Метода по лабам ФКС. 3 Лабораторная работа исследование зонной структуры кристаллов

• Название: 3 Лабораторная работа исследование зонной структуры кристаллов
• Дата: 26.04.2021
• Размер: 0.83 Mb.
• Имя файла: Метода по лабам ФКС.pdf
• Тип: Лабораторная работа; #199065
• страница: 7 из 9

4.1. Основные определения и формулы Изменение удельного сопротивления кристалла при его деформации называется тензоэффектом. На практике деформация кристалла осуществляется посредством воздействия на него внешней нагрузки, прикладываемой в заданном кристаллографическом направлении. Всякая деформация кристалла сопровождается появлением в нем механических напряжений. Рассматривая тензор удельного сопротивления ρ
ik
как функцию тензора напряжений P
ik
, разложим его вряд по степенями ограничимся линейным членом
(0)
(0)
ik
ik
ik
lm
lm
P
P
∂ρ
ρ = Первый член в этом разложении ρ
ik
(0) представляет собой тензор удельного сопротивления недеформированного кристалла а второй – его изменение при деформации
(0)
(0)
ik
ik
ik
ik
lm
lm
P
P
∂ρ
∆ρ = ρ − ρ
=
∂
(4.1) Как правило, интерес представляет не абсолютное значение ∆ρ
ik
, а относительное изменение ρ
ik
. Для этого определим среднее значение удельного сопротивления недеформированного кристалла в виде
0 0
0 0
0
ср
11 22 33
(1 3)
(1 3)(
).
ii
ρ =
ρ =
ρ + ρ + Разделив левую и правую части уравнения (4.1) на
0
ср
,
ρ
получим следующее материальное уравнение, описывающее тензоэффект в кристаллах
0
cp
ik
iklm lm
P
∆ρ
= π
ρ
(4.2) Тензор четвертого ранга
0
ср
1
(0)
ik
iklm
lm
P
∂ρ
π
=
∂
ρ
называется тензором пьезосопротивления. Так как ρ
ik
= и P
ki
= P
ik
, этот тензор обладает следующей симметрией относительно перестановки индексов π
iklm
= π
kilm
= π
ikml
. От Здесь и далее по дважды повторяющимся индексам производится суммирование от 1 досюда следует, что тензор пьезосопротивления в общем случае определяется
36 независимыми величинами. Симметрия накладывает дополнительные ограничения на число независимых и неравных нулю компонентов этого материального тензора. В частности, в кристаллах кубической сингонии (в кристаллографической системе координат) они определяются всего тремя независимыми компонентами – π
11
, π
12
и π
44
:
11 1111 2222 3333 12 1122 1133 2211 2233 3311 3322 44 1212 1221 2112 2121 1313 1331 3113 3131 2323 2332 3223 3232
;
;
π = π
= π
= π
π = π
= π
= π
= π
= π
= π
π = π
= π
= π
= π
= π
=
= π
= π
= π
= π
= π
= π
= π
(4.3) Рассмотрим стержень, вырезанный из кристалла, с осью, направленной вдоль единичного вектора
n
. Под действием однородной внешней нагрузки, действующей вдоль
n
, стержень может растягиваться или сжиматься. Если
P
– сила, действующая на единицу площади основания стержня, то тензор механических напряжений в кристалле определяется как
,
ik
i k
P
Pn n
=
(4.4) где
P
> 0 соответствует растяжению стержня, а
P
< 0 – сжатию. Согласно закону Гука напряжение и деформация в кристалле связаны соотношением
,
ik
iklm lm
P
C
u
=
(4.5) где
u
lm
– тензор деформации C
iklm
− тензор модулей упругости. Последний обладает следующей симметрий относительно перестановки индексов
C
iklm
=
= C
kilm
= C
ikml
= Таким образом, в общем случае имеет место всего 21 независимая составляющая этого тензора. В кубических кристаллах только три упругие постоянные и C
44
, определяют все неравные нулю компоненты этого тензора. Аналогично соотношениям (4.2)
11 1111 2222 3333 12 1122 1133 2211 2233 3311 3322 44 1212 1221 2112 2121 1313 1331 3113 3131 2323 2332 3223 3232
;
;
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(4.6) Если ввести тензор S
iklm
, обратный тензору C
iklm
, такой, что
(
)
1 2
,
iklm lmst
is kt
it ks
S
C
=
δ δ + δ δ
(4.7) то уравнение (4.5) можно обратить
ik
iklm lm
u
S
P
=

