Метода по лабам ФКС. 3 Лабораторная работа исследование зонной структуры кристаллов
 Скачать 0.83 Mb.
|
|
МИНОБРНАУКИ РОССИИ –––––––——————————––––––– Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» ———————————————————— Г. Н. ВИОЛИНА, Г. Ф. ГЛИНСКИЙ, В. И. ЗУБКОВ ОПТИЧЕСКИЕ И КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ Лабораторный практикум Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 2010 2 УДК 538.958:538.935 ББК В В Виолина Г. Н, Глинский Г. Ф, Зубков В. ИВ Оптические и кинетические явления в твердых телах лабораторный практикум. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2010. 80 с. ISBN Посвящен дисциплинам Физика твердого тела и Физика конденсированного состояния. Кратко рассматриваются энергетический спектр электрона в кристалле, оптические и кинетические явления в кристаллических твердых телах собственное поглощение без учета и с учетом экситонных эффектов, прикраевое примесное поглощение, линейный электрооптический эффект, тензо- и Холл-эффекты. Приводится описание методики выполнения лабораторных работ и обработки полученных результатов. Предназначен для бакалавров направления 210100 Электроника и микроэлектроника и бакалавров направления 210600 «Нанотехнология». УДК 538.958:538.935 ББК В Рецензенты кафедра прикладной физики и оптики твердого тела СПбГТУ; др физмат. наук, проф. О. В. Константинов (ФТИ им. А. Ф. Иоффе РАН. Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия ISBN © СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2010 3 Лабораторная работа 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛОВ 1.1. Основы зонной теории 1.1.1. Энергетический спектр и волновые функции электрона в кристалле Энергетический спектр и волновые функции электрона в кристалле определяются из решения стационарного уравнения Шредингера, которое в координатном представлении имеет вид ) ( ) ( ) ˆ E Ψ = Ψ H x x x (1.1) Здесь ( ) x H ˆ – гамильтониан электрона в кристалле ( ) ( ) x x H U m + ∇ − = 2 0 2 2 ˆ h , где 2 2 2 2 2 2 2 ; x y z ∇ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ U(x) – периодический потенциал решетки, удовлетворяющий условию ( ) ( ) x U a x U = + , где 1 1 2 2 3 3 n n n = + + a a a a – произвольный вектор трансляции ( n j = 0, ±1, ±2, …), a j – основные векторы трансляции ( j = 1, 2, 3). Вследствие трансляционной симметрии кристалла гамильтониан электрона ( ) x H ˆ коммутирует с оператором трансляции ( ) a T ˆ и, следовательно, имеет с ним один и тот же набор собственных функций. Действительно, подействовав оператором ( ) a T ˆ на левую часть уравнения (1.1), получим ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) E Ψ = Ψ T a H x x T a x или ( ) ( ) ( ) ˆ E + Ψ + = Ψ + H x a x a x Используя условие трансляционной инвариантности ( ) ( ) ˆ ˆ = + H x H x a , получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ Ψ Ψ H x T a x = ET a x 1 Строго говоря, одночастичный спектр электронов, характеризующий зонную структуру кристалла, должен определяться из решения многоэлектронной квантовомеханической задачи, учитывающей взаимодействие электронов между собой и с кристаллической решеткой в адиабатическом приближении. Такая многочастичная задача может быть приближенно решена в рамках самосогласованного метода Хартри −Фока. Получающийся в результате спектр одночастичных возбуждений можно рассматривать как спектр невзаимодействующих между собой квазичастиц, которые принято называть электронами в кристалле. Только эти квазичастицы, а нереальные, взаимодействующие между собой электроны, образуют в кристалле идеальный Ферми-газ и поэтому подчиняются статистике Ферми −Дирака. Выход за рамки одночастичного приближения приводит к появлению корреляции в движении квазичастиц-электронов и возникновению многочастичных воз- буждений, таких как экситоны, биэкситоны и т. д. В результате зонная структура как одночастичное приближение теряет свой смысл. 