9281_Доморацкий_Едемская_Чекменева_Лабораторная работа №1. Отчет по лабораторной работе 1 по дисциплине Физика твёрдого тела
 Скачать 486.45 Kb.
|
|
МИНОБРНАУКИ РОССИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА) Кафедра микро- и наноэлектроники ОТЧЕТ по лабораторной работе № 1 по дисциплине «Физика твёрдого тела» Тема: Исследование зонной структуры кристаллов Студенты гр. 9281 ____________________ ____________________ ____________________ Доморацкий Е.В Едемская Е.В. Чекмёнева Ю.Д. Преподаватель __________________________ Шапран Д.А Санкт-Петербург 2021 2 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ 1. По полученным энергетическим спектрам электронов в трех нижних зонах одномерного кристалла при различных значениях амплитуды потенциала U 0 и ширины барьера d. Проанализируем поведение электронного спектра в рамках двух моделей: почти свободно связанных электронов (рисунки 1 – 7) и сильно связанных электронов (рисунки 8 – 13): Рисунок 1 – Энергетический спектр электрона в трех нижних зонах одномерного кристалла при о 4 А d = и 0 0 эВ U = Рисунок 2 – Энергетический спектр электрона в трех нижних зонах одномерного кристалла при о 4 А d = и 0 0,1 эВ U = 3 Рисунок 3 – Энергетический спектр электрона в трех нижних зонах одномерного кристалла при о 4 А d = и 0 0, 4 эВ U = Рисунок 4 – Энергетический спектр электрона в трех нижних зонах одномерного кристалла при о 4 А d = и 0 1 эВ U = 4 Рисунок 5 – Энергетический спектр электрона в трех нижних зонах одномерного кристалла при о 4 А d = и 0 3 эВ U = Рисунок 6 – Энергетический спектр электрона в трех нижних зонах одномерного кристалла при о 4 А d = и 0 6 эВ U = 5 Рисунок 6 – Энергетический спектр электрона в трех нижних зонах одномерного кристалла при о 4 А d = и 0 10 эВ U = Подведем промежуточные итоги. Зависимости построены в пределах зоны Бриллюэна одномерного кристалла в схеме приведенных зон. Модель слабо связанных электронов рассматривает приближение реального кристалла. В таком приближении мы можем пренебречь межэлектронным взаимодействием. Как видно из полученных зависимостей при нулевом кристаллическом потенциале спектр электрона является сплошным и соответствует спектру электрона в свободном пространстве. Это простейший случай, и в его рамках Гамильтониан представляет собой только кинетическую энергию (1), а уравнение Шредингера решается численно для конечного числа состояний вектора обратной решетки (2). ( ) ( ) 2 2 0 H , 2 bb bb k b k m + = (1) ( ) ( ) ( ) 0 det H 0. bb bb k E k − = (2) Затем мы включаем периодический потенциал. В энергетическом спектре появляются разрывы. Разрывы спектра обусловлены полным отражением электрона от системы кристаллографических осей. Следовательно, на энергетической диаграмме появляются зоны с запрещенной для электрона энергией. Как видно из рисунков 2 – 7 при 6 увеличении амплитуды кристаллического периодического потенциала разрывы увеличиваются, энергетический спектр меняет свой вид. Следовательно, увеличиваются и запрещенные зоны одномерного кристалла. Рисунок 8 – Энергетический спектр электрона в трех нижних зонах одномерного кристалла при 0 10 эВ U = и о 5 А d = Рисунок 9 – Энергетический спектр электрона в трех нижних зонах одномерного кристалла при 0 10 эВ U = и о 2 А d = 7 Рисунок 10 – Энергетический спектр электрона в трех нижних зонах одномерного кристалла при 0 10 эВ U = и о 1А d = Рисунок 11 – Энергетический спектр электрона в трех нижних зонах одномерного кристалла при 0 10 эВ U = и о 0, 5 А d = 8 Рисунок 12 – Энергетический спектр электрона в трех нижних зонах одномерного кристалла при 0 10 эВ U = и о 0,1А d = Рисунок 13 – Энергетический спектр электрона в трех нижних зонах одномерного кристалла при 0 10 эВ U = и о 0 А d = Модель сильно связанных электронов рассматривает нулевое приближение, в котором электрон жестко связан со своим атомом, потенциал представляется в виде суммы потенциалов отдельных атомов, а Блоховская волновая функция ищется в виде разложения по волновым функциям изолированных атомов. Как и в случае слабо связанных электронов, энергетический спектр сильно связанных электронов представляет собой полосы разрешенных 9 энергий и запрещенных зон. Но при этом каждую зону необходимо считать сформированной из набора дискретных уровней изолированных атомов, число которых равно числу элементарных ячеек в кристалле. Энергия электрона в данном случае определяется расстояниями между