60 Пусть l
0
– длина недеформированного стержня, l – его длина последе- формации. Тогда его относительное удлинение (сжатие) u = (l
−
l
0
)/l
0
определяется формулой
ik i k
u
u n С учетом (4.4) будем иметь
iklm i k l m
u
S
n n n n P
=
(4.8) Определим модуль Юнга в направлении
n
как коэффициент пропорциональности в выражении
P
E u
=
n
(4.9) Отсюда будем иметь, учитывая выражение (4.8),
1
iklm i k l m
S
n n n В частности, для кубического кристалла, согласно (4.6) и (4.7), получим
(
)(
)
(
)
11 12 11 12 11 12 44 11 12 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 2 3 1
1 2
2
C
C
E
C
C
C
C
C
C
C
n n
n n
n Подстановка (4.4) в (4.2) с учетом (4.9) приводит к следующему результату
0
cp
ik
iklm l m
n n E u
∆ρ
= В кубических кристаллах
0 0
ik
ik
ρ = ρ и
0
ср
0
,
ρ = ρ где ρ
0
– удельное сопротивление недеформированного кристалла. В этом случае относительное изменение удельного сопротивления определяется выражением
0
ik
iklm l m
n n E u
∆ρ
= π
ρ
n
(4.11) Согласно закону Ома ток, текущий в направлении оси стержня,
j
= или j
i
= jn
i
приводит к появлению в нем электрического поля
i
ik k
E
j
= ρ
=
ik k
n j
= ρ
. Составляющая поля вдоль оси стержня
i
i
E
E
En
=
=
=
n
E
приводит к возникновению на его концах разности потенциалов, измеряя которую при заданном токе, можно определить сопротивление образца, вырезанного в направлении. Определим удельное сопротивление образца в направлении как
ik i k
n n j
ρ = ρ
n
Тогда, согласно (4.11), его относительное изменение при деформации будет

61 0
,
k u
∆ρ
=
ρ
n
n
(4.12) где k
n
− коэффициент тензочувствительности в направлении
n
,
,
k
E
= π
n
n n
(4.13) а π
n
− коэффициент пьезосопротивления в направлении
n
,
iklm i k l m
n n n n
π = Для кубических кристаллов
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 11 12 44 11 1 2 1 3 2 3 2
2
n n
n n
n n
π = π + π + π − π
+
+
n
(4.14)
Тензочувствительность полупроводников в десятки раз превосходит тензочувствительность металлов. Например, для p-Si с удельным сопротивлением Ом · см k
n
имеет значение 125, что примерно враз больше соответствующей величины для проволочных тензометров. Очевидно, что изменение удельного сопротивления кристалла связано с изменением концентрации и подвижности носителей заряда. Объемное сжатие. Простейшим случаем тензосопротивления является случай объемного, или всестороннего, сжатия. Постоянная решетки кристалла
a уменьшается, что увеличивает перекрытие волновых функций электронов, и потенциальная энергия, описывающая взаимодействие атомов решетки, изменяется. Поскольку минимум потенциальной энергии соответствует a = a
0
, то потенциальная энергия и при сжатии, и при растяжении кристалла возрастает. Обе причины приводят к изменению ширины запрещенной зоны. Следовательно, при объемной деформации должно наблюдаться изменение (незначительное) как концентрации, таки подвижности носителей заряда. Одностороннее сжатие или растяжение При односторонней деформации, если в направлении сжатия расстояние между атомами уменьшается, тов поперечных направлениях оно увеличивается. Это по-разному меняет характер перекрытия волновых функций электронов вдоль разных направлений. Рассмотрим полупроводник с анизотропным законом дисперсии вблизи дна зоны проводимости. Например, в кремнии абсолютный минимум зоны проводимости располагается в направлении ∆ и отстоит от центра зоны Бриллюэна на 0.86(2π/a). Закон дисперсии имеет вид
(
)
(
)
(
)
2 2
2
c
2
c c
c
*
*
*
( )
,
2 2
2
y
y
x
x
z
z
k
k
k
k
k
k
E
E
m
m
m