4 Отсюда следует, что операторы ( ) ˆT a и ( ) ˆ H x коммутируют, те Таким образом, если ( ) x Ψ является решением уравнения Шредингера (1.1), то ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ T Ψ = Ψ + = Ψ T a x x a a x , (1.2) где ( ) a T – собственное число оператора ( Поиск собственных функций и их классификация существенно упрощаются, если кристалл имеет достаточно большой, но конечный объем V . В этом случае и кристалл содержит (2 N ) 3 элементарных ячеек. Если велико ( N > 10 6 ), то условия на границах кристалла не будут сказываться на положении нижних энергетических уровней электрона и соответствующих им волновых функциях. Поэтому на волновые функции электрона могут быть наложены циклические условия Борна−Кармана: ( ) ( ) 2 j N Ψ + = Ψ x a x (j = 1, 2, 3). Согласно этому условию и уравнению (1.2) ( ) ( ) 2 Отсюда следует, что ( ) 2 2 i m j N j T e π = a (mj = −N…0…(N –1)). и для произвольной трансляции 1 1 2 2 3 3 n n n = + + a a a a будем иметь ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ ˆ n n n Ψ = Ψ = T a x T a T a T a x ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 1 2 3 n n n T T T = Ψ = a a a x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 2 π 2 2 i n m n m n Здесь N 2 b k = – волновой вектор электрона, 1 1 2 2 3 3 m m m = + + b b b b − вектор обратной решетки [ ] [ ] [ ] 1 2 3 2 3 1 3 1 2 где [ ] ( ) 1 2 3 Ω = × a a a – объем элементарной ячейки кристалла 5 Таким образом, собственные волновые функции оператора трансляции ( ) a Tˆ и собственные функции гамильтониана H ˆ в уравнении (1.1), а значит и энергия электрона, должны быть классифицированы с помощью волнового вектора k, являющегося в трансляционно-инвариантной системе хорошим квантовым числом. Для кристалла, имеющего конечный объем V, k принимает дискретные значения (всего (2N) 3 значений, которые располагаются в пределах элементарной ячейки обратной решетки. Эту ячейку удобно выбрать в форме ячейки Вигнера−Зейтца, в этом случае ее называют первой зоной Бриллюэна или просто зоной Бриллюэна 1 Волновой вектор k определен с точностью до произвольного вектора обратной решетки b, те и k ' = k + b физически эквивалентны и соответствуют одному и тому же состоянию электрона. Это непосредственно следует из соотношения ( ) i i i e e e + ′ = = k b a k a ka , где нами учтено, что ba = 2π(m 1 n 1 + m 2 n 2 + m 3 n 3 ). Следовательно, k, лежащие на противоположных гранях зоны Бриллюэна, эквивалентны и должны быть учтены только один раз. Наряду с волновым вектором k существуют и другие квантовые числа, характеризующие состояние электрона в кристалле, например номер энергетической зоны n = 1, 2, …. С учетом этого уравнение Шредингера (1.1) принимает вид ( ) ( ) ( Решение этого уравнения с граничными условиями Борна−Кармана позволяет определить энергетический спектр электрона ( ) k n E , те. зонную структуру кристалла. Так как волновая функция ( ) n Ψ k x должна удовлетворять периодическим граничным условиям ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ , i n n n e Ψ = Ψ + = Ψ ka k k k T a x x a x то она всегда может быть представлена в виде волновой функции Блоха ( ) ( ) 1 , i n n e u V Ψ = kx k k x x 1 Если объем кристалла V → ∞, то k переходит в непрерывное квантовое число, все значения которого также располагаются в зоне Бриллюэна. 6 где ( ) ( ) n n u u = + k k x x a – периодическая часть волновой функции. Блоховские волновые функции удовлетворяют условию ортогональности ( ) ( ) * δ δ ; n n nn V d ′ ′ ′ ′ Ψ Ψ = ∫ k k kk x x x ( ) ( ) * 1 δ , n n nn u u d ′ ′ Ω = ∫ Ω k k x x где первый интеграл берется по объему кристалла V, а второй – по объему элементарной ячейки Ω. 1.1.2. Методы расчета зонной структуры твердых тел В общем случае энергетический спектр электрона в кристалле ( представляет собой полосы разрешенных энергий, разделенных запрещенными зонами. В трехмерных кристаллах разрешенные зоны могут перекрываться. Такой вид спектра можно получить, используя, например, приближения почти свободных или сильно связанных электронов. Приближение почти свободных электронов.Как указывалось выше, блоховская волновая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ E Ψ = Ψ k k H x x k x , всегда может быть представлена в виде ( ) ( ) 1 , i e u V Ψ = kx k k x x где ( ) u k x – периодическая ее часть. Как и любая периодическая функция, она может быть разложена вряд Фурье ( ) ( ) , i u A e ′ ′ ′ = ∑ b где k играет роль параметра, а ( ) ( ) 1 i A u e d ′ − ′ Ω = ∫ Ω b x b k k x x Таким образом, блоховская волновая функция принимает вид ( ) ( ) ( ) 1 i A e V ′+ ′ ′ ϕ = ∑ b k Подстановка этой функции в уравнение Шредингера (1.1) с последующим умножением обеих его частей на i e − bx и интегрированием по объему кристалла приводит к следующему