соседними атомами и интегралами перекрытия волновых функций, то есть вероятность туннелирования и сближения атомов увеличивается при уменьшении расстояния между соседними атомами. В этом случае уменьшается ширина потенциального барьера между двумя атомами. Чем больше атомов (в данном случае одномерного кристалла), тем больше перекрываются волновые функции, и в таком случае растет вероятность перехода, а значит энергетический спектр электрона как бы уширяется. Происходит увеличение зон разрешенных значений энергии, одновременно с этим запрещенные зоны уменьшаются. В итоге при нулевом значении ширины потенциального барьера энергетический спектр электрона в кристалле повторяет спектр электрона в свободном пространстве. 2. Рассчитаем волновые функции электрона ( ) 2 n x в 3-ех нижних зонах при 0 k = , 0 5 эВ U = и их зависимость от параметра. Построим графики зависимостей на рисунках 14 – 18. Проведем анализ полученных результатов: Рисунок 14 – Зонная структура одномерного кристалла (слева) и квадрат модулей волновых функций (справа) при о 10 А d = 10 Рисунок 15 – Зонная структура одномерного кристалла (слева) и квадрат модулей волновых функций (справа) при о 6 А d = Рисунок 16 – Зонная структура одномерного кристалла (слева) и квадрат модулей волновых функций (справа) при о 3 А d = Рисунок 17 – Зонная структура одномерного кристалла (слева) и квадрат модулей волновых функций (справа) при о 1А d = 11 Рисунок 18 – Зонная структура одномерного кристалла (слева) и квадрат модулей волновых функций (справа) при о 0, 5 А d = Как мы можем отметить, уменьшение ширины потенциального барьера приводит к уширению зон разрешенных значений энергии электронов. Это обусловлено тем, что при уменьшении ширины потенциального барьера растет коэффициент прохождения через этот барьер, увеличивается вероятность туннелирования. Верхняя (3-я) зона шире остальных вследствие того, что из-за малой высоты и ширины потенциального барьера амплитуда вероятности никак не изменяется под действием периодического кристаллического потенциала. Даже при самом высоком значении ширины барьера квадрат волновой функции не равен нулю, значит существует вероятность обнаружить частицу под барьером в следствие туннельного эффекта. 3. Рассчитаем минимальные и максимальные значения энергии первых трех разрешенных зон в зависимости от ширины потенциальных барьеров d и амплитуды потенциала U 0 . Зависимости изобразим на рисунках 19 и 20. Проведем анализ полученных результатов: 12 Рисунок 19 – Зависимости максимальной n max E и минимальной n min E энергий разрешенных зон от ширины барьеров при 0 5 эВ U = Рисунок 20 – Зависимости максимальной n max E и минимальной n min E энергий разрешенных зон от амплитуды потенциала при о 2 А d = При увеличении ширины потенциального барьера энергетические уровни сужаются, минимальное и максимальное значения одного уровня энергии стремятся к одинаковой величине. Это подобно системе, состоящей из подобных друг другу атомов, удаленных друг от друга на большие 13 расстояния, из-за чего электронные оболочки не перекрываются и не происходит электронного взаимодействия. При малых значениях ширины потенциального барьера разрешенные зоны начинают расщепляться сильнее, максимальная энергия низшей зоны и минимальная энергия следующей после неё зоны стремятся к одному значению. Электронам проще переходить с одного уровня на другой. Усиливается электронное взаимодействие, электроны могут переходить от одного атома к другому и тем самым обобществляться. Тем самым проявляются свойства туннелирования. Увеличение амплитуды кристаллического потенциала уменьшает разницу между максимальным и минимальным значением энергии уровня. Появляется чередование запрещенных и разрешенных зон в кристалле. Причем, чем выше значение потенциала, тем больше энергии требуется электрону для перехода с одного уровня на другой. 