⊥
⊥


−
−
−


=
+
+
+




k
h

62 где k
xc
, k
yc
, k
zc
– положение дна зоны проводимости E
c в зоне Бриллюэна
*
,
m
⊥
*
2m

− поперечная и продольная эффективные массы электрона. Так как абсолютный минимум E
c в кремнии располагается в направлении [100], то электронов в недеформированном кристалле располагаются в шести эквивалентных долинах по n
0
/6 в каждой. Если сжать кристалл кремния вдоль оси
[100], то расстояние между атомами в этом направлении уменьшится, обменный интеграл перекрытия возрастет, дно зоны проводимости в направлении
[100] опустится, а в перпендикулярных эквивалентных направлениях [010] и
[001] – поднимется. Изменение рельефа дна зоны проводимости приведет к перераспределению электронов в шести, ставших теперь неэквивалентными, долинах. Эта ситуация иллюстрируется на рис. 4.1. Обозначим через δn
1
увеличение концентрации в й и й долинах, а
δn
2
– в остальных четырех. Очевидно, что −4δn
2
= 2δn
1
. Перераспределение носителей заряда по неэквивалентным долинам при деформации в направлении обусловливает значительное изменение проводимости в n-Si. Если приложить давление вдоль оси [110], то минимумы 1, 2, 4, 5 опустятся, а 3, 6 – поднимутся. В этом случае имеем
2 1
2 4
n
n
− δ
= δ , и изменение проводимости будет отличаться от рассмотренного ранее. Если же сжать кристалл в направлении [111], то все минимумы останутся эквивалентными, перераспределения электронов по долинам не произойдет. Это определяет относительно малую тензочувствительность у n-Si в данном направлении. Рассмотрим теперь тензосопротивление в ковалентных кристаллах типа. Максимум валентной зоны во многих из них приходится на центр зоны Бриллюэна, причем в точке Г зона четырехкратно вырождена. При наложении анизотропной деформации нарушается симметрия решетки, что приводит к снятию вырождения – потолок валентной зоны легких и тяжелых дырок смещается в противоположных направлениях. Смещение зон легких и
5 6
k
y
3 2 k
x
4 1 Рис. 4.1. Перераспределение электронов между минимумами энергии в кремнии при деформации

63 тяжелых дырок меняет их концентрацию в каждой из подзон при сохранении полного числа равновесных дырок. В силу различия подвижности легких и тяжелых дырок их перераспределение по зонам обусловливает значительный тензорезистивный эффект в полупроводниках типа л л
т т =
δ µ
+ δ µ
прил т −δ
4.2. Описание установки и образцов для исследования Деформация создается балкой переменного сечения и равного сопротивления изгибу − ширина балки линейно возрастает от точки приложения силы в направлении к месту жесткой заделки. Сила, воздействующая наконец балки, создается при вращении головки микрометрического винта, при этом все участки на поверхности балки равного сопротивления изгибу испытывают одинаковую относительную деформацию u. Наклеенные на балку образцы испытывают такую же деформацию u. Прогиб конца балки определяется по показанию микрометрического винта h = H
−
H
0
, где h − прогиб конца балки, мм H − показания микрометрического винта H
0
− показания микрометрического винта в отсутствие деформации балки H
0
= 64 мм. Положительные значения h соответствуют положительным u, сжатию образцов
1
2
3
4 Рис. 4.2. Принципиальная схема исследования тензоэффекта: 1 − балка
2 − образец 3 − головка микрометрического винта 4 − корпус устройства для исследования тензоэффекта; 5 − цифровой прибор для измерения сопротивления, в качестве которого используется мультиметр Agilent

64 Значение деформации рассчитывается по формуле
(
)
2 2
2
,
2 2
h
h
u
L
h
L
∆
∆
=
=
+
(4.15) где L − длина ∆ − толщина балки. Продольный тензоэффект исследуется на образцах кремния прямоугольной формы, вырезанных в кристаллографических направлениях [100], [110] и
[111] и растягиваемых или сжимаемых в этих направлениях. Размеры образцов толщина 0.1…0.2 мм, ширина

