Реализация LU разложения с помощью функций IMSL. ОТЧЕТ БИРЮКОВКО КОМПАКТНЫЙ. Отчет на тему
 Скачать 182.56 Kb.
|
Сведения о содержании библиотеки IMSLБиблиотеки IMSL (International Mathematical and Statistical Library) состоят из двух отдельных, но скоординированных библиотек, которые обеспечивают легкий доступ пользователей к ним. Эти библиотеки организованы следующим образом: MATH/LIBRARY - общая прикладная математика и специальные функции, STAT/LIBRARY – статистика. IMSL MATH/LIBRARY представляет собой набор подпрограмм и функций FORTRAN, полезных в исследованиях и математическом анализе. Каждая процедура разработана и задокументирована для использования в исследовательской деятельности, а также техническими специалистами. Большинство процедур доступны как в версиях с одинарной, так и с двойной точностью. [2] Постановка математической задачиМатематическая задача состоит в вычислении LU-разложения вещественной несимметричной ленточной матрицы, оценки её числа обусловленности, а также решении системы линейных уравнений. Каждая из описанных ниже подпрограмм выполняет LU-разложение матрицы, однако систему линейных уравнений решает только функция LSLRB. Оценку числа обусловленности матрицы определяет функция LFCRB. Исходя из того, что LU-разложение производится трижды, задав общий массив данных мы можем сопоставить полученные данные друг с другом и в случае их несовпадения обнаружить ошибку в коде. Понятие LU-разложения и решение систем линейных уравнений.LU-разложение матрицы A - это представление матрицы A в виде произведения A=LU, (1) где L-нижняя треугольная матрица, U - верхняя треугольная или ступенчатая матрица. Рассмотрим на примере как происходит LU-разложение. Пусть A прямоугольная матрица порядка m×n любого ранга. С правой стороны матрицы А приписываем единичную матрицу E порядка m×m. Применяем к матрице A|E метод исключения Гаусса. Если на каком-то этапе Гауссово исключения ведущий элемент равен нулю, и существует ненулевой элемент, расположенный ниже ведущего элемента, то LU - разложение данной матрицы невозможно. Если же элементы ниже ведущего элемента нулевые, то выбираем новый ведущий элемент той же строки и следующего столбца. Приводим матрицу A|E к треугольному или ступенчатому виду. Получим матрицу U|L0, где U- верхняя треугольная или ступенчатая матрица, а L0- нижняя треугольная матрица. Заметим, что полученная матрица L0 приводит A к треугольному или ступенчатому виду:
Т  ак как L0 - квадратная невырожденная матрица, следовательно, имеет обратную матрицу. Тогда
|
или 
(3) где 
(матрица коэффициентов системы) может быть использовано для решения семейства систем линейных уравнений с различными векторами b в правой части. 
, исходная система может быть записана как 
(5)
(6)
— нижняя треугольная матрица, эта система решается непосредственно прямой подстановкой. 
(7)
—