уравнению относительно коэффициентов ( ) A b k ( ) ( ) ( ) ( ) H A E A ′ ′ ′ = ∑ bb b b b k k k k (1.3) 7 Это уравнение является уравнением Шредингера в представлении плоских волн. Гамильтониан в этом представлении имеет вид ( ) ( ) 2 2 0 , 2 H U m ′ ′ ′ + = δ + bb bb bb k b k h где U ′ bb – Фурье-образ периодического потенциала решетки U(x): ( ) ( ) 1 i U U e d ′ − − ′ Ω = ∫ Ω b b x bb x x Уравнение Шредингера в этом представлении имеет вид бесконечной системы алгебраических уравнений, где k играет роль параметра. Энергетический спектр электрона ( ) n E k определяется из условия разрешимости этой системы, те. из решения секулярного уравнения ( ) ( ) det[ ] Систему уравнений (1.3) можно решить приближенно, если ограничиться конечным числом рассматриваемых состояний b. На риса, баб Рис. 1.1. Трансформация энергетического спектра свободного электрона в одномерном кристалле а − схема расширенных зон б − схема приведенных зон 8 показана трансформация энергетического спектра свободного электрона ( ) 0 E q , появление запрещенных зон при включении периодического потенциала в схеме расширенных E(q) и приведенных ( ) n E k зон. Таким образом, появление запрещенных зон в сплошном спектре свободного электрона обусловлено наличием периодического потенциала в кристалле. Приближение сильно связанных электронов. В этом приближении периодический потенциал U(x) представляется в виде суммы потенциалов отдельных атомов U0(x − a), находящихся в узлах а ( Блоховская волновая функция ищется в виде разложения по волновым функциям изолированных атомов ( ) ( ) s s ϕ = ϕ − a x x a , каждая из которых удовлетворяет уравнению ( ) ( ) ( ) 0 0 ˆ , s s s E − ϕ = ϕ a a H x где ( ) ( ) 2 2 0 0 0 ˆ 2 U m − = − ∇ + − h H x a x a – гамильтониан изолированного атома, расположенного в узле a; 0 s E – его дискретные энергетические уровни. Волновые функции бесконечно удаленных друг от друга атомов не перекрываются, следовательно, их можно приближенно считать ортонормированными ( ) ( ) * s s ss d V ′ ′ ′ ′ ϕ ϕ = δ δ ∫ a a aa x x Разложение блоховской функции ( ) Ψ k x по функциям ( ) s ϕ a x представим в виде ( ) ( ) ( ) , i s s s A e ′ ′ ′ ′ ′ Нетрудно проверить, что эта функция удовлетворяет периодическим граничным условиям ( ) ( ) i e Ψ + = Ψ ka k k x Подстановка этой функции в уравнение Шредингера (1.1) с последующим умножением обеих частей на ( ) * s ϕ a x и интегрированием по объему кристалла приводит к следующему уравнению в представлении функций изолированных атомов 1 Для простоты будем рассматривать кристаллы с одним атомом в элементарной ячейке. 9 ( ) ( ) ( ) ( ) , , ss s s s H A E A ′ ′ ′ = ∑ a где ( ) ( ) 0 , , , i ss s ss s s H E U e ′ − − ′ ′ ′ ′ ′ = δ + ∆ ∑ k a a a a a a k ( ) ( ) ( ) * , 0 s s s s V U U d ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ≠ ′′ ∆ = ϕ − ϕ ∑ ∫ a a a a a a x x a x Матрица ( ) ( ) , ss ss H H ′ ′ = a k k параметрически зависит от волнового вектора и приточном суммировании по всем a' не зависит от выбора начального узла a. Энергетический спектр электрона ( ) k n E определяется из решения секулярного уравнения ( ) ( ) det 0. ss ss H k E Как ив случае приближения почти свободных электронов, энергетический спектр электронов, следующий из метода сильной связи, представляет собой полосы разрешенных энергий, разделенных запрещенными зонами. Однако каждую разрешенную зону следует считать сформированной из дискретных уровней изолированных атомов. Число энергетических уровней в зоне равно числу элементарных ячеек в кристалле (2N) 3 . Ширина разрешенной зоны зависит от интегралов перекрытия, те. вероятности туннелирования, и при сближении атомов увеличивается. На рис. 1.2 показана трансформация энергетического спектра изолированного атома в зонную структуру при увеличении числа атомов и их сближении. Таким образом, приближение сильно связанных электронов, как и приближение почти свободных электронов, приводит к одному и тому же результату, а именно к появлению разрешенных и запрещенных зон в энергетическом спектре электронов в кристалле. x x x а б в Рис. 1.2. Трансформация энергетического спектра изолированного атома в зонную структуру одномерного кристалла а – энергетический спектр изолированного атома б – энергетический спектр двух близко расположенных атомов в – энергетический спектр бесконечного кристалла 10 |