1 мм и длина l
0
= 10…15 мм. Образцы наклеены на стальную балку равного сопротивления изгибу длиной L = 235 мм и толщиной мм. Для сопоставления тензоэффекта в полупроводниках и металлах на балку приклеен проволочный образец из константана. Параметры образцов приведены в таблице на передней панели лабораторного макета прибора. На этой же панели под надписью образцы размещены клавиши 1–10. При нажатии на одну из клавиш образец, имеющий соответствующий номер, подключается к измерительному прибору для определения сопротивления. В качестве измерительного прибора используется цифровой вольтметр-омметр. Образцы подключаются к измерительному прибору с помощью кабеля. Принципиальная схема исследования тензоэффекта приведена на рис. 4.2.
4.3. Проведение измерений Приступая к измерениям сопротивлений образцов, следует перевести вольтметр в режим измерения сопротивлений, для чего необходимо нажать на передней панели прибора кнопку «Ω, 2W». Далее все измерения вольтметром осуществляются в автоматическом режиме. Сопротивление образцов измеряется при изменении показаний микрометрического винта H в пределах от 61 до 68 мм. Головка микрометрического винта выступает над верхней панелью лабораторного макета. Перед началом измерений, вращая головку микрометрического винта, поставить его в положение 68 мм. Нажать кнопку 1 и записать в таблицу сопротивление Зависимость сопротивления R, деформации u и коэффициента
тензочувствительности k от прогиба балки h = H−
−−− H
0 Номер образца
H, мм
h = H
−
H
0
, мм
R, Ом
∆R = R
−
R
0
, Ом
∆R/R
0
u
k

65 образца 1, показываемое измерительным прибором. Затем, вращая головку микрометрического винта, измерить R при H = 67, 66, ..., 61 мм и занести значения R в таблицу. Значение R при H = Н = 64 мм соответствует сопротивлению при u = 0. Поочередно нажимая на клавиши 3, 4, 5, ..., 10 и изменяя положение микрометрического винта, измерить R для всех образцов, занося данные в таблицу.
4.4. Обработка результатов измерений
1. Рассчитать u в зависимости от h, пользуясь формулой (4.15). Результаты расчета записать в таблицу. Построить зависимость ∆R/R
0
= f(u). Все 9 зависимостей) представить на одном графике. При обработке результатов руководствоваться тем, что эксперимент осуществлен в рамках упругой деформации, поэтому все представленные результаты экстраполировать линейными зависимостями, проходящими через «0» (
0 0
R
R
∆
= при u = 0).
2. По экстраполированным линейным зависимостям f(u) определить значение коэффициента тензочувствительности k для каждого образца и занести в таблицу.
3. Воспользовавшись формулой (4.13), определить коэффициент продольного пьезосопротивления для всех образцов. Значения модуля упругости
E
n
в направлении n определить, воспользовавшись соотношением (4.10). Значения констант модуля упругости, Нм, для кремния равны C
11
= 1.66 · 10 11
;
C
12
= 0.64 · 10 11
; C
44
= 0.8 · 10 11 4. Для двух групп образцов 5, 6, 7 и 8, 9, 10 – характеризующихся одинаковым удельным сопротивлением в пределах группы, исходя из значений
π
n
в различных кристаллографических направлениях, вычислить коэффициенты пьезосопротивления π
11
и (π
12
+ 2π
44
). Результаты расчета оформить в виде отдельной таблицы. При расчете воспользоваться формулой (4.14).
4.5. Требования к отчету Отчет о работе должен содержать
1. Результаты измерения R в виде таблицы и гравик зависимостей ∆R/R
0
=
= f(u).
2. Коэффициенты пьезосопротивления π
11
и (π
12
+ 2π
44
) для двух групп образцов.
3. Критическую оценку полученных результатов.

66
4.6. Контрольные вопросы
1. Что такое тензорезистивный эффект Как он объясняется в металлах
2. Чем объясняется тензоэффект в полупроводниках при всестороннем растяжении (сжатии
3. Счем связана высокая, по сравнению с металлами, тензочувствитель- ность полупроводников при одноосной деформации
4. Почему кристаллографическое направление [100] является самым тен- зочувствительным в n-Si?
5. Как объяснить высокую тензочувствительность в кремнии типа
6. Как влияет удельное сопротивление образца на его коэффициенты пьезосопротивления Список литературы
Киреев ПС. Физика полупроводников. М Высш. шк, 1975.
Глинский Г.Ф. Полупроводники и полупроводниковые наноструктуры симметрия и электронные состояния. СПб.: Изд-во «Технолит», 2008. 324 с.

67 Лабораторная работа 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТА ХОЛЛА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