.Решение.Пусть U — множество всех абитуриентов,А-множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре,В-множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии,С-множество абитуриентов, решивших задачу по стереометрии.По условию n(U) =1000, n(A) = 800, n(В)=700, n(С)=600, n(AB)= 600, n(AC) = 500, n(BC) = 400, n(ABC) =300.В множество AUBUC включены все абитуриенты, решившие хотя бы одну задачу. По формуле имеем:n(А U В U С) = 800 + 700 + 600 - 600 - 500 - 400 + 300 =900.Отсюда следует, что не все поступающие решили хотя бы одну задачу.Ни одной задачи не решилиn(U) - n(AUBUC)=1000 - 900=100 (абитуриентов).Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств 1. Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств 2. Соответствие между элементами множеств. 3. Способы задания соответствий Рассмотрим задачу: используя цифры 1, 2, 3, нужно образовать все возможные двузначные числа. Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования (числа 12 и 21 различны). В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементах. В данном случае имеем дело с упорядоченной парой. Упорядоченную пару, образованную из элементов а, b обозначают (а; b). а – первая компонента пары, b – вторая компонента пары. Определение. Пары (а; b) и (с; d) равны тогда и только тогда, когда а = с и b = d. В ранее мы встречались с упорядоченными парами при использовании прямоугольной системы координат, в которой каждая точка имеет координаты, представляющие собой пару чисел. Задача. А = {1; 2}, В = {5; 6}. Составьте все возможные двузначные числа, число десятков которого принадлежит множеству А, а число единиц – множеству В. Такими числами будут 15, 25, 16, 26. В процессе решения этой задачи из двух данных множеств А и В образовано новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел (1; 5), (2; 5), (1; 6), (2; 6). Это новое множество называют декартовым произведением множеств Аи В. Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В. Записывают: А ´ В = {(а; b):а А, b В} Пример. А = {1; 2}, В = {3; 4}. А ´ В = {(1; 3); (2; 3); (1; 4); (2; 4)}; В ´ А = {(3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2)}. А ´ В ≠В ´ А, следовательно, декартово умножение не обладает свойством коммутативности. Аналогично рассуждая, можно показать, что для этой операции не выполняется свойство ассоциативности. Декартово произведение множеств есть множество, поэтому, как и всякое множество, его можно задать перечислением и указанием характеристического свойства. Элементы декартова произведения удобно записывать при помощи таблицы: (1; 2) (1; 4) (2; 3) (2; 4) Каждый элемент множества А ´ В записывается в клетке, стоящей на пересечении соответствующей строки и столбца. Т.о. множество клеток этой таблицы представляет собой декартово произведение множеств А ´ В. В математике понятие отношения используется для обозначения какой-либо связи между объектами. Отношение есть некоторое множество упорядоченных пар (x,y), где x X, а y Y. Соответствие между элементами множеств Способы задания соответствий Учащимся некоторого класса был задан вопрос, какие кружки они посещают. Их ответы были занесены в таблицу: В таблице отметим, что Артем посещает 3 кружка, а Виктор только один; больше всего из опрошенных посещают кружок рисования и никто из них не посещает кружок выжигания… В данном примере рассматриваются два множества: Х = {А; Б; В} – множество имен и Y = {м; р; т; в} – множество названий кружков. При помощи слов «посещать какой-либо кружок» между элементами этих множеств установлена некоторая связь, или, как говорят в математике, соответствие. В таблице это соответствие выделим заштрихованными клетками, а множество всех клеток таблицы является декартовым произведением множеств Х и Y. Соответствие между множествами Х и Y мы установили, имея 3 множества: множество Х – множество имен, множество Y – множество названий кружков и подмножество декартова произведения Х ´ Y. Определение. Соответствием между множествами Х и Y называется любое подмножество R декартова произведения множеств Х и Y. Множество Х называют множеством отправления соответствия, множество Y – множеством прибытия соответствия. Если пара (х; у) R, то говорят, что элемент у соответствует элементу х; у является образом элемента х; х является прообразом элемента у Определение. Множество всех первых компонент пар, входящих в соответствие, называется областью определения соответствия. Определение. Множество всех вторых компонент пар, входящих в соответствие, называется областью значений соответствия. Т.к. соответствие – подмножество декартова произведения, то способы задания соответствий такие же, как и для декартова произведения. Пример. Х = {2; 3; 5; 7}, Y = {6; 9; 15; 17} R – «х – делитель у» – соответствие задано указанием характеристического свойства; R = {(2; 6); (3; 6); (3; 9); (3; 15); (5; 15)} – соответствие задано перечислением. Также соответствие можно задать таблицей:
В нашем примере элементу 3 соответствует три элемента множества Y – 6, 9 и 15. Множество, состоящее из чисел 6, 9 и 15, называют образом элемента 3. В общем случае, образ элемента х из множества Х определяется как множество всех элементов у Y, соответствующих элементу х. Число 6 соответствует двум элементам множества Х – числам 2 и 3. Множество, состоящее из чисел 2 и 3, называют полным прообразом элемента 6 из множества Х. В общем виде: полный прообраз элемента у Y определяют как множество элементов х Х, таких что элементу х соответствует элемент у. Определение. Множество всех элементов из множества Х, имеющих непустые образы, называется областью (множеством) определения соответствия R. Определение. Множество всех элементов из множества Y, имеющих непустой полный прообраз, называется множеством значений соответствия R. В нашем примере: {2; 3; 5} – множество определения; {6; 9; 15} – множество значений. Понятие соответствия между множествами относится к числу фундаментальных понятий математики. Оно лежит в основе определения таких важнейших понятий математики, как функция и отображение. Кроме того, в любой науке изучаются не только сами объекты, но и связи между ними. Взаимно однозначное соответствие Определение. Отображением f множества Х в множество Y называется такое соответствие между множествами Х и Y, при котором каждому элементу х Х соответствует единственный элемент у Y. Определение. Если множество значений отображения f совпадает с множеством прибытия этого отображения, то f называют отображением множества Х на множество Y. В математике такое отображение называется сюръективным. Определение. Если полный прообраз каждого элемента у Y содержит не более одного элемента (может быть и пустым), то такое отображение называется инъективным. Определение. Отображение, обладающее свойствами инъективности и сюръективности, называется взаимно однозначным. Другими словами: отображение f множества Х на множество Y называется взаимно однозначным, если двум различным элементам х1 и х2 множества Х соответствует два различных элемента у1 и у 2 множества Y. Пример. Х – множество вершин треугольника АВС, Y – множество сторон треугольника АВС. Поставим в соответствие каждой вершине треугольника его сторону, лежащую напротив этой вершины. Данное отображение взаимно однозначно, при этом каждый элемент множества Х имеет единственный образ, а каждый элемент множества Y – единственный прообраз. ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВА – четные натуральные числа В – двузначные числаНайти объединение этих множеств.А В – быть четным натуральным или двузначным числомПример: 8 и 32Определение: Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множествам А и В одновременно.Пересечение множеств обозначаетсяП р и м е р : {1,2,3} {2,3,4} = {2,3}ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВНайти пересечение этих множеств.А В – быть четным натуральным и двузначным числомПример: 32БЛИЦ-ОПРОСБЛИЦ-ОПРОС
Какие названия применяются для обозначения множеств животных?БЛИЦ-ОПРОС
Какие названия применяются для обозначения множеств военно-служащих?БЛИЦ-ОПРОС
Как называется множество цветов, стоящих в вазе?БЛИЦ-ОПРОС
Как называется множество точек земной поверхности, равноудаленных от обоих полюсов?БЛИЦ-ОПРОС
Как называется множество населённых людьми мест?БЛИЦ-ОПРОС
Как называется множество картин?БЛИЦ-ОПРОС
Как называется множество документов?БЛИЦ-ОПРОС
Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей?Даны множества:Даны множества:А = {2; 3; 8},В = {2; 3; 8; 11},С = {5; 11}.Найдите: 1) АUВ; 2) АUС; 3) СUВ.Даны множества:Даны множества:А = {a, b, c, d},B = {c, d, e, f},C = {c, e, g, k}.Найдите: (АUВ)UС.Даны множества:Даны множества:А – множество всех натуральных чисел, кратных 10,В = {1; 2; 3;…, 41}.Найдите А∩В.k L K Решение задачи с помощью кругов Эйлера поют 17 танцуют 19 Всего 30 17+19=36, всего 30 36-30=6 6 11 13 РешениеПусть А - это множество учеников, умеющих петь. Количество элементов в нём по условию равно n = 17. Пусть В - множество учеников, умеющих танцевать. Количество элементов в нём - m = 18. Множество совпадает со всем классом, т.к. каждый ученик в классе поёт или танцует. - это множество тех учеников класса, которые поют и танцуют одновременно. Пусть их количество равно k. Согласно формуле доказанной выше n + m- k = 17+ 19- k = 30 k = 6. Ответ: 6 учеников в классе поют и танцуют одновременно. Всего 67 Английский 47 Немецкий 35 23 47-23=24 24 35-23=12 12 24+12+23=59 67- 59=8 На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек в фирме не знают ни английского, ни немецкого языков? Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?Ответ: в классе 34 ученика Английский 25 Немецкий 27 Только английский 25 – 18 = 7 Только немецкий 27 – 18 = 9 7 + 9 + 18 = 34 18 7 9 Объединение содержит 9 элементов газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семейвыписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?Всего: 14 + 13 + 62 =89 класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу? планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион - 3; цирк и стадион - 1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места? УМЕНИЯ ЗНАНИЯ МНОЖЕСТВО ЭЛЕМЕНТ МНОЖЕСТВА ВИДЫ МНОЖЕСТВ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ НАХОДИТЬ ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ НАХОДИТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ ИЗОБРАЖАТЬ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА-ВЕННА РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМЕЮЩИХСЯ ЗНАНИЙ ПОДВЕДЕМ ИТОГИ Диаграммы Эйлера-Венна
Примеры
Пример 2
Пример 3.
Пример 4.
|