4. Рассчитаем и проанализируем зависимость ширины запрещенной зоны от ширины потенциальных барьеров и амплитуды кристаллического потенциала. При этом будем считать, что две нижние зоны одномерного кристалла полностью заполнены электронами. Графики зависимостей изобразим на рисунках 21 и 22. Проведем анализ результатов: 14 Рисунок 21 – Зависимость ширины запрещенной зоны g E от ширины потенциального барьера при 0 5 эВ U = Рисунок 22 – Зависимость ширины запрещенной зоны g E от амплитуды потенциала при о 2 А d = Из-за увеличения ширины потенциальных барьеров относительно расстояния между ними, ширина запрещенной зоны также увеличивается. Это происходит вследствие удаления атомов друг от друга на большие расстояния, уменьшения перекрытия электронных оболочек, а значит и уменьшения взаимодействия электронов, что снижает вероятность туннелирования. Приложение периодического потенциала, так же, как и увеличение ширины потенциальных барьеров, создает разрешенные и запрещенные уровни в энергетическом спектре электронов. Разрешенные зоны начинаются сужаться при увеличении потенциала, поэтому ширина запрещенной зоны увеличивается. 5. Рассчитаем зависимость групповой скорости электрона гр и его эффективной массы 0 m от волнового вектора k в двух верхних зонах. Полученные зависимости изобразим на рисунках 23 и 24. Проведем анализ результатов: 15 Рисунок 23 – Зависимость групповой скорости электрона гр от волнового вектора k в двух верхних зонах при 0 7 эВ U = и о 2 А d = Рисунок 24 – Зависимость эффективной массы электрона 0 m от волнового вектора k в двух верхних зонах при 0 7 эВ U = и о 2 А d = Групповая скорость электронов и дырок в кристалле (в квазиклассическом смысле) при наличии внешнего поля, а значит и дисперсии – частотной зависимости параметров от частоты приложенного потенциала, характеризует направление переноса энергии в кристалле. Она определяется как производная энергии по направлению волнового вектора, нормированная на приведенную постоянную Планка. Зависимости отличаются для двух зон из-за того, что энергии двух зон изначально 16 различны вследствие различия между волновыми функциями носителей заряда в них. Эффективная масса носителей заряда в кристаллах сильно зависит от периодического потенциала кристалла и используется для описания движения частиц в твердом теле. Она может быть, как видно из полученной зависимости, которая согласуется с теорией, как положительной величиной, так и отрицательной. В случае анизотропного кристалла при наличии периодического поля существует дисперсия тензора эффективной массы носителей заряда, которая определяется второй производной энергии носителей заряда по направлению волнового вектора. Эффективная масса так же влияет на коэффициент прохождения сквозь потенциальный барьер. При уменьшении её значения происходит рост значения коэффициента прохождения, следовательно, увеличивается вероятность туннелирования. 6. Рассчитаем плотность состояний в трех нижних зонах одномерного кристалла при определенных значениях ширины потенциального барьера и амплитуды потенциала. Графики зависимостей построим на рисунках 25 и 26. Проведем анализ полученных результатов: Рисунок 25 – Зонная структура одномерного кристалла (слева) и энергетическая зависимость плотности состояний в трех нижних зонах одномерного кристалла (справа) при 0 5 эВ U = и о 0 А d = 17 Рисунок 25 – Зонная структура одномерного кристалла (слева) и энергетическая зависимость плотности состояний в трех нижних зонах одномерного кристалла (справа) при 0 5 эВ U = и о 1А d = Согласно полученной диаграмме, электроны стремятся занять разрешенный уровень с минимальной энергией. Их плотность выше к краям разрешенных зон. Причем, сравнивая диаграммы плотностей состояний в кристалле и в свободном пространстве, можно заметить, что в областях с одинаковой энергией электронов значительно больше именно в кристалле. ВЫВОД: в ходе работы были сделаны подробные выводы для каждого из проводимых экспериментов. Приведем краткое резюме полученных результатов: Спектр электрона в одномерном кристалле при отсутствии периодического потенциала или при нулевой ширине потенциального барьера является сплошным. Возникновение потенциала приводит к расщеплению спектра электрона на отдельные зоны – разрешенные и запрещенные зоны энергий. При увеличении потенциала, разрешенные зоны начинаются сужаться. Ширина разрешенных зон также зависит от ширины потенциального барьера. Чем меньше ширина потенциального барьера, тем больше перекрытие электронных оболочек и электронное взаимодействие между 18 электронами. А чем вероятнее их обобществление и туннелирование, тем больше ширина разрешенной зоны. Но даже при самом высоком значении ширины барьера существует вероятность обнаружить частицу под барьером в следствие туннельного эффекта. По графику плотности распределения электронов на уровнях видно, что электроны в кристалле в первую очередь стремятся занять разрешенный уровень с минимальной